2025年中考数学试题及答案

2025年中考数学试题及答案

一、单项选择题1.计算：$(-3)^2$的结果是（）A.-9B.9C.-6D.6答案：B2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形答案：A3.函数$y=\sqrt{x-2}$中，自变量$x$的取值范围是（）A.$x\gt2$B.$x\geq2$C.$x\lt2$D.$x\leq2$答案：B4.一元二次方程$x^2-3x=0$的根是（）A.$x=3$B.$x_1=0$，$x_2=3$C.$x=-3$D.$x_1=0$，$x_2=-3$答案：B5.已知点$A(2,y_1)$，$B(3,y_2)$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，则$y_1$与$y_2$的大小关系是（）A.$y_1\lty_2$B.$y_1\gty_2$C.$y_1=y_2$D.无法确定答案：B6.一个圆锥的底面半径为$3$，母线长为$5$，则这个圆锥的侧面积是（）A.$15\pi$B.$20\pi$C.$24\pi$D.$30\pi$答案：D7.已知$\odotO$的半径为$5$，点$P$到圆心$O$的距离为$4$，则点$P$与$\odotO$的位置关系是（）A.点$P$在$\odotO$内B.点$P$在$\odotO$上C.点$P$在$\odotO$外D.无法确定答案：A8.数据$2$，$3$，$4$，$5$，$4$，$3$的众数是（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$答案：B、C9.若一次函数$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）的图象经过点$A(0,-1)$，$B(1,1)$，则不等式$kx+b\gt1$的解集为（）A.$x\lt0$B.$x\gt0$C.$x\lt1$D.$x\gt1$答案：D10.如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，则$\frac{DE}{BC}$的值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$答案：B二、多项选择题1.下列运算正确的是（）A.$a^2\cdota^3=a^5$B.$(a^2)^3=a^6$C.$a^6\diva^2=a^3$D.$(ab)^3=a^3b^3$答案：ABD2.下列数据是$30$个不同班级的学生人数：$40$，$42$，$45$，$45$，$47$，$47$，$48$，$48$，$48$，$49$，$49$，$50$，$50$，$50$，$50$，$51$，$51$，$51$，$52$，$52$，$52$，$52$，$53$，$53$，$54$，$54$，$55$，$55$，$56$，$57$，$58$，$59$。则关于这组数据，说法正确的是（）A.众数是$50$B.中位数是$50$C.平均数约为$49.7$D.方差约为$19.5$答案：ABCD3.下列命题中，是真命题的有（）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直、相等且平分的四边形是正方形答案：ABD4.对于二次函数$y=-x^2+2x+3$，下列说法正确的是（）A.图象开口向下B.对称轴是直线$x=1$C.当$x\gt1$时，$y$随$x$的增大而增大D.函数图象与$y$轴的交点坐标是$(0,3)$答案：ABD5.已知正多边形的一个外角是$36^{\circ}$，则该正多边形的边数和内角和分别为（）A.边数是$10$B.边数是$9$C.内角和是$1440^{\circ}$D.内角和是$1260^{\circ}$答案：AC6.如图，在$\odotO$中，弦$AB=CD$，则下列结论正确的是（）A.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$B.$\angleAOB=\angleCOD$C.$AC=BD$D.$AB\parallelCD$答案：ABC7.若关于$x$的一元二次方程$x^2-2x+m=0$有两个不相等的实数根，则$m$的值可以是（）A.$0$B.$1$C.$-1$D.$2$答案：AC8.下列函数中，$y$随$x$的增大而减小的函数有（）A.$y=-2x+1$B.$y=\frac{3}{x}$（$x\gt0$）C.$y=x^2-4x+5$（$x\lt2$）D.$y=3x-2$答案：ABC9.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，点$D$在$AB$上，$DE\perpAC$于点$E$，$DF\perpBC$于点$F$，则下列说法正确的是（）A.四边形$CEDF$是矩形B.若$D$是$AB$中点，则$DE=DF$C.若$DE=DF$，则$D$是$AB$中点D.四边形$CEDF$的周长最大值为$10$答案：ABC10.已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象上，当$x_1=1$，$x_2=3$时，$y_1=y_2$，则下列说法正确的是（）A.对称轴是直线$x=2$B.$a+b+c=9a+3b+c$C.若$a\gt0$，则当$x_1\ltx_2$时，$y_1\lty_2$D.若$a\lt0$，则当$x\gt2$时，$y$随$x$的增大而减小答案：ABD三、判断题1.两个锐角的和一定是钝角。（×）2.若$a\gtb$，则$ac^2\gtbc^2$。（×）3.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。（√）4.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，函数图象一定有最高点。（√）5.一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。（√）6.对角线相等的平行四边形是菱形。（×）7.若分式$\frac{x-1}{x^2-1}$有意义，则$x\neq\pm1$。（×）8.正六边形的每个内角都是$120^{\circ}$。（√）9.若一次函数$y=kx+b$（$k\neq0$）的图象经过第一、二、四象限，则$k\lt0$，$b\gt0$。（√）10.方程$x^2+2x+3=0$有两个不相等的实数根。（×）四、简答题1.先化简，再求值：$(x+1)^2-x(x+2)$，其中$x=\sqrt{3}$。答案：化简：\[\begin{align}&(x+1)^2-x(x+2)\\=&x^2+2x+1-x^2-2x\\=&1\end{align}\]当$x=\sqrt{3}$时，原式的值为$1$。2.解不等式组：$\begin{cases}2x+1\gt-1\\3-x\geq1\end{cases}$答案：解不等式$2x+1\gt-1$，$2x\gt-1-1$，$2x\gt-2$，$x\gt-1$。解不等式$3-x\geq1$，$-x\geq1-3$，$-x\geq-2$，$x\leq2$。所以不等式组的解集为$-1\ltx\leq2$。3.如图，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，点$D$在$BC$上，$DE\parallelAC$交$AB$于点$E$，$DF\parallelAB$交$AC$于点$F$。求证：$DE+DF=AB$。答案：因为$DE\parallelAC$，$DF\parallelAB$，所以四边形$AEDF$是平行四边形，则$DF=AE$。又因为$AB=AC$，所以$\angleB=\angleC$。由于$DE\parallelAC$，所以$\angleEDB=\angleC$，则$\angleB=\angleEDB$，所以$BE=DE$。那么$DE+DF=BE+AE=AB$。4.已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）的图象经过点$A(2,3)$。（1）求该反比例函数的解析式；（2）当$x\gt3$时，求$y$的取值范围。答案：（1）把$A(2,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$，所以反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。（2）当$x=3$时，$y=\frac{6}{3}=2$。因为$k=6\gt0$，在$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x\gt3$时，$0\lty\lt2$。五、讨论题1.在平面直角坐标系中，已知二次函数$y=x^2-2x-3$。（1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）画出函数图象，并结合图象讨论当$m$为何值时，方程$x^2-2x-3=m$有两个不同的实数根，有两个相同的实数根，没有实数根。答案：（1）将二次函数$y=x^2-2x-3$化为顶点式：$y=(x-1)^2-4$，所以顶点坐标为$(1,-4)$，对称轴是直线$x=1$。（2）列表、描点、连线画出函数图象。方程$x^2-2x-3=m$的根的情况，即函数$y=x^2-2x-3$与直线$y=m$的交点情况。当$m\gt-4$时，函数$y=x^2-2x-3$与直线$y=m$有两个不同交点，方程有两个不同实数根；当$m=-4$时，有一个交点，方程有两个相同实数根；当$m\lt-4$时，无交点，方程没有实数根。2.如图，在$\triangleABC$中，$\angleBAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，点$D$是$BC$中点，点$E$，$F$分别在$AB$，$AC$上，且$DE\perpDF$。（1）求证：$BE=AF$；（2）讨论当$\triangleABC$的面积为$16$时，四边形$AEDF$的面积是多少。答案：（1）连接$AD$。因为$\angleBAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，$D$是$BC$中点，所以$AD=BD=CD$，$\angleB=\angleC=45^{\circ}$，$AD\perpBC$，$\angleBAD=\angleCAD=45^{\circ}$。因为$DE\perpDF$，所以$\angleEDF=90^{\circ}$。又因为$\angleBDA=90^{\circ}$，所以$\angleBDE+\angleADE=\angleADF+\angleADE=90^{\circ}$，则$\angleBDE=\angleADF$。在$\triangleBDE$和$\triangleADF$中，$\angleB=\angleDAF=45^{\circ}$，$BD=AD$，$\angleBDE=\angleADF$，所以$\triangleBDE\cong\triangleADF$（ASA），所以$BE=AF$。（2）因为$\triangleABC$面积为$16$，$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}AB\cdotAC=16$，$AB=AC$，可得$AB=AC=4\sqrt{2}$。由（1）知$\triangleBDE\cong\triangleADF$，所以$S_{\triangleBDE}=S_{\triangleADF}$。则四边形$AEDF$的面积等于$\triangleABD$的面积。$S_{\triangleABD}=\frac{1}{2}S_{\triangleABC}=8$。3.已知$\odotO$的直径$AB=10$，弦$CD\perpAB$于点$E$，且$CD=8$。（1）求$OE$的长；（2）讨论当点$P$在$\odotO$上运动时，$\trianglePCD$面积的最大值。答案：（1）连接$OC$，因为$AB$是直径，$AB=10$，所以$OC=5$。因为$CD\perpAB$，$CD=