计数原理基础题库及答案

计数原理基础题库及答案

一、单项选择题1.从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地经乙地到丙地共有（）种不同的走法。A.5B.6C.8D.9答案：B2.一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）A.4B.5C.9D.20答案：C3.5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A.10种B.20种C.25种D.32种答案：D4.用1，2，3，4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（）A.64B.60C.24D.256答案：A5.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有（）A.24种B.48种C.64种D.81种答案：A6.由数字0，1，2，3组成的没有重复数字的三位数共有（）A.18个B.24个C.64个D.81个答案：A7.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A.140种B.84种C.70种D.35种答案：C8.从5名男生和4名女生中选出3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有（）A.74种B.72种C.30种D.24种答案：A9.从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（）A.120种B.480种C.720种D.840种答案：B10.6个人排成一排，甲、乙两人中间恰有一人的排法有（）A.288种B.192种C.144种D.72种答案：C二、多项选择题1.下列关于分类加法计数原理的说法正确的是（）A.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有m+n种不同的方法B.完成一件事可以有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法C.分类加法计数原理中的“类”是相互独立的D.分类时各类方法可以有交叉答案：ABC2.分步乘法计数原理的描述正确的有（）A.完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有m×n种不同的方法B.完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法C.分步乘法计数原理中的“步”与“步”之间是连续的、有顺序的D.只要完成一件事的各个步骤都完成，这件事就算完成答案：ABCD3.从1，2，3，4，5这五个数字中任取两个不同的数字，下列说法正确的是（）A.组成的两位数的个数是\(A_{5}^2\)B.组成的无重复数字的两位数有20个C.组成的两位数中，十位数字大于个位数字的有10个D.组成的两位数中，偶数有8个答案：ABC4.以下问题中，需要用排列数来解决的有（）A.从10名学生中选2名学生分别担任正、副班长，有多少种不同的选法B.从10名学生中选2名学生参加数学竞赛，有多少种不同的选法C.5个人站成一排照相，有多少种不同的站法D.从3本不同的书中选2本送给2名同学，每人一本，有多少种不同的送法答案：ACD5.下列关于组合数\(C_{n}^k\)（\(n\geqk\)，\(n,k\inN^\)）的性质说法正确的是（）A.\(C_{n}^k=C_{n}^{n-k}\)B.\(C_{n+1}^k=C_{n}^k+C_{n}^{k-1}\)C.\(kC_{n}^k=nC_{n-1}^{k-1}\)D.\(C_{n}^0+C_{n}^1+C_{n}^2+\cdots+C_{n}^n=2^n\)答案：ABCD6.从6名男生和4名女生中选出4人参加比赛，下列说法正确的是（）A.若4人中男生、女生各2人，则有\(C_{6}^2\timesC_{4}^2\)种选法B.若男生甲必须参加，则有\(C_{9}^3\)种选法C.若4人中必须既有男生又有女生，则有\(C_{10}^4-C_{6}^4-C_{4}^4\)种选法D.若4人中女生人数不超过1人，则有\(C_{6}^3\timesC_{4}^1+C_{6}^4\)种选法答案：ABCD7.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的是（）A.能组成300个无重复数字的四位数B.能组成156个无重复数字的偶数C.能组成144个无重复数字且能被3整除的四位数D.能组成72个无重复数字且个位数字不是5的四位数答案：ABC8.7个人站成一排，下列排法正确的是（）A.甲、乙两人相邻的排法有\(A_{2}^2\timesA_{6}^6\)种B.甲、乙两人不相邻的排法有\(A_{5}^5\timesA_{6}^2\)种C.甲在乙左边的排法有\(\frac{A_{7}^7}{2}\)种D.甲、乙、丙三人按从左到右顺序排列的排法有\(\frac{A_{7}^7}{A_{3}^3}\)种答案：ABCD9.下列问题属于组合问题的是（）A.从10名学生中选3名学生参加某项活动B.从10名学生中选3名学生分别担任班长、学习委员、生活委员C.从1，2，3，4，5中任取两个不同的数相乘D.从1，2，3，4，5中任取两个不同的数相除答案：AC10.从3名教师和5名学生中，选4人参加“我和我的祖国”快闪活动，要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A.\(C_{3}^1\timesC_{5}^3\)B.\(C_{3}^2\timesC_{5}^2\)C.\(C_{3}^3\timesC_{5}^1\)D.\(C_{3}^0\timesC_{5}^4\)答案：AB三、判断题1.分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同。（×）2.分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的。（√）3.\(A_{n}^m\)与\(C_{n}^m\)（\(n\geqm\)，\(n,m\inN^\)）都有\(A_{n}^m=m!C_{n}^m\)。（√）4.从5个不同元素中任取3个元素的组合数\(C_{5}^3\)与从5个不同元素中任取2个元素的组合数\(C_{5}^2\)相等。（√）5.用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数与用0，1，2这三个数字组成无重复数字的三位数的个数相同。（×）6.从8个人中选4个人参加比赛，甲、乙两人至少有一人入选的选法有\(C_{8}^4-C_{6}^4\)种。（√）7.6个人站成一排，甲、乙两人不相邻的排法种数为\(A_{4}^4\timesA_{5}^2\)种。（√）8.组合数\(C_{n}^k\)（\(n\geqk\)，\(n,k\inN^\)）满足\(C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)。（√）9.从10个不同的球中取出3个球，若取出后不放回，则是排列问题。（×）10.从5名医生和4名护士中选3人组成医疗小组，要求至少有一名护士，则有\(C_{4}^1\timesC_{5}^2+C_{4}^2\timesC_{5}^1+C_{4}^3\)种选法。（√）四、简答题1.简述分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别。分类加法计数原理是完成一件事有几类不同方案，各类方案相互独立，每类方案中的方法都能独立完成这件事，计算方法是各类方法数相加；分步乘法计数原理是完成一件事需要分成几个步骤，各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事，计算方法是各步骤方法数相乘。2.用1，2，3，4，5这五个数字能组成多少个无重复数字的三位数？百位有5种选择方法，因为百位选了一个数字后，十位就有4种选择方法，同理个位有3种选择方法。根据分步乘法计数原理，能组成的无重复数字的三位数的个数为\(5×4×3=60\)个。3.计算\(C_{8}^3\)的值。根据组合数公式\(C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)，则\(C_{8}^3=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8×7×6×5!}{3×2×1×5!}=56\)。4.从6名男生和4名女生中选3人参加演讲比赛，要求至少有一名女生，有多少种不同的选法？方法一：直接法，分为三类。选1名女生2名男生，有\(C_{4}^1×C_{6}^2\)种选法；选2名女生1名男生，有\(C_{4}^2×C_{6}^1\)种选法；选3名女生，有\(C_{4}^3\)种选法。将三类选法相加，\(C_{4}^1×C_{6}^2+C_{4}^2×C_{6}^1+C_{4}^3=4×15+6×6+4=100\)种。方法二：间接法，从10人中选3人的选法有\(C_{10}^3\)种，全是男生的选法有\(C_{6}^3\)种，所以至少有一名女生的选法有\(C_{10}^3-C_{6}^3=120-20=100\)种。五、讨论题1.在实际生活中，如何判断一个问题是排列问题还是组合问题？请举例说明。排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关。比如从5个人中选2个人去参加两项不同的活动，这就是排列问题，因为去参加不同活动有顺序之分，不同顺序是不同的安排；若只是从5个人中选2个人组成一个小组，这就是组合问题，选出来的两人不论先后顺序都是同一个小组。再如从10本书里选3本借给同学，只关注选哪3本，是组合问题；若选3本按不同顺序摆放在书架上，就是排列问题。2.请讨论在运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，可能会出现哪些错误？如何避免这些错误？运用分类加法计数原理时，可能错误在于分类不明确、不完整，有重复或遗漏情况。比如对一个事件分类时，界限模糊导致某些情况被重复计算或未计算到。运用分步乘法计数原理时，可能会错误地认为步骤之间没有严格顺序，或者在计算各步骤方法数时出错。为避免这些错误，分类时要明确标准，确保各类别相互独立且涵盖所有情况；分步时要准确分析步骤顺序和每一步的方法数，同时可以通过列举或检验来验证结果的正确性。3.以一个实际场景为例，说明排列组合知识在其中的应用及作用。以班级组织活动安排座位为例，假设有8个同学要坐在一排8个座位上。这就可以用排列知识来计算不同的坐法，\(A_{8}^8=8!\)种坐法。通过排列组合知识，我们能清晰知道不同人员安排的可能性数量，有助于合理规划和选择最优方案。如果是从8个同学中选3个同学参加某项活动，这就是组合问题，\(C_{8}^3\)种选法，能帮助组织者确定人员选择的组合方式，合理安排资源和任务。4.探讨组合数性质\(C_{n}^k=C_{n}^{n-k}\)和\(C_{n+1}^k=C_{n}^k+C_{n}^{k-1}\)的实际意义。\(C_{n}^k=C_{n}^{n-k}\)的实际意义在于从\(n\)个元素中选取\(k\