2024-2025学年江苏省江阴市九年级数学期中考试卷【附答案】

/2024-2025学年江苏省江阴市九年级数学期中考试卷一、选择题

1.下列方程中，是一元二次方程的是（

）A.x+1x=2 B.2x2=

2.已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（

）A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm

3.一元二次方程x2A.无实数根 B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根 D.无法判断

4.某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台，若设平均每年的增长率为x，则可得方程（

）A.144001+x2=16900 B.144001+x25.若关于x的方程2x2+A.25 B.−25 C.52 6.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=8cmA.4cm B.5cm C.6cm D.8cm

7.下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各边的距离相等，其中真命题的个数是（

）A.4 B.3 C.2 D.1

8.如图，点A、B、C、D在⊙O上，且AC⌢=BDA.42∘ B.44∘ C.46∘

9.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A−4,0，B0,4的直线上，PQ与⊙A.22 B.7 C.3 D.

10.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DA，过点D作BC的垂线交BC延长线于E．则下列结论：①DC平分∠ACE；②若点C是BD⌢中点，则CD平行于△ABD的某条角平分线；③若AC+BC=12，DE=3A.①③ B.①②④ C.②④ D.①②③④二、填空题

11.一元二次方程x2

12.写出一个一元二次方程，使它的两根分别为−2和3

13.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2

14.已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为___________________cm

15.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35∘

16.如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB=4，∠ABC=30∘，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30∘后得到△

17.现有三个代数式：x2+2x+2，y2−y，1x

18.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别为AB、BC上两个动点（E不与A重合），且EF=4，将正方形分别沿过点E和点F的两条直线翻折，使点A的对应点A′和点C的对应点C′都落在线段EF上，两折痕所在直线交于点P，则∠EPF=____________三、解答题

19.解方程：（1）x2（2）x−

20.已知：当x=2时，二次三项式x2−2mx+4

21.一个直角三角形的斜边长为25cm，两直角边长的和是

22.已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：无论m取何实数，原方程总有两个实数根；（2）若原方程有一个根大于5，求m的取值范围．

23.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DH⊥AC（1）求证：DH是⊙O（2）延长CA交⊙O于E，连接DE，交AB于点F，若AE=FE，⊙O的半径为3，求

24.在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：

如图1，已知AB⌢，在AB⌢上作一点P，使AP⌢=3PB⌢．

小亮同学很快就给出了下列思路：

如图2，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB⌢于点E，交AB于点F,再作FB的垂直平分线GH，交AB⌢于P，交AB于点Q，则点P（1）AE⌢与EB（2）小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P．

25.在丝绸博览会期间，某公司展销一种工艺品，已知该工艺品每件成本是50元．经市场调研，售价为60元，每天可售出800件；售价每提高5元，销量将减少100件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，请问这种工艺品把销售单价定为多少元时，当日所获利润为10000元．

26.在解一元二次方程ax2+（1）求这两个方程相同的根．（2）求原方程两根之和．

27.如图，点A、B、C、D在⊙O上，且AD⌢=BC⌢，E是（1）求证：BD=（2）连接AO并延长交⊙O于P，延长BF到G使FG=BF，连接PG（3）在2的条件下，若AB⌢为84∘，则当∠ABD=______

28.如图，在▱ABCD中，AD=72，AB=10，∠DAB=45∘，G为DC上一点（不与D、C重合），DG=m（1）将△ABE沿着AE翻折得到△AEF，

①当t=______秒时，点F的运动路径长为52π；

②当点F到直线CD（2）当0≤t≤6时，有且仅有一个时刻，能使

参考答案与试题解析2024-2025学年江苏省江阴市九年级数学期中考试卷一、选择题1.【答案】B【考点】一元二次方程的定义【解析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义要求，含有一个未知数，未知数的最高指数是2，并且是整式方程，逐一判断即可．【解答】解：A、是分式方程，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；

B、是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；；

C、含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；

D、是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；

故选：B2.【答案】A【考点】判断点与圆的位置关系【解析】由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可．【解答】解：∵点A在半径为2cm的圆内，

∴点A到圆心的距离小于2cm，

故选：A．3.【答案】C【考点】根的判别式【解析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，根据根的个数与判别式的关系，进行求解即可．【解答】解：x2+3x−12=0，

∴Δ4.【答案】A【考点】一元二次方程的应用——增长率问题【解析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a1+x2=b，【解答】解：设平均每年的增长率为x，根据题意得，

144001+x25.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系，得到1⋅【解答】解：设方程的另一个根为m，由题意，得：1⋅a=52，

∴6.【答案】B【考点】勾股定理的应用利用垂径定理求值【解析】设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，设OF=xcm，则ON=8−【解答】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90∘，

∴四边形CDNM是矩形，

∴MN=CD=8，

设OF=xcm，则OM=OF，

∴ON=MN7.【答案】C【考点】构成三角形的条件正多边形和圆真命题，假命题中心对称图形【解析】本题考查了命题与定理：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判定一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．也考查了正多边形，正六边形，确定圆的条件，三角形的外心等．

根据确定圆的条件判定①，根据正多边形的性质判定②，根据正方六边形的性质判定③，根据三角形的外心性质判断④．【解答】解：A．不共线的三个点确定一个圆，故些项为假命题，不符合题意；

B．正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此项是假命题，不符合题意；

C．正六边形的半径与边长相等，故此项是真命题，符合题意；

D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故此项为假命题，不符合题意．

故选：C．8.【答案】D【考点】利用弧、弦、圆心角的关系求解【解析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接OA，根据题意可得到∠AOC=∠BOD=84【解答】解：连接OA，如图：

∵AC⌢=BD⌢，∠BOD=84∘

∴∠AOC=∠BOD9.【答案】B【考点】坐标与图形性质勾股定理的应用切线的性质【解析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ【解答】连接OP、OQ．

∵PQ是⊙O的切线，

∴OQ⊥PQ；

根据勾股定理知PQ2=OP2−OQ2，

∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；

又∵A−4,0，B0,4，

∴OA=10.【答案】B【考点】角平分线的性质勾股定理的应用同弧或等弧所对的圆周角相等已知圆内接四边形求角度【解析】根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形，得出∠ECD=∠DAB，根据等边对等角以及同弧所对的圆周角相等可得∠DCA=∠DBA，即可判断①，根据点C是BD⌢中点，得出CD=BD，进而可得∠CDB【解答】解：∵DB=DA，

∴∠DAB=∠DBA，

∵AD⌢=AD⌢，

∴∠DCA=∠DBA，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠DCB+∠DAB=180∘，

∵∠DCB+∠ECD=180∘，

∴∠ECD=∠DAB

∴∠ECD=∠DCA，即DC平分∠ACE，故①正确；

∵点C是BD⌢中点，

∴CD⌢=BD⌢，

∴CD=BD

∴∠CDB=12180∘−∠DCB，

又∵∠DCB+∠DAB=180∘，

∴∠DBA=∠DAB=180∘−∠DCB，

如图所示，BF平分∠DBA，

∴∠DBF=1二、填空题11.【答案】x【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】本题主要查了解一元二次方程．利用直接开平方法解答，即可求解．【解答】解：x2=1，

解得：x112.【答案】x【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】本题考查了根据一元二次方程的根写出一元二次方程，解题的关键是防止把x+2x【解答】若一元二次方程的两根分别为−2和3，

则方程可以为x+2x−3=0，13.【答案】12【考点】解一元二次方程-因式分解法三角形三边关系等腰三角形的定义【解析】先利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=【解答】解：由x2−7x+10=0得到，

x−2x−5=0，

∴x−2=0或x−5=014.【答案】18π【考点】求圆锥侧面积【解析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷【解答】底面周长=6π，

圆锥的侧面积=12×6π×15.【答案】20∘【考点】三角形内角和定理圆周角定理三角形的角平分线【解析】连接OC，由点I是△ABC的内心可得AI平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC【解答】解：如图，连接OC，

AI

，∵点I是△ABC的内心，

∴AI平分∠BAC，

∵∠CAI=35∘，

∴∠BAC=2∠CAI=2×35∘=70∘，

16.【答案】2【考点】圆周角定理求其他不规则图形的面积根据旋转的性质求解【解析】本题考查了求其他不规则图形的面积，涉及了旋转的性质以及圆周角定理等知识点，连接OC,CD,OD，可推出△AOC是等边三角形、△BOD是等边三角形，进而得【解答】解：连接OC,CD,OD，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，AB=4，

∴⊙O的半径为2，且∠ACB=90∘，

∵∠ABC=30∘，

∴∠OAC=60∘，

∵OA=OC，

∴△AOC是等边三角形；

由旋转可知：∠A′B17.【答案】−2或【考点】解一元二次方程-因式分解法根的判别式【解析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ【解答】解：由题意得：1x−y≠0，

若x2+2x+2=0，则Δ=22−4×2=−4<0，方程无实数根；

∴y2−y=0，解得：y1=0,y2=1；

若x2+2x+2=−1218.【答案】45,3【考点】解一元二次方程-公式法勾股定理的应用根据正方形的性质求线段长正方形折叠问题【解析】根据折叠的性质可得∠PEA=∠PEA′,∠PFC=∠PFC′，根据正方形的性质可得∠BEF+∠BFE=90∘【解答】解：如图所示，

又∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=90∘，

∴∠BEF+∠BFE=90∘，

∴∠AEF+∠CFE=360∘−90∘=270∘

依题意，将正方形分别沿过点E和点F的两条直线翻折，使点A的对应点A′和点C的对应点C′都落在线段EF上，

∴∠PEA=∠PEA′,∠PFC=∠PFC′，

∴∠PEF+∠PFE三、解答题19.【答案】（1）x（2）x【考点】解一元二次方程-配方法解一元二次方程-因式分解法【解析】（1）利用配方法解一元二次方程，即可解答；（2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解答．【解答】（1）解：x2−4x−1=0，

∴x2−4x（2）解：x−32=2xx−3

∴x−320.【答案】x1=【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】试题分析：根据一元二次方程的解的定义将x=2x2−2mx+4=−4，列出关于m的方程，通过解方程求得【解答】试题解析：由题意得4−4m+4=−4，即3−m=0，

解得m=3；

21.【答案】2cm和4cm【考点】一元二次方程的应用——几何图形面积问题勾股定理的应用【解析】本题考查勾股定理，一元二次方程的应用，设一条直角边长为xcm，则另一条直角边长为6−【解答】解：设一条直角边长为xcm，

由题意得x2+6−x2=252，

整理得x2−6x+8=0，

解得x1=2，22.【答案】（1）见解析（2）m【考点】解一元二次方程-因式分解法根的判别式【解析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1=−m，x2=【解答】解：（1）证明：在关于x的一元二次方程x2+m−4x−4m=0中，a=1，b=m−（2）解：∵x2+m−4x−4m=0，

∴x+mx−423.【答案】（1）见解析（2）6π【考点】三角形内角和定理圆周角定理证明某直线是圆的切线求弧长【解析】（1）连接OD，由OB=OD，AB=AC可得∠ODB=∠OBD=∠ACB，进而可得OD （2）由AE=EF，可得∠EAF=∠EFA，设∠B=∠C=【解答】解：（1）证明：连接OD，

如图所示：

∵OB=OD，

∴△ODB是等腰三角形，

∴∠OBD=∠ODB①，

在△ABC中，∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB②，

由①②得：∠ODB（2）解：如图，

∵AE=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

设∠B=∠C=α，

∴∠EFA=∠EAF=∠B+∠C=2α，

∵∠E24.【答案】（1）相等，理由见解析（2）不正确，图见解析【考点】作垂线(尺规作图)垂径定理【解析】（1）根据垂径定理的推论进行判断；（2）GH平分线段FB，而不是EB⌢所对的弦，因此GH不能平分EB⌢，可得小亮做法不正确，正确的作法应该是连接EB，作EB的垂直平分线，与EB⌢【解答】（1）解：AE⌢与EB⌢相等，（2）解：不正确，作图如下．

25.【答案】当定价为70元或80元时，当日所获利润为10000元【考点】营销问题(一元二次方程的应用)【解析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，进行求解即可．【解答】解：设销售单价定为x元，由题意，得：

x−50800−1005x−60−2000=10000，

26.【答案】（1）1（2）1【考点】一元二次方程的解根与系数的关系【解析】（1）令ax2+（2）结合1中结论，利用一元二次方程根与系数的关系求解．【解答】（1）解：原方程为ax2+bx+c=0，小马解的方程为bx2+ax+c=0，

令ax2+bx+c=b（2）解：由1可知新方程bx2+ax+c=0的两个根为3，1，

∴−ab=3+27.【答案】（1）见解析（2）见解析24【考点】与三角形中位线有关的证明利用菱形的性质证明圆周角定理利用弧、弦、圆心角的关系求证【解析】（1）先判断出BF是△EAC的中位线，得到BF=AC（2）连接DC,CG，得出四边形ACGB是平行四边形，证明C点在DG上，则DG // AB，根据（3）若四边形PDBG为菱形时，∠PDG=∠BDG=12∠PDB，根据已知AB⌢【解答】解：（1）证明：如图，连接AC，

∵F是EC的中点，

∴CF=EF，

∵BE=AB，

∴BF是△EAC的中位线，

∴BF=12AC,

∵AD⌢（2）如图，连接DC,CG，

由1知BF=12AC，AC // BF

∵BF=FG

∴BG=AC，

∴四边形ACGB是平行四边形，

∴CG // AB

∵AD⌢=BC⌢

∴∠CDB=∠DBA

∴（3）由2可得PD=PG,BG=BD

若四边形PDBG为菱形，则∠PDG=∠BDG=12∠PDB，

∴∠PDB=2∠CDB

∵AB⌢为84∘，AP是直径，则PB⌢为28.【答案】①52，②5或（2）0【考点】半圆（直径）所对的圆周角是直角求圆心角相似三角形的性质与判定解直角三角形的相关计算【解析】（1）①根据翻折得到AB=AF=10，∠BAE=∠FAE，F在以A为圆心，AB为半径的弧上，利用弧长公式求得角度进而即可求解；

②分当点F（2）分两种情