第二节　球的切、接问题-2026版高考数学一轮总复习

第二节球的切、接问题高中总复习·数学重点解读

球的切、接问题是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一

般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利

用等体积法求内切球半径等.目录CONTENTS考点·分类突破01.课时·跟踪检测02.PART01考点·分类突破精选考点|课堂演练

八种常见球的切、接模型

5.

直棱柱（圆柱）的外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱

的上下底面可以是任意三角形）.（1）确定球心O的位置，球心O在三棱柱上下底面外接圆圆心连线段

O1O2的中点处；

6.

正棱锥的外接球与内切球

（2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半

径为r，R2＝（h－R）2＋r2（正棱锥外接球半径为R，高为h）.

求解与几何体的外接球有关问题（定向精析突破）考向1

定义法

A.14πB.16πC.18πD.20πD

A.100πB.128πC.144πD.192πA

解题技法

到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外

接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距

离也是半径，列关系式求解即可.

某建筑的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个实心模型，

已知模型内层底面直径为12

cm，外层底面直径为16

cm，且内外层圆柱的

底面圆周都在一个直径为20

cm的球面上，则此模型的体积

为

cm3.912π

考向2

补形法

解题技法补形法的解题策略（1）侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原

到正方体或长方体中去求解；（2）若直棱柱的底面有外接圆，可以补成圆柱求解.

B.4π

√

考向3

截面法

A.3πB.4πC.9πD.12π√

解题技法与球截面有关的解题策略（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是

外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度

作出截面，实现空间问题平面化的目的.

（2025·南昌四校联考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，M，N分

别为AD，BC的中点，该正方体的外接球为球O，则平面A1MN截球O得

到的截面圆的面积为（

）√

求解与几何体的内切球有关的问题（师生共研过关）

已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的

体积为

⁠.

√

√求解与球切、接有关的最值问题（师生共研过关）

已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O

的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）√

解题技法处理与球切、接有关最值问题的解题策略（1）几何法：利用几何体中的特殊点、特殊面构造内含待求目标值的特

殊几何体求解；（2）代数法：找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法

求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端

点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法（如三角函数等）及

导数法等.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱

与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是

⁠

⁠.

PART02课时·跟踪检测关键能力|课后练习

123456789101112131415161718192020222324251.

正方体的外接球与内切球的表面积之比为（

）C.3

√2.

一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为

20π，则该四棱柱的高为（

）B.2

√3.

在母线长为4的圆锥PO中，其侧面展开图的面积为4π，则该圆锥的外接

球的表面积为（

）A.32π√

4.

已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若

正方体的棱长为2，则半球的表面积为（

）A.10πB.12π

√C.15πD.18π5.

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，

将△ADE，△BEF，△CDF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三

点重合于点A'，则四面体A'-DEF的外接球体积为（

）√

6.

（2025·广西河池模拟）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形

的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB

＝2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表

面积为（

）A.8πB.12πC.20πD.24π√

A.

球O的表面积为6πB.

球O的内接正方体的棱长为1D.

球O的内接正四面体的棱长为2√√

8.

（2023·全国甲卷理15题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为

AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共

有

个公共点.

12

1

10.

（2024·深圳一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2

＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体

积为（

）√

11.

（2025·益阳模拟）如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一

个“最密堆垒”.显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空

隙.材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如

果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能

会有显著性变化.记原金属晶体的原子半径为rA，另一种金属晶体的原子

半径为rB，则rA和rB的关系是（

）√

12.

（2024·三门峡模拟）四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，

△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB

＝2，BC＝3，则球O的表面积为

⁠.

16π

14.

（创新设问方式）已知菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°.将△ABC

沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P-ACD如图所示，

当三棱锥P-ACD的表面积最大时，三棱锥P-ACD的外接球体积为

⁠

⁠.

π

15.

（创新情境）（20