寒假作业10 分式与运算（19道经典题型+5道中考真题）（解析版）-【寒假分层作业】2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业10分式与运算1.分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．2.分式的相关概念：1）分式值为0的条件：分子值为0，且分母不为0，即A=0且B0；2）分式有意义的条件：分母不为0，即B0；3）分式无意义的条件：分母为0，即B=0；4）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0；5）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0.3.分式的基本性质:分式的分子、分母同乘除一个不为零的整式，分式的值不变.即：用式子表示为或，其中A，B，C均为整式.4.分式的约分与通分1）分式的约分：约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数或公因式）.2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式.3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值.4）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母.5.分式的混合运算1）分式的加减①同分母：分母不变，分子相加减．即：用式子表示为：．②异分母：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．即：用式子表示为：．2）分式的乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．即用式子表示为：．3）分式的除法：把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．即用式子表示为：．4）分式的乘方：把分子、分母分别乘方．即用式子表示为：为正整数，．5）分式的混合运算：含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．6.科学记数法：当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）。1．年月日，上海微电子研发的浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知为米，数据用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选．2．对于分式，下列说法错误的是（

）A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义C．当时，分式的值为 D．当时，分式的值为正数【答案】A【解析】A、当时，，当时，分式无意义，故A不正确，符合题意；B、当时，分式无意义，故B正确，不符合题意；C、当时，，故C正确，不符合题意；D、当时，，∴分式的值为正数，故D正确，不符合题意；故选A．3．下列分式中，最简分式是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为原式，可知原分式不是最简分式，故A不合题意；因为是最简分式，故B符合题意；因为原式，可知原分式不是最简分式，故C不合题意；因为原式，可知原分式不是最简分式，故D不合题意；故选B．4．若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（）A．1 B．x C． D．4【答案】C【解析】A、若，则，能约分，故本选项不符合题意；B、若，则，能约分，故本选项不符合题意；C、若，则，不能约分，故本选项符合题意；D、若，则，能约分，故本选项不符合题意.故选C．5．若分式中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（

）A．扩大为原来的9倍B．扩大为原来的3倍C．不变D．缩小到原来的【答案】C【解析】用和代替式子中的x和y，得，则分式的值不变.故选C．6．下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A．若，则或，故本选项不一定正确，故不符合题意；B．，本选项正确，故符合题意；C．不一定成立，故不符合题意；D．，故选项错误，故不符合题意；故选B．7．以下三个分式，，的最简公分母是.【答案】【解析】因为，，，所以它们的最简公分母是，故答案为．8．学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为．（用含a、b、m的最简分式表示）【答案】【解析】，∴平均每天比原计划要多读的页数为，故答案为．9．计算：(1)；(2).【解析】（1）原式．（2）原式．10．（1）先化简，再求值：，其中．（2）先化简，再求值：，从中选出合适的最大整数值代入求值．【解析】（1），当时，原式；（2），，，，，，且a取最大整数，∴当时，原式．11．诊断与纠错：先化简分式，再代入一个合适的数求值．请观察以下解答过程，指出其中的错误，并写出正确的解答过程．解：原式

①

②

③

④，

⑤取，原式.

⑥错误的是第____步，请更正.【解析】错误的是第②、⑥步．纠正如下：原式，

∵且，取，原式．12．下列结论：①无论a为何值，都有意义；②当时，分式的值为0；③若的值为负，则x的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①∵，∴，∴不论a为何值，都有意义，故此结论正确；②当时，，此时分式无意义，故此结论错误；③∵的值为负，∴，∴，故此结论正确；④∵有意义，∴，解得，且，故此结论错误．综上所述，其中正确的个数是2．故选B．13．定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是．【答案】【解析】，故答案为：．14．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则．【解决问题】（1）若，则______0（填“”“”或“”）；（2）已知，，当时，比较A与的大小，并说明理由；（3）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升．①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含，的代数式表示，化简结果）；②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？【解析】（1）∵，∴，∴，故答案为：；（2），理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即；（3）①小王两次所加油的平均单价为：（元/升）；设小张油箱加满能加a升，则小张两次加油的平均单价为（元/升）；故答案为：，；②，∵，，∴时，，即，答：小王加油的平均单价低．15．阅读理解：例题：已知实数满足，求分式的值．解：，的倒数，.(1)已知实数满足，求分式的值．(2)已知实数满足，求分式的值．【解析】（1）∵，∴的倒数，∴；（2）∵，∴，∴的倒数，∴．16．如图，在长方形中，E为中点，以为边作正方形，边交于点H，在边上取点M使，作交于点L，交于点N．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了，连接，记的面积为，图中阴影部分的面积为，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵a=4b，∴，故选D．17．新定义：若两个分式A与的差为（为正整数），则称A是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（

）A．是的“3分式”B．若的值为，则是的“2分式”C．若是的“1分式”，则D．若与互为倒数，则是的“5分式”【答案】C【解析】A、，A说法正确；B、，B说法正确；C、由已知条件得：，化简得：，C说法错误；D、由已知得：，，D说法正确．故选C．18．定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】C【解析】A.∵，，∴与不是和谐分式，故A不符合题意；B.∵，，∴与不是和谐分式，故B不符合题意；C.∵，，∴，故C符合题意；D.，，∴与不是和谐分式，故D不符合题意．故选C．19．阅读下列材料，完成相应的任务．真分式与假分式将两个整数相除（除数不为零）表示成分数，可能得到真分数，也可能得到假分数；类似地，分式也有真、假之分．我们规定，在分式中，当分子中整式的次数大于或等于分母中整式的次数时，如，，称为假分式；当分子中整式的次数小于分母中整式的次数时，如，，称为真分式．一些假分数可以化为带分数，即整数与真分数之和，如：；类似地，我们也可以把一些假分式化为带分式，即整式与真分式之和（或差）的形式．例：；．任务：(1)下列分式中，______是假分式（填序号）.①；②；③；(2)小彬将一个假分式化成带分式的结果为，请求出原来的假分式.(3)请从下面两题中任选一题作答．A.将假分式化成带分式的结果为______；B.将假分式化成带分式的结果为______．【解析】（1）①分子、分母的最高次数相等，都是2，故为假分式；②分子的次数小于分母的次数，是真分式；③分子的次数大于分母的次数，是假分式；故答案为：①③.（2），故原假分式为.（3）若选择A：.若选择B：.故答案为：A：；B：．20．（2023年湖北省武汉市中考真题）已知，计算的值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】===，∵，∴，∴原式==1，故选A.21．（2023年福建省中考真题）已知，且，则的值为．【答案】1【解析】∵，∴，∴，即．∴．22．（2023年湖北省黄石市中考真题）先化简，再求值：，然后从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值．【解析】，∴当时，原式.23．（2023年江苏省盐城市中考真题）课堂上，老师提