专题23.1 成比例线段与相似图形（学生版）

专题23.1成比例线段与相似图形1.成比例线段的定义及比例的基本性质（重点）2.黄金分割的定义及简单计算（重点）3.相似图形的概念，尤其是相似多边形的定义和基本性质（重点）4.灵活运用比例的基本性质解决复杂问题（难点）5.“找等量关系”时，难以将实际问题中的文字描述转化为数学式子（难点）6.运用相似多边形的性质解决综合性问题（难点）相似图形1.定义我们把具有相同形状的图形称为相似图形特别解读1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件2.两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关2.两个关系(1)相似图形之间的关系:两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到(2)相似与全等的关系:当两个图形的形状相同、大小也相司时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等成比例线段1．两条线段的比在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。线段与线段的比记作＂＂或"a:b".2.对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如（或，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．在通常情况下，四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，也可以使与的单位一致，与的单位一致。线段a,b,c,d成比例，只可以写成或，即四条线段a,b,c,d成比例是有顺序的，不能随便更改位置。3．比例中项如果，那么叫做和的比例中项，当a,b,c为一般实数时，则由得同号）；当a,b,c为线段长时，则由得．比例的基本性质1.比例的基本性质如果，那么；如果，那么．2.比例的基本性质推广（1）合比性质：；（2）等比性质：0）．平行线分线段成比例的基本事实平行线分线段成比例的基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”)数学语言：如图，∵，可简记为：．1.所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；2.利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上平行线分线段成比例的推论平行线分线段成比例的基本事实的推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例数学语言：如图，若，则有或或．1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三角形一边上的特殊情况。2.当被截的两条直线相交时，其交点处可看成含一条隐形的平行线相似三角形1.定义对应边成比例、对应角相等的三角形相似，反之两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等2.表示方法相似用符号＂cs＂来表示，读作＂相似于＂．例如与相似，记作＂＂，读作＂相似于＂。3．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比为1时，两个三角形全等。用符号“”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，相似三角形的相似比具有顺序性平行线截三角形相似的定理定理平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有，图①②很像大写字母，故我们称之为＂A＂型相似；图③很像大写字母X，故我们称之为＂＂型相似（也像阿拉伯数字＂8＂）．题型一、比例的性质例1（24-25九年级上·四川·期中）如果，那么．1-1（24-25九年级上·重庆·期中）如果，那么．1-2（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（

）A． B． C． D．1-3（24-25九年级上·广西来宾·期中）若，则的值是（

）A． B． C．20 D．1-4（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，那么（

）A． B． C． D．题型二、比例线段例2（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是．2-1（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知线段，则线段a，b的比例中项是．2-2（24-25九年级上·广东河源·期中）下列四组长度的线段中，是比例线段的是（

）A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，152-3（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在比例尺为的无锡旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为km．2-4（24-25九年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，则代数式的值是；（2）已知线段，，则线段a，b的比例中项是．题型三、成比例线段例3（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的合肥市城区地图上量得包公祠与大蜀山两地间距离是，那么两地的实际距离是．3-1（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知a、b、c、d是一组成比例线段，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．3-2（24-25九年级上·贵州毕节·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（

）A． B．C． D．3-3（24-25九年级上·陕西榆林·期中）若线段，，，是成比例线段，且，，，则（

）A． B． C． D．3-4（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题．(1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长；(2)若，，求a，b，c的长．题型四、黄金分割例4（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为厘米．4-1（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，古筝上的一根弦的长度约为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度约为cm．（结果保留根号）4-2（24-25九年级上·甘肃白银·期中）已知点C是线段的黄金分割点，且，若，则．4-3（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（

）A． B．C． D．4-4（24-25九年级上·安徽六安·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（

）．A． B． C． D．题型五、由平行判断成比例的线段例5（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（

）A．3 B．5 C．6 D．95-1（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．5-2（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是上的一点，请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）5-3（24-25九年级上·上海静安·期中）已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（

）A． B．C． D．5-4（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离，已知某一时刻的地面的影长，在地面的影长，则窗户的高是（）A． B． C． D．题型六、由平行截线求相关线段的长或比值例6（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，直线，，，，则的长为（

）A．3 B．1.5 C．4 D．26-1（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的菱形网格中，连接两网格线上的点，，线段与网格线的交点为，，则为．6-2（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，已知，，则．6-3（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（）A． B． C． D．6-4（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且．(1)_____．(2)求的长．题型七、相似图形例7（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（

）．

A．矩形B．矩形和锐角三角形C．矩形和直角三角形D．锐角三角形和直角三角形7-1（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（

）A．

B．

C．

D．

7-2（23-24九年级上·河南驻马店·期中）下列形状分别为正方形、圆、正三角形、矩形的边框，其中不一定是相似图形的是（

）A． B．C． D．7-3（24-25九年级上·上海静安·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（

）A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形7-4（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（）A．所有的矩形都是相似形B．所有的等腰直角三角形都相似C．对应角相等的两个多边形相似D．对应边成比例的两个多边形相似题型八、相似多边形例8（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（

）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁8-1（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（

）A．0组 B．1组 C．2组 D．3组8-2（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有．（填序号）8-3（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法中，正确的是（

）A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似8-4（24-25九年级上·辽宁·期中）下列两个图形一定相似的是（

）A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形题型九、相似多边形的性质例9（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形四边形，则的值为．9-1（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为．9-2（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，，，，，则边的长是（

）A． B． C． D．9-3（24-25九年级上·江西抚州·期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是6，那么第二个矩形较长的一边长是．9-4（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）（1）解方程：；（2）如图，在矩形中，，E、F分别是、上的点，且，若矩形矩形，求的长．例已知点C是线段的黄金分割点，且，若，则．【答案】【分析】本题主要考查了黄金分割知识点，记住黄金分割公式是解题关键．根据黄金分割的定义即可求出答案．【详解】解：∵C是线段的黄金分割点，且，，∴，，

故答案是：1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，则下列式子正确的是（）A． B． C． D．2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．如果，，则的长为（

）A．4 B．6 C．7 D．83．（24-25九年级上·上海·期中）已知，那么下列四个选项中一定正确的是（

）A． B． C． D．4．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）下列命题正确的是（

）A．两个菱形相似 B．各有一个角的两个等腰三角形相似C．一角相等的两个直角三角形相似 D．腰对应成比例的两个等腰三角形相似5．（24-25