第一章勾股定理问题解决策略反思课件北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理问题解决策略：反思情境导入公园里，美丽的草坪上有时会出现一条很不美观的“捷径”，这种不文明现象却反映了一个数学原理，你知道是什么吗？两点之间，线段最短新知探究一个圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？AB理解问题：（1）在这个问题中，已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？已知条件：圆柱，高12cm，底面圆的周长是18cm，点A和点B相对（2）沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用图形水杯等物品实际感受一下。ABABAB拟定计划：（1）以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？以前研究的都是平面上的最短路线问题，而这个问题是在曲面上寻找最短路线（2）如何将曲面最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确定？考虑将曲面展开即可转化为平面图形上的最短路线问题，根据展开图的特点及题目确定各个点的位置AB实施计划：(1)如图，将圆柱侧面剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系。(3)在图中确定A,B两点之间最短的路线，并计算它的长度。(2)在图中标出点B的位置。ABABABABABAB两点之间线段最短ABABCD分析：圆柱的高是12cm，则AC=12cm圆柱底面圆周长是18cm，则CD=18cm解：由题意可知，点B是CD的中点CD=18cm∴BC=9cm∵△ABC是直角三角形，AC=12cm∴AC²+BC²=AB²∴12²+9²=AC²=225∴AC=15cm综上，最短路程是15cm在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验?与同伴进行交流。联系已有经验，将立体图形转换为平面图形，确定相关点的位置，利用“两点之间线段最短”的原理，最后结合勾股定理求最短距离回顾反思解决这个问题的经验，还可以运用到哪些问题中?例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题?能，求长方体表面两点之间最短距离，需通过不同面的展开，计算多种可能路径的长度，再选取最短的。ABABBABA回顾反思回顾反思解决问题之后的反思一般可以关注以下几个方面：反思解决问题的过程，强化解决问题的经验；比较解决问题的方法，形成多样的解决问题的方法；思考方法的本质，促进方法的应用；改变问题的条件，研究更多的问题1.如图，圆柱的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对、离上底面1cm的点B处的食物,那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?课堂练习ABABC分析：点A和点B相对，底面周长为10cm，从而AC=5cm，因为高为13cm，点B离上底面1cm，则BC=12cm，利用勾股定理求出AB即可2.一个长方体形盒子的长、宽、高分别是8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的外表面爬到盒顶的点B处，你能蚂蚁设计一条最短的路线吗?蚂蚁爬行的最短路程是多少?AB8812课堂练习ABBABA3.为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带。已知大厅圆柱的高为6m，底面周长为2m。如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米?课堂练习分析：绕圆柱4圈，意味着在展开图的“长”方向上，彩带需要覆盖的总长度为

4x2=8

米。利用勾股定理求彩带长度：彩带在展开图中是连接长方形左下角到右上角的斜边，此时直角三角形的两条直角边分别为：水平边：8m（4圈的总周长）垂直边：6m（圆柱的高）根据勾股定理

可得彩带长度4.如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为多少？课堂练习ABC第一种情况：AC²=AB²+BC²=AB²+BC²=6²+1²=37CBACBADABC第二种情况：AC²=AD²+CD²=3²+(3+1)²=9+16=25∵25<37∴需要爬行的最短距离是5cm5.如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深为AE＝40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼铒，G在水面线EF上，且EG＝60

cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内到G处吃鱼铒，则小虫爬行的最短路线长为()A．40

cmB．60

cmC．80

cmD．100cmDG'OM于是，以BC为对称轴，作出点G的对称点G'，连接AG'，与BC交于点O，此时OG+AO是最短路径，即求AG'，延长GG'与AD交于点M，利用勾股定理求出AG'即可思路：本题难点在于点A在外侧，点G在里侧，因此不能使用展开得平面图形的方法。从A到G的最短路线可以理解为，需要找到一个进入鱼缸的位置O，使AO+GO最小，即“将军饮马