2025年中考数学总复习《锐角三角函数》预测复习含答案详解【培优A卷】

中考数学总复习《锐角三角函数》预测复习考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为．如果在坡度为的山坡上种植树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A． B． C． D．2、边长都为4的正方形ABCD和正EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合，现将EFG沿AB方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点F与点B重合时停止，在这个运动过程中，正方形ABCD和EFG重合部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A． B．C． D．3、如图，琪琪一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（）A．地在地的北偏西方向上 B．地在地的南偏西方向上C． D．4、cos60°的值为（）A． B． C． D．15、△ABC中，tanA＝1，cosB＝，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是_______．2、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，则tan∠DBE＝__________．3、如图,在中,是斜边上的中线,点是直线左侧一点,联结,若,则的值为______．4、如图，在中，点D是BC中点，点E、F分别在AB、AC上，连接DE、DF、EF，，，，，则EF的长为______．5、如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则tan∠ACB的值为_____．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方．求红蓝双方最初相距多远（结果不取近似值）．2、如图，平地上两栋建筑物AB和CD相距30m，在建筑物AB的顶部测得建筑物CD底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）3、计算：．4、计算：．5、如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在OC的延长线上，OD与AB相交于E，cosA＝，∠D＝30°．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，AC＝3，求BD的长．6、如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且BC是⊙O的切线．（1）判断△CBP的形状，并说明理由；（2）若OA＝6，OP＝2，求CB的长；（3）设△AOP的面积是S1，△BCP的面积是S2，且，若⊙O的半径为6，BP＝4，求tan∠APO．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据坡度为0.5，即可求出相邻两棵树的垂直距离为2m，根据勾股定理即可求出相邻两树间的坡面距离．【详解】解：∵坡度i=，∴相邻两棵树的垂直距离为4×0.5=2m，∴相邻两树间的坡面距离约为．故选：A【点睛】本题考查了坡度的定义，解直角三角形的应用，熟知坡度的定义“坡度=垂直距离：水平距离”是解题关键．2、C【分析】由题意知当t=2时，三角形和正方形重合一半面积，由此可列0≤t≤2和2≤t≤4分段函数．【详解】当0≤t≤2时，设运动时GF与AD交于点H∵四边形ABCD为正方形，三角形EFG为正三角形∴∠FAH=90°，∠AFH=60°∴AF=t，AH=tan60°·AF=t，开口向上当2≤t≤4时，设运动时GE与AD交于点O∵四边形ABCD为正方形，三角形EFG为正三角形∴∠EAO=90°，∠OEA=60°∴AF=t，EA=4-t，AO=tan60°·EA=（4-t），开口向下综上所述，由图象可知仅C选项满足两段函数．故选：C．【点睛】本题考查了动点的图像问题，做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，并观察确定图像分为几段，弄清每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，主要是正负增减及变化的快慢等．匀速变化呈现直线段的形式，平行于x轴的直线代表未发生变化，成曲线的形式需要看切线的坡度的大小确定变化的快慢．3、B【分析】根据题意可知，，由此即可得到即可判断A；由可以判断B；由可以判断C；求出即可判断D．【详解】解：如图所示：由题意可知，，，，即在处的北偏西，故A不符合题意；，地在地的南偏西方向上，故B不符合题意；，故C错误．，，，故D不符合题意．故选B．【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．4、C【分析】根据特殊角的余弦值即可得．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了特殊角的余弦，熟记特殊角（如）的余弦值是解题关键．5、C【分析】先根据△ABC中，tanA=1，cosB=求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵△ABC中，tanA=1，cosB=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．二、填空题1、221−2【解析】【分析】如图，连接AC，OC．证明点N在⊙T上，运动轨迹是OC，过点T作TH⊥AB于H．求出BT，TN，可得结论．【详解】解：如图，连接AC，OC．∵C是半圆的三等分点，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC，TN，TB．∵OM⊥PC，∴CM＝PM，∴NC＝NP，∴∠NPC＝∠NCP＝∠AOC＝30°，∴∠CNM＝60°，∴∠CNO＝120°，∵CNO＋∠OAC＝180°，∴点N在⊙T上，运动轨迹是OC，过点T作TH⊥AB于H．在Rt△ATH中，AH＝OH＝3，∠TAH＝30°，∴TH＝AH•tan30°＝，∴AT＝TN＝2HN＝2，在Rt△BHT中，BT＝TH∵BN≥BT−TN，∴BN≥221∴BN的最小值为221故答案为：221【点睛】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点N的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．2、3【解析】【分析】根据DE⊥AB，cosA＝，设AE＝4x，AD＝5x，根据勾股定理DE＝，根据四边形ABCD为菱形，可得菱形的边AB＝AD＝5x，可求BE=AB-AE=5x-4x=x，根据正切定义求tan∠DBE=即可．【详解】解：∵DE⊥AB，cosA＝，∴设AE＝4x，AD＝5x，在Rt△ADE中，DE＝，∵四边形ABCD为菱形，∴菱形的边AB＝AD＝5x，∴BE=AB-AE=5x-4x=x，∴tan∠DBE=．故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长是解题的关键，利用∠A的余弦设AE=4x，AD=5x使求解更加简便．3、【解析】【分析】先证明，则，进而证明，据求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：是斜边上的中线，即又又又设，则故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明是解题的关键．4、【解析】【分析】延长ED到G使DG=ED，连结GC，GF，过G作GH⊥AC与H，根据点D为BC中点，得出BD=CD，先证△BDE≌△CDG（SAS），可得BE=CG=3，∠B=∠GCD，得出∠GCH=∠DCG+∠ACB=∠B+∠ACB=60°，根据30°直角三角形先证可得HC=，利用锐角三角函数可求GH=cos30°GC=，在Rt△GHF中，FG=，再证，即，根据三角函数可求即可【详解】解：延长ED到G使DG=ED，连结GC，GF，过G作GH⊥AC与H，∵点D为BC中点，∴BD=CD，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE=CG=3，∠B=∠GCD，∵，∴∠B+∠ACB=180°-∠BAC=180°-120°=60°，∴∠GCH=∠DCG+∠ACB=∠B+∠ACB=60°，在Rt△GCH中，∠HGC=90°-∠HCG=30°，∴HC=，GH=cos30°GC=，∵CF=5，∴HF=CF-CH=5，在Rt△GHF中，FG=，∵，∴，∵，∴，即，在Rt△EFG中，∴．故答案为．【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，三角形内角和，30°直角三角形性质，锐角三角函数，勾股定理，直角三角形判定与性质，本题难度较大，综合性强，利用辅助线构造准确图形是解题关键．5、【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC，再根据等积关系求出BD，再根据勾股定理求出AD以及CD，最后再求出角的正切值即可．【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图，由勾股定理得，根据等积关系得，∴由勾股定理得，∴∴故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三、解答题1、红蓝双方最初相距（）米．【解析】【分析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，红蓝双方相距AB=DF+CE．在Rt△BCE中，根据锐角三角函数的定义求出CE的长，同理，求出DF的长，进而可得出结论．【详解】解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，红蓝双方相距AB=DF+CE．在Rt△BCE中，∵BC=1000米，∠EBC=60°，∴CE=BC•sin60°=1000×=500米．在Rt△CDF中，∵∠F=90°，CD=1000米，∠DCF=45°，∴DF=CD•sin45°=1000×=500米，∴AB=DF+CE=（500+500）米．答：红蓝双方最初相距（）米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2、建筑物CD的高度约为45m．【解析】【分析】如图所示，过点A作AE⊥CD于E，先证明AE=CE，然后证明四边形ABDE是矩形，则AE=BD=30m，CE=AE=30m，，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，∴∠AEC=∠AED=90°，∵∠CAE=45°，∴∠C=45°，∴∠C=∠CAE，∴AE=CE，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠BDE=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴AE=BD=30m，∴CE=AE=30m，，∴CD=CE+DE=45m，答：建筑物CD的高度约为45m．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解．3、0【解析】【分析】先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解．【详解】解：【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角锐角三角函数值是解题的关键．4、．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5、（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）连接OB，由cosA＝得∠A＝30°，则∠BOD＝2∠A＝60°，而∠D＝30°，可求得∠OBD＝90°，根据切线的判定定理即可证明；（2）由OD⊥AB，根据垂径定理得BE＝AE，则BC＝AC＝3，再证明△BOC是等边三角形，则OB＝BC＝3，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得OD＝2OB＝6，根据勾股定理即可求出BD的长．【详解】（1）证明：如图，连接OB，∵cosA＝，且cos30°＝，∴∠A＝30°，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠BOD＝60°，∵∠D＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵OB是⊙O的半径，且BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线．（2）解：如图，∵OD⊥AB，∴EB＝AE，∴BC＝AC＝3，∵OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC＝3，∵∠OBD＝90°，∠D＝30°，∴OD＝2OB＝6，∴BD＝＝＝3，∴BD的长为3．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值、切线的证明、垂径定理以及直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．6、（1）等腰三角形，理由见解析；（2）8；（3）【解析】【分析】（1）由垂直