2025-2026学年广东省阳江三中高二（上）开学数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省阳江三中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|x≤0,x∈Z}，则A∩B=(

)A.[−1,0] B.{0,1,2,3} C.[0,3] D.{−1,0}2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[2a−3,4a]上的偶函数，那么a+b的值是A.−13 B.13 C.−3.若复数z=3−4i4+3i(i为虚数单位)，则|z|=A.32 B.1 C.12 4.设a=e−1，b=ln12，A.c<a<b B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b5.已知3sinx−4cosx=0，则cos2x=(

)A.−725 B.−2425 C.6.已知向量a=(x,2)，b=(−3,6)，若a/​/b，则A.4 B.−4 C.1 D.−17.一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是(

)A.极差 B.中位数 C.平均数 D.众数8.已知α，β为锐角，且sinα=2sinβcos(α+β)，则tanβ的最大值A.34 B.22 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=m2−4+(m−2)i(m∈R)，则A.若复数z为实数，则z=0

B.若复数z为纯虚数，则m=±2

C.当m=1时，|z|=10

D.复数10.已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则(

)A.这组数据的极差为4 B.这组数据的方差为2

C.这组数据的众数等于平均数 D.这组数据的第70百分位数为202511.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[−3.5]=−4，[2.1]=2.已知函数f(x)=2x1+2x−A.g(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数

C.f(x)在R上是增函数 D.g(x)的值域是{−1,0,1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为______．13.已知平面向量a=(x,1)，b=(1−x,2x)，若a⊥(a+14.已知正三棱锥的各顶点都在体积为36π的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=2cos2x+3sin2x−1+m，其中x∈R．

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若x∈[0,π2]16.(本小题15分)

某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为10mg/片.由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．

(1)计算样本的平均数x−和方差s2；

(2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标(若|x17.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinC=c(1+cosA)．

(1)求A；

(2)若a=2，△ABC的周长为6，求△ABC的面积．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，M，N分别是PA，PB的中点．

(1)求证：MN//平面ABCD；

(2)求证：CD⊥平面PAD；

(3)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．19.(本小题17分)

(1)已知x>0，y>0，且2x+3y=6，求xy的最大值；

(2)已知x>0，y>0，1x+9y=1，求x+y的最小值；

(3)已知k>16，若对任意正数x，y，不等式参考答案1.D

2.D

3.B

4.B

5.A

6.D

7.C

8.D

9.ACD

10.ACD

11.BC

12.8

13.1014.4

15.解：(1)f(x)=cos2x+3sin2x+m=2sin(2x+π6)+m，

∴T=2π2=π．

由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，16.解：(1)根据题意，样本数据为：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1，

则其平均数x−=110(9.7+10+9.7+9.6+9.7+9.9+10.2+10.1+10+10.1)=9.9mg，

其方差S2=110(0.04+0.01+0.04+0.09+0.04+0+0.09+0.04+0.01+0.04)=0.04，

(2)根据题意，由(1)的结论，样本的平均数x−=9.9，方差s2=0.04，

则有|x−−10|=0.1，而3.25s210=0.6510>0.653，

则有|x−−10|<3.25s210，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标．

17.(1)因为3asinC=c(1+cosA)，

正弦定理得3sinAsinC=sinC(1+cosA)．

又sinC≠0，得3sinA−cosA=1，

即sin(A−π6)=118.解：(1)证明：在△PAB中，∵M，N分别是PA，PB的中点，

∴MN//AB，

又MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴MN//平面ABCD．

(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD⊥CD，

又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，

又PA∩AD=A，且PA，AD⊂平面PAD，

∴CD⊥平面PAD．

(3)由(2)知，CD⊥平面PAD，

∴PD为斜线PC在平面PAD上的射影，∠CPD为直线PC与平面PAD所成角．

由题意，在Rt△PCD中，PD=2，CD=1，

∴PC=PD2+CD2=3，

19.(1)因为x>0，y>0，2x+3y=6，可得6≥22x⋅3y，解得xy≤32，

当且仅当2