人教版（2024版）八上数学14.3 角的平分线（第1课时）-课件

第十四章全等三角形14.3角的平分线（第1课时）1．理解“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的性质，并能证明这个性质定理；2．运用角平分线的性质解决实际问题．说一说角平分线的定义？从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.

前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等．本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上．角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的．我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系．探究：如图所示，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系．研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况．在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM＝PN？在图中可以发现，在△OPM和△OPN中，OP＝OP，∠POM＝∠PON．如果OM＝ON，那么△OPM≌△OPN（SAS），就有PM＝PN．反过来，如图所示，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM＝ON．点P在∠AOB的内部，PM＝PN．连接OP，可以证明△OPM≌△OPN（SSS），所以∠POM＝∠PON，即点P在∠AOB的平分线上．思考：由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？分析：根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了．

想一想为什么？下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形．探究：如图所示，OC是∠AOB的平分线．点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3……．分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……，你有什么发现？P1D1＝P1E1，P2D2＝P2E2，P3D3＝P3E3，…，猜想角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．你能利用全等三角形证明这个性质吗？我们证明这个性质．首先，要分清其中的“已知”和“求证”．显然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证．已知：如图所示，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD＝PE．分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD＝PE．由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件．

一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1．明确命题中的已知和求证；2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．根据题意，画出图形时，作图要尽量规范，通过观察、测量规范的图形可猜想有关结论；不规范的图形容易误导解题思路．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言:∵点P在∠AOB平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.（1）“距离”指的是点到角的两边的垂线段的长度；（2）使用该性质的前提条件是图中有角平分线和垂直条件．例：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B＝∠C.

【知识技能类练习】必做题：

D【知识技能类练习】必做题：

C【知识技能类练习】必做题：

【知识技能类练习】选做题：

3或5【综合拓展类练习】5．如图，有3条公路a，b，c两两相交，现在要修建加气站，使得加气站到3条公路的距离都相等．(1)满足条件的加气站共有______处；(2)请你找出一处加气站P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）4

角的平分线尺规作角的平分线角的平分线的性质几何命题的证明步骤角的平分线上的点到角的两边的距离相等