2021-2022学年高三4月月考卷 数学（二） 解析版

此卷只装订不密封班级姓名准考证号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，故选D．2．已知非零向量，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，则，故，即充分性成立，由，若时，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．3．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由角的终边经过点，即，所以，故选D．4．已知实数，满足约束条件，若目标函数的最大值是7，则实数（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，解得，若，则没有满足不等式组的解，所以，作出不等式组，所表示的可行域（图中阴影部分所示）．平移直线，由图可见，当动直线过点时，直线在轴上的截距取最大值，由，解得，将点坐标代入直线，得，解得，故选B．5．在数列中，，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在数列中，，，，，所以数列的周期为3，，所以，故选B．6．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法，按照分步乘法原理，共有种方法，故选C．7．已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】构造函数，其中，则，所以，函数为上的奇函数，当时，，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，且该函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，因为，则，由，得，可得，解得，故选C．8．已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得．因为，所以或．当时，；当时，，所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分．当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为，故的最大值与最小值的比值是，故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船顺利升空，这是继2021年9月17日神舟十二号顺利返回地面后，一个月内再次执行载人飞行任务，实现了我国航天史无前例的突破，为弘扬航天精神，某网站举办了“我爱星辰大海——航天杯”在线知识竞赛，赛后统计，共有2万市民参加了这次竞赛，其中参赛网友的构成情况，如下表所示：单位党政机关企事业单位教师和学生个体工商户普通市民参赛人数所占比例（单位：%）203025其中，则下列说法正确的是（）A．B．参赛人数所占比例的这一组数据的众数为30%C．普通市民参赛人数为1千人D．各类别参赛人数的极差超过4000人【答案】CD【解析】由表可知，且a=4b，解得，，故A错误；在参赛人数占比中，20出现了2次，其他数只出现1次，故众数为20%，B错误；普通市民参赛人数为，故C正确；企事业单位参赛人数最多，为（人），而普通市民参赛人数最少，为1000人，故各类别参赛人数的极差为（人），故D正确，故选CD．10．若，则下列不等式中正确的有（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】对于A选项，因为，所以，故A正确；对于B选项，因为函数在R上单调递增，所以，故B正确；对于C选项，当时，不成立，故C不正确；对于D选项，当，时，，故D不正确，故选AB．11．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A．若，，则B．若，，则的面积为C．若，则的最大值为D．若，则周长的取值范围为【答案】ACD【解析】因为，所以．对于A，B，若，则，，解得，的面积，A正确，B错误；对于C，若，则，，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，C正确；对于D，若，则根据三边关系可得，即，解得，则，的周长为，故周长的取值范围为，D正确，故选ACD．12．在三棱锥中，，，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则以下结论正确的是（）A．平面PDE⊥平面ABC B．平面PAF⊥平面ABCC．AB//平面PFE D．三棱锥的外接球表面积为【答案】BC【解析】如图所示，对于A，设AF与DE的交点为M，则AF和DE垂直，若平面PDE⊥平面ABC，那么根据面面垂直的性质定理，必有AF⊥平面PDE，此时须有成立，又因为M是AF的中点，此时须有成立，上式显然不成立，所以A不正确；对于B，由于，，因此且PF⊥BC，，又AF，PF平面PAF，故BC⊥平面PAF，而BC平面ABC，所以平面PAF⊥平面ABC，所以B正确；对于C，由于，EF平面PEF，AB平面PEF，因此AB//平面PFE，所以C正确；对于D，作PN⊥平面ABC，垂足为N，则N为正三角形ABC的重心，所以，，设三棱锥P-ABC的外接球球心为O，则O在PN上，连接AO，设三棱锥P-ABC的外接球半径为R，则在中，，解得，因此其外接球表面积为，所以D不正确，故选BC．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知复数（为虚数单位），则_________．【答案】【解析】由题意可得，则，因此，，故答案为．14．已知的展开式中的系数为__________．【答案】240【解析】展开式的通项公式为：，令，则，故的系数为，故答案为240．15．已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是_________．【答案】【解析】设右焦点为，连接，，因为，即，可得四边形为矩形．在中，，．由椭圆的定义可得，所以，所以离心率，故答案为．16．已知函数，其单调增区间为_______；若对于，都有，则的取值范围是______．【答案】，【解析】，，令，得出，故的单调增区间为；时，，单调递减，设，即可转化为，令，在上单调递增，不等式才能恒成立，则，解得．令，时，单调递增；时，单调递减，，，故答案为，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①，，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．问题：在数列中，已知________．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）选择①．因为，所以，所以是常数列．又，所以，故．选择②．因为①所以当时，，解得，当时，②故时，由①－②可得，所以，又，所以．（2）由（1）可知，，则，，两式相减得，故．18．（12分）如图，圆内接四边形中，，，．（1）求；（2）求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，由正弦定理得，即，所以．（2）因为四边形内接于圆，故．设，，在中，由余弦定理得，因为，所以，即，当且仅当时等号成立．所以，所以面积的最大值是．19．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．（1）若直线BF∥平面ACE，求实数的值；（2）当时，求二面角的大小．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为底面，，平面，所以，．由题意可知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，则，所以．设平面的一个法向量为，由，得，不妨令，得．因为平面，所以，解得．（2）由（1）知，，，平面的一个法向量为，所以．设平面的一个法向量为，由，得，令，得，所以，所以，所以二面角的大小为．20．（12分）已知椭圆的焦距为2，且过点．若直线为椭圆与抛物线的公切线．其中点分别为，上的切点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最小值．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）椭圆半焦距，依题意，，，又，解得，，所以椭圆的标准方程为．（2）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，，由消去x并整理得，则，即，，由消去x并整理，得，则，即，，点O到直线的距离为，∴，当且仅当，即时取“=”，所以面积的最小值为2．21．（12分）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军．积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员积1分．已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为．（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少？（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为．①求出的最大值点；②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望．【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析，数学期望为．【解析】（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是．（2）①由题可知，，令，得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以的最大值点．②的可能取值为0，1，2，3．；；；，所以的分布列为0123的期望为．22．（12分）已知函数．（