2025中考数学总复习《锐角三角函数》强化训练及完整答案详解（有一套）

中考数学总复习《锐角三角函数》强化训练考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cosB的值等于（）A． B． C． D．2、将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（）A． B． C． D．3、如图，为测量小明家所住楼房的楼高，小明从楼底A出发先沿水平方向向左行走到达点C，再沿坡度的斜坡行走104米到达点D，在D处小明测得楼底点A处的俯角为，楼顶最高处B的仰角为，所在的直线垂直于地面，点A、B、C、D在同一平面内，则的高度约为（）米．（参考数据：，，，，，）A．104 B．106 C．108 D．1104、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ACB的值为（）A．3 B． C． D．5、如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（）A．150°， B．150°，2 C．120°， D．120°，2第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点E，则tan∠AEP＝_____．2、正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，求=____________3、如图，已知扇形OAB的半径为6，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝45°，则MN＝_____．4、如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点O是AC的中点，AC与BE交于点F，AG⊥BE，CH⊥BE，垂足分别为G，H，连接OH，OG，CG．下列结论：①CH﹣AG＝HG；②AG＝HG；③BH＝OG；④AF∶OF∶OC＝2∶1∶3；⑤5S△AFG＝S△GHC；⑥OG•AC＝BH•CD．其中结论正确的序号是________．5、如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树．在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得∠1＝∠2＝∠3，EQ＝16米，QK＝24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP＝15米，BP⊥m，则该圆的半径长为_______米．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、在中，，，为锐角且．（1）求的度数；（2）求的正切值．2、计算：3、已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，速度为每秒1个单位长度，点Q沿折线CBA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒．（1）求AD，BC之间的距离和sin∠DAB的值；（2）设四边形CDPQ的面积为S．求S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）若存在某一时刻，点P，Q同时在反比例函数的图象上，直接写出此时四边形CDPQ的面积S的值．4、计算：5、计算：．6、计算：8cos60°＋（－3.14）0－|－4|＋（－1）2021．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴，∴cosB＝＝．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键．2、D【分析】由∠AFE＋∠CFD＝90°得，根据折叠的定义可以得到CB＝CF，则，即可求出的值，继而可得出答案．【详解】∵∠AFE＋∠CFD＝90°，∴，由折叠可知，CB＝CF，矩形ABCD中，AB＝CD，．故选：D．【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB＝CF．3、A【分析】根据题意作交于E，延长AC，作交于F，由坡度的定义求出DF的长，得AE的长，再解直角三角形求出DE、BE的长，即可解决问题．【详解】解：如图，作交于E，延长AC，作交于F，∵斜坡CD的坡度为i=1：2.4，CD=104米，

∴DF=AE=40（米），CF=96（米），∵,∴，∴（米），∵,∴，∴（米），∴（米）.故选：A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答此题的关键．4、D【分析】连接格点AD，构造直角三角形，先计算AC，再算∠ACB的正弦即可．【详解】连接格点A、D，如图．在Rt△ADC中，∵AD＝3，CD＝1，∴CA＝．∴sin∠ACB＝＝＝．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．5、D【分析】观察图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，当x＝0时，y＝2，即AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，则OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，利用三角函数定义可得∠BOC′＝60°，即可求得答案．【详解】解：由函数图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，∴⊙O的直径为4，OA＝OB＝2，观察图象，可得当x＝0时，y＝2，∴AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，∴OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，∴sin∠BOC′＝＝，∴∠BOC′＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OB＝OC′，∠BOC′＝60°，∴△BOC′是等边三角形，∴BC′＝OB＝2，即点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值为2．故选：D【点睛】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．二、填空题1、##【解析】【分析】如图，设小正方形边长为1，根据网格特点，∠PQF=∠CBF，可证得PQ∥BC，则∠QEB=∠ABC，即∠AEP=∠ABC，分别求出AC、BC、AB，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，求出tan∠ABC即可．【详解】解：如图，设小正方形边长为1，根据网格特点，∠PQF=∠CBF=45°，∴PQ∥BC，∴∠QEB=∠ABC，∵∠AEP=∠QEB，∴∠AEP=∠ABC，∵，，，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴tan∠ABC=，∴tan∠AEP=tan∠ABC=，故答案为：【点睛】本题考查网格性质、勾股定理及其逆定理、平行线的判定与性质、正切、对顶角相等，熟知网格特点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键．2、【解析】【分析】如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF=r，据题意可得出∠COF＝60°，进而解直角三角形求得，证明，根据相似三角形的高的比等于相似比得出答案即可．【详解】解：如图，连接AC、BD、OF，CF，设⊙O的半径是r，则OF=r，设交于点根据圆，正方形，正三角形的对称性可知是公共的对称轴，∴AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，是等边三角形∴FI=rsin60°=，则CO=2OI，∴OI=，平分，，∴EF=，∴，∴，∴，即则的值是．故答案为：【点睛】本题考查了正多边形与圆，正多边形的半径，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．3、3【解析】【分析】根据题意作辅助线，构建三角形相似，先证明△DMC∽△DNO，得DMDC=DNDO，由夹角是公共角得：△DMN∽△DCO，得【详解】解：连接OC，延长OA、NC交于D，则OC＝6，∵CM⊥OA，CN⊥OB，∴∠DMC＝∠DNO＝90°，∵∠D＝∠D，∴△DMC∽△DNO，∴DMDN=DC∵∠D＝∠D，∴△DMN∽△DCO，∴MNCO∵CN⊥OB，∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝DNOD∴MNOC∵OC＝6，∴MN6∴MN＝.故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形相似的性质和判定，特殊的三角函数值及三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4、①②③④⑥【解析】【分析】根据四边形ABCD为正方形性质，和点E是AD的中点得出AE=，根据三角函数定义得出tan∠ABE=，得出BG=2AG，证明△BAG≌△CBH（AAS），得出AG=BH，BG=CH，可判断①正确；根据BG=2AG，利用线段差得出HG=BG-AG=2AG-AG=AG，可判断②正确；取CH中点J，连结OJ，先证△AGO≌△CJO（SAS），得出∠AOG=∠COJ，GO=JO，再证△HGO≌△HJO（SSS），得出∠HOG=∠HOJ，说明点G，O，J三点共线，得出△GHJ为等腰直角三角形，利用勾股定理HG=可判断③正确；四边形ABCD为正方形，可证△AEF∽△CBF，得出，求出，可判断④正确；先证△AGF∽△CHF，得出GF=，求出S△AFG＝，S△GHC=，可判断⑤不正确；利用sin∠DAC=sin∠OGH=，OG•AC＝BH•CD，可判断⑥正确．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=AD，∠EAB=∠ABC=90°，∵点E是AD的中点，∴AE=∴tan∠ABE=，∴BG=2AG，∵AG⊥BE，CH⊥BE，∴∠AGB=∠BHC=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∠ABG+∠CBH=90°，∴∠BAG=∠CBH，在△BAG和△CBH中，，∴△BAG≌△CBH（AAS），∴AG=BH，BG=CH，∴CH﹣AG＝BG-BH=HG，故①正确；∵BG=2AG，∴HG=BG-AG=2AG-AG=AG，故②正确；取CH中点J，连结OJ，∵CJ=，AG⊥BE，CH⊥BE，∴AG∥CH，∴∠GAO=∠JCO，∵点O是AC的中点，∴AO=CO，在△AGO和△CJO中，，∴△AGO≌△CJO（SAS），∴∠AOG=∠COJ，GO=JO，在△HGO和△HJO中，，∴△HGO≌△HJO（SSS），∴∠HOG=∠HOJ，∵∠GOH+∠HOJ=∠AOG+∠FOH+∠HOJ=∠COJ+∠FOH+∠HOJ=∠AOC=180°，∴点G，O，J三点共线，∴∠HOG+∠HOJ=2∠HOG=180°，∴∠HOG=90°，∵∠GHJ=90°，HG=HJ，∴△GHJ为等腰直角三角形，点O为JG中点，∴OH=OG=OJ，∴HG=，∴BH=HG=OG，故③正确；∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，即AF∥BC，∴∠AEF=∠CBF，∠EAF=∠BCF，∴△AEF∽△CBF，∴，∴，∴OC-OF=，∴，∴，∴AF∶OF∶OC＝=2∶1∶3；故④正确；∵∠AFG=∠CFH，∠AGF=∠CHF=90°，∴△AGF∽△CHF，∴,∴，∵GF+FH=GH，∴GF=∴S△AFG＝，S△GHC=∴S△AFG＝S△GHC，故⑤不正确；∵AC为正方形对角线，∴∠DAC=45°，∵∠HOG=90°，OH=OG，∴∠OGH=45°，∴sin∠DAC=sin∠OGH=，∴OG•AC＝BH•CD，故⑥正确．其中结论正确的序号是①②③④⑥．故答案为：①②③④⑥．【点睛】本题考查正方形性质，锐角三角函数值，三角形全等判定与性质，三点共线，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，三角形面积，本题难度大，涉及知识多，图形复杂，掌握多方面知识是解题关键．5、##【解析】【分析】设圆心为，过点作，连接交于点，，根据题意可证明四边形是矩形，进而求得,证明，根据求得，设的半径为,在中，，勾股定理即可求解【详解】如图，设圆心为，过点作，连接交于点，根据题意在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，且∠1＝∠2，∠2＝∠3，三点共线四边形是矩形设的半径为,在中，则解得故答案为：【点睛】本题考查了两点确定一条直线，三角函数，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，等边对等角，理清各线段长，并添加辅助线是解题的关键．三、解答题1、（1）60°，（2）3【解析】【分析】（1）根据特殊角三角函数值直接求解即可；（2）作AD⊥BC于D，求出AD＝3，CD＝1，由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：（1）∵∠B为锐角且，∴∠B＝60°；（2）作AD⊥BC于D，如图所示：∵，∴，∵，∴BD＝AB＝3，∴AD＝，∵BC＝4，BD＝3，∴CD＝BC﹣BD＝1，∴tanC＝＝＝3．【点睛】本题考查了解直角三角形、特殊锐角的三角函数值、三角函数定义等知识；熟练掌握直角三角形的性质和特殊锐角的三角函数值是解题的关键．2、0【解析】【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行混合运算即可【详解】解：原式【点睛】本题考查了化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值并正确的进行实数的混合运算是解题的关键．3、（1）4.8；；（2），；，；（3）16【解析】【分析】（1）过点B作，由已知可得，，再根据菱形的性质得到，得到，得到即可得；（2）当时，可得，，则，根据梯形面积表示即可；当时，过点Q作，并反向延长交BC于点M，根据面积表示即可；（3）首先根据题意求得t的值，然后代入（2）中的式子计算即可；【详解】解：（1）过点B作，∵C，D两点的坐标分别为