四川省部分高中2026届高三上学期第一次联合质检考试 数学含解析

四川省部分高中2026届第一次联合质检考试数学试题考生注意：本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。◈预祝你们考试成功◈一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是A．57.2，3.6 B．57.2，56.4C．62.8，63.6 D．62.8，3.62．已知复数满足（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．3．已知集合，，则（

）A． B． C． D．4．若集合，则（

）A． B． C． D．5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（

）A． B． C． D．或6．抛物线的焦点到准线的距离为（

）A．4 B．2 C． D．7．已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．1 B． C．2025 D．40508．若，为锐角，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．10．已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（

）A．直线是的对称轴B．在上单调递减C．D．设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则11．“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，若，则.13．若函数在上可导，，则．14．如图，在直三棱柱中，点为棱上的点.且平面，则.已知，，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为.

四、解答题：本题共5小题，共77分．其中15题13分，16—17题各15分，18—19题各17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知.(1)求的单调递减区间；(2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.16．已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点.(1)求的方程：(2)过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：.17．已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.18．设函数，且.(1)求的取值范围；(2)若，且，求证：.19．设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列．(1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式；(2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值；(3)证明：不存在“等比关联数列”．

秘密※启用前四川省部分高中2026届第一次联合质检考试数学试题参考答案1．D【详解】平均数是2.8+60=62.8,根据方差公式可知方差不变．2．B【详解】由题设，所以.故选：B3．A【详解】因为，，由交集定义可得，.故选：A.4．D【详解】由得，则，解得，所以，则，所以.故选：D5．B【详解】因为，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又因为，所以．故选：B．6．B【详解】由题意知该抛物线的焦点为，准线方程为，故焦点到准线的距离为2，故选：B.7．C【详解】因为等差数列的前项和为，且，则，所以.故选：C.8．D【详解】因为，则，且，可得，且；又因为，则，且，可得；所以．故选：D.9．BCD【详解】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则，，故A错误；，故B正确；，，则，故C正确；，故D正确．故选：BCD．10．ACD【详解】由题可知：，可知函数关于对称，又，可知函数为奇函数，所以，则，即，所以4为函数的一个周期.对A，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，故是的对称轴，正确；对B，，所以函数在的单调性与函数在单调性相同，由，，且函数为上的奇函数，所以函数在单调递增，错误；对C,，则又，所以，正确；对D，函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数，所以可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同，且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以，正确.故选：ACD11．ABD【详解】对于A，根据外积定义可得，又，A正确；对于B，，，B正确；对于C，根据定义可得，长度相等，方向相反，即，C错误；对于D，，根据定义得与反向，，所以，D正确．故选：ABD.12．【详解】向量，，且，则，所以.故答案为：13．【详解】因为，所以，把代入得，解得．故答案为：．14．1【详解】取的中点为E，分别连接和，细查题意知，只有当是的中点时，才满足题意，原因如下：当是的中点时，，，，平面，平面，∵，∴平面平面，∵平面，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，，又，四边形为平行四边形，，即为的中点，所以；球面与侧面的交线长，即截面圆的弧长，，，，即，易得，取的中点为，故可得，平面平面，平面，平面平面，圆心距，设交线的轨迹为PQ，，截面圆半径，又因为，所以为等边三角形，.故答案为：1，.

15．(1)（）；(2)【详解】（1）解：，由（）得，∴的单调减区间为（）；（2）由题意得，∵，∴，∴，∴在上的值域为.16．(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）由椭圆：的离心率，得，则，由椭圆过点，得，解得，所以椭圆的方程为.（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：，由消去，得，设，显然，则，，所以.17．(1)证明见解析(2)(3)当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角的正弦值为【详解】（1）因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面，又平面，所以，因为四边形为菱形，所以，因为，、平面，所以平面，又平面，所以．（2）

如图，过在平面内作于，连接，因为平面，平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以，故为二面角的平面角，因菱形中，，则，，又是等边三角形，故，由，知，在中，，故二面角的正切值为.（3）因为，且平面平面，所以平面，所以到平面的距离即为到平面的距离，因为，所以，即，所以，设直线与平面所成的角为，则，，因正弦函数在第一象限单调递增，故要使最大，即使最大，则需使最小，此时，由对称性知，，所以，此时，故当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，且最大角的正弦值为.18．(1)(2)证明见解析【详解】（1）函数的定义域为，因为，故在内单调递增，由，可知.（2）因为，所以，即，即，由（1）可知对任意，有，即，因为，所以，令，则有，即，则，即，即故.19．(1)(2)(3)证明见详解【详解】（1）因为，，，由定义可知，，故数列的通项公式为；（2）因为中4项均不相同，所以有种，有项，假设，则，，，．设的公比为，则，又数列的第三项，第四项，或第三项，第四项，所以，且，得，且，