基本不等式专项训练04（较难）（解析版）

基本不等式专项训练04（较难）（解析版）1．已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.2．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.3．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意，所以，即，所以，所以，又，，则，所以，即，由，，，所以，所以，当且仅当时等号成立，又在上单调递减，，所以当取最大值时，.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.4．已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.故选：A.5．在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.【详解】图1设底边长为a，原四棱锥的高为h，如图1，分别是上下底面的中心，连结，，，根据边长关系，知该棱台的高为，则，由，且四边形为直角梯形，，，可得，则，当且仅当，即时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径，下底面半径，设球的半径为R，显然球心M在所在的直线上.显然球心M在所在的直线上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段上，如图2，设，则，，显然则，有，即解得，舍去.图3当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M在线段的延长线上，如图3，设，则，显然即，即解得，，此时，外接球的表面积为.故选：D.6．已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的范围.【详解】由，则当时，得，两式相减得，变形可得：，又，，所以，，∴数列是以为首项、为公比的等比数列，故，所以，所以，当且仅当时等号成立，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：构造等比数列求的通项公式，即可得通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求的最值，即可求参数范围.7．设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的左焦点，由已知条件知四边形为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用对勾函数的值域得到的范围，然后由求解.【详解】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即，所以四边形为矩形，，设，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：B8．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线l1，l2相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出直线方程，联立抛物线求得，通过PF⊥AB求得，进而得到为中点，由表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可.【详解】易知，焦点，准线方程，直线斜率必然存在，设，，，联立化简得，显然；又PF⊥AB可得，即，化简得，过作轴交于点，可得为中点，故，故，当且仅当时取等.故三角形PAB的面积的最小值为4.故选：C.9．已知函数，若实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解.【详解】一方面由题意有，另一方面若有成立，结合以上两方面有，且注意到，所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，若，则只能，因此当且仅当；又已知，所以，即，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是发现当且仅当，从而得出，从而由基本不等式即可顺利求解.10．在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分