11.5 因式分解-2025-2026学年华东师大版（2024）数学八上教学课件

11.5因式分解

第11章

整式的乘除

华师大版2024·八年级上册章节导读学

习

目

标理解概念与基础方法掌握因式分解的定义：将多项式转化为几个整式乘积的形式。学会确定公因式（系数、字母、多项式），并熟练提取公因式。灵活运用公式法掌握平方差公式、完全平方公式、立方和/差公式的逆用。能根据多项式特征（项数、符号、结构）选择合适公式分解。综合应用与问题解决能按步骤（提公因式→套公式→分组→验证）完成复杂多项式的分解。解决实际问题（如简化计算、解方程）时主动应用因式分解技巧。课堂导入展示一张由6块相同矩形拼成的组合图形，提问："如果已知大长方形的面积为6x²+12xy，且宽为3x，如何求它的长？"情境导入——生活情境导入（类比思想）将长方形拆分为2个部分：6x2÷3x=2x，12xy÷3x=4y，拼出长=2x+4y6x212xy3x2x4y也就是说3x（2x+4y）=6x2+12xy旧知复习快速练习：（x+2）(x-3)展示等式：x2-4=(x+2)(x-2)提问：“左右两边的式子有什么本质区别”强调：“左边是和的形式，右边是积的形式”温故旧知——复习整式乘法复习整式观察特例=x2-x-6逆向提问：如果已知x2-x-6等于（

）()，如何找到这两个括号新知探究归纳规则----合作探究运用前面所学的知识填空①m(a+b+c)=

.②(a-b)(a+b)=

.①ma+mb+mc=

.②a2-b2=

.计算观察上面的式子填空ma+mb+mca2-b2m(a+b+c)(a-b)(a+b)整式的乘法把一个多项式化为几个整式的积的形式

叫做多项式的因式分解强调：因式分解是乘法运算的逆过程，结果必须是乘积形式。典例分析例1下列等式从左到右的变形是因式分解的是（

）A.2x（x+3）=2x2+6xB.24xy2=3x·8y2C.x2+2xy+y2+1=（x+y）2+1D.x2-y2=(x+y)(x-y)D单项式乘以多项式，不是因式分解，故A选项错误因式分解的对象是多项式不是单项式，故B选项错误因式分解的结果是积的形式，不是和的形式，故C选项错误变式训练下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（

）A.(x-1)(x-2)=x2-3x+2B.x2+4x+4=x(x+4)+4C.x2+y2=(x+y)(x-y)D.x2-3x+2=(x-1)(x-2)D因式分解的结果是乘积的形式，故A选项错误因式分解的结果是乘积的形式，故B选项错误x2+y2≠(x+y)(x-y)故C选项错误

新知探究归纳规则----合作探究公因式是指多项式中各项都含有的相同因式（包括数字系数和字母部分）①系数：各项系数的最大公约数（如6x2y和9xy2的系数公因式是3）②字母部分：各项共有的字母及其最低次幂（如公因式为3xy）公因式的定义核心要素示例多项式8a3b2-12a2b的公因式是4a2b典例分析例2

给出下列四组代数式：①5xy和xy5；②5x-y和x+5y；③5(x-y)和6(x-y)；④5x和15y．其中没有公因式的一组是________．（填序号）②公因式为xy没有公因式公因式为（x-y）公因式为5变式训练多项式9x2y-3xy2+6xyz各项的公因式是（

）A.3yB.3xzC.3xyD.3xC9x2y=3xy·3x3xy2=3xy·y6xyz=3xy·z新知探究提取公因式——概念详解与步骤精析定义：将多项式中各项共有的因式提取到括号外，写成乘法形式。1.找公因式：①系数：取各项系数的最大公约数②字母部分：各项共有的字母及其最低次幂2.提公因式：将公因式写在括号外，括号内保留原多项式除以公因式的结果。3.检查括号内是否还能继续分解，确保括号内各项无公因式。什么是提取公因式？如何提取公因式？步骤口诀：“一找、二提、三验证”典例分析例3对下列式子进行因式分解．（1）27xy2-18x3y（2）3x(a-b)-2y(b-a)原式=9xy·3y-9xy·2x2=9xy·（3y-2x2）原式=3x(a-b)+2y(a-b)=(a-b)(3x+2y)变式训练用提公因式法将下列各式分解因式．(1)-4a3b2+12a2b-4ab(2)(a2-ab)+c(a-b)-4a3b2+12a2b-4ab=-4ab·a2b+(-4ab)·(-3a)+(-4ab)·1=-4ab(a2b-3a+1)(a2-ab)+c(a-b)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)新知探究公式法——概念详解与步骤精析①平方差公式：a2-b2=(a-b)(a+b)适用条件：两项均为完全平方且符号相反。示例：x2-9=(x-3)(x+3)平方差公式完全平方公式②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2适用条件：三项式，首尾为平方项，中间项为±2ab7示例：x2-6x+9=(x-3)2典例分析例4分解因式：（1）3b2-12b+12（2）a3(x-y)+ab2(y-x)解：（1）3b2-12b+12=3（b2-4b+4）=3（b-2）2先提取公因式，再由完全平方公式分解因式即可得到答案先提取公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案解：（2）a3(x-y)+ab2(y-x)=a(x-y)(a2-b2)=a(x-y)(a-b)(a+b)变式训练因式分解：(1)a3b-2a2b2+ab3(2)a2(x-y)+9b2(y-x)解：(1)原式ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可解：(2)原式=a2(x-y)-9b2(x-y)=(x-y)(a2-9b2)=(x-y)(a+3b)(a-3b)课堂练习

基础巩固题B因式分解的结果是积的形式，故A错误等式的右边不是整式，故A错误因式分解的结果是积的形式，故D错误课堂练习2．若a-b=3，x-y=2，则代数式a2-2ab+b2-x+y+2025的值是（

）DA.2026

B.2028C.

2030

D.2032解：a2-2ab+b2-x+y+2025=(a-b)2-(x-y)+2025∵a-b=3，x-y=2原式=32-2+2025=2032课堂练习3.图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为2a+b，小正方形的边长为2a-b，则放置冰块部分的面积为

。解：(2a+b)2-(2a-b)2=[(2a+b)+(2a-b)][(2a+b)-(2a-b)]=(2a+b+2a-b)(2a+b-2a+b)=4a×2b=8ab8ab课堂练习4．下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2-4a+4（2）1+4a2（3）4b2+4b-1（4）a2+ab+b2基础巩固题是，(a-2)2不是，缺少一次项±4a，或缺少四次项4a4不是，平方项符合不一致不是，ab项没有系数2课堂练习5．已知x+y=5，xy=3，求下列各式的值：（1）x2+y2（2）(x-2)(y-2)（3）x2y+xy2x2+y2=(x+y)2-2xy=25-6=19(x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4=3-2×5+4=-3x2y+xy2=xy（x+y）=5×3=15因式分解定义课堂小结因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的过程。核心：将“和差形式”转化为“乘积形式”。公因式公因式：多项式中各项都含有的相同因式（可以是数、字母或