【1】高中数学解答题讲义 三角函数与解三角形（解析版）

三角函数与解三角形解析版目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】三角函数性质与恒等变形 2【题型二】图像与性质：零点型 6【题型三】新结构第19题型：三角函数图像与性质型 11【题型四】解三角形：求最大角度型 15【题型五】解三角形：边长与中线型最值 18【题型六】解三角形：角平分线型求最值 21【题型七】解三角形：高的最值型 24【题型八】解三角形：双余弦型 27【题型九】三角形外接圆 30【题型一】三角函数性质与恒等变形已知的部分图象求其解析式时比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.1.（2024·北京延庆·一模）已知函数，的最大值为.(1)求的值；(2)将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求解即可；（2）利用三角函数的平移公式求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可.【详解】（1）因为，其中，，所以，又因为，解得.（2）由（1）可得，将的图象向右平移个单位可得，由得，即函数的单调增区间为.2.（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题．(1)求的值；(2)若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．条件①：对任意的，都有成立；条件②：；条件③：．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据所选条件分别计算能否使成立，从而可求解.（2）根据（1）中可得，再利用整体代换法得，从而可求得，再结合，从而可求解.【详解】（1）由，若选条件①：可知当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件①时存在，故可选①；若选条件②：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选②；若选条件③：，所以，因为，可得，故条件③能使成立，故可选③；综上所述：故可选择条件①或③，此时.（2）由（1）知，当时，，且的最小值为，所以可得，解得，又，所以，所以的取值范围为.3.（2024·山东临沂·一模）已知向量，，函数.(1)若，且，求的值；(2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简，依题意可得，即可求出，最后由利用两角差的余弦公式计算可得；（2）根据三角函数的变换规则求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为，，函数，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，所以.（2）将图象上所有的点向右平移个单位得到，再将向下平移1个单位得到，最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到，即，由，即，所以，，解得，，令可得，令可得，又，所以，即在时不等式的解集为.【题型二】图像与性质：零点型零点处，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：零点求和型，多利用三角函数对称轴对称性求解对称性：换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ)＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；1.（2024·全国·模拟预测）已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得函数的周期求出，又过点B取最值求；（2）根据求，由已知条件及正弦函数的性质求的取值范围.【详解】（1）依题意可知：，即，所以，又过点，所以,即，又，所以，即.（2）因为，且，所以，即，又当时恰有两个零点，，依题意：，即，又在上单调，所以，依题意;若，即，所以，因，故不合题意；若，即，所以，因，故；若，即，显然不等式组无解；综上的取值范围为.2.（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.(1)求的解析式与单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.【答案】(1)，(2).【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；（2）利用图象变换法,求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求出即可.【详解】（1）由题意可得：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，又，所以，故.令，得，所以函数的递减区间为.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，又，则或，即或.令，当时，，画出的图象如图所示：的两个根对应的点关于直线对称，即，有，在上有两个不同的根，所以；又的根为，所以方程在内所有根的和为.3.（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．(1)求，的值；(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．【答案】(1)，(2)答案见解析【分析】（1）由周期求出，根据求出；（2）首先求出的解析式，函数在区间的零点个数即为函数的图象与直线在上的交点个数，由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的图象即可得解.【详解】（1）根据题意得，，故，，故．将代入，得，解得，又，故．（2）依题意，．函数在区间的零点个数即为函数的图象与直线在上的交点个数．当时，，结合余弦函数图象可知，当时，单调递减，当时，单调递增，且，，，作出函数在上的大致图象如图所示．观察可知，当或时，有个零点；当时，有个零点；当或时，有个零点．【题型三】新结构第19题型：三角函数图像与性质型对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.1.（23-24高三北京昌平·）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.(1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论）(2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(3)设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.【答案】(1)函数具有性质；不具有性质.(2)，(3)证明见解析【分析】（1）利用定义判断即可；（2）假设函数具有性质，可求出，进而可得，从而可得，再根据定义进行验证，即可得到答案；（3）由函数具有性质及（2）可知，，进而可得在的值域为，且，由在区间上有且只有一个零点可证明当时不符合题意，再求解当时与是以为周期的周期函数矛盾，从而可得，即可证明.【详解】（1）因为，则，又，所以，故函数具有性质；因为，则，又，，故不具有性质.（2）若函数具有性质，则，即，因为，所以，所以；若，不妨设，由，得（*），只要充分大时，将大于1，而的值域为，故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即，因为，所以，所以，则，此时，则，而，即有成立，所以存在，使函数具有性质.（3）证明：由函数具有性质及（2）可知，，由可知函数是以为周期的周期函数，则，即，所以，；由，以及题设可知，函数在的值域为，所以且；当，及时，均有，这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或；当时，，函数在的值域为，此时函数的值域为，而，于是函数在的值域为，此时函数的值域为，函数在当时和时的取值范围不同，与函数是以为周期的周期函数矛盾，故，即，命题得证2.（23-24·福建福州·）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.(1)证明：当时，；(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”【分析】（1）利用来证得结论成立.（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.【详解】（1）由已知当时，，得，所以当时，.（2）（i）时，假设存在，则由知，注意到，故，所以在单调递增，于是，即是方程的两个不等实根，易知不是方程的根，由已知，当时，，令，则有时，，即，故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.（ii）时，假设存在，则由知若，则由，知，与值域是矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，时，也不存在，下面讨论，若，则，故最小值为，于是，所以，所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.若，当时，同理可得，舍去，当时，在上单调递减，所以，于是，若即，则，故，与矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知当时，，因为，所以，从而，，从而，矛盾，综上所述，有唯一的“和谐区间”.【题型四】解三角形：求最大角度型对于与简称为“正余余正，余余正正”恒等变形和化简求角中，有如下经验：1.正用\逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找拆2.边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；3.解三角形：最值范围可以用余弦定理+均值不等式来求解。可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制1.（23-24高三·浙江金华·阶段练习）记锐角的内角为，(1)若，求角的最大值；(2)当角时，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，根据余弦定理和基本不等式求的范围，再由余弦函数的性质求角的最大值；（2）根据内角和关系，结合两角差的余弦公式和两角和的正弦公式，将目标函数转化为关于角的函数，再结合余弦函数的性质求其范围.【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，又，所以，所以角的最大值为；（2）因为，所以，因为为锐角三角形，所以,所以，所以，所以，所以，即的取值范围为.2.（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，设角的对边分别为，且.(1)求；(2)求角的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合基本不等式进行求解即可.【详解】（1）由，由正弦定理可得：，由余弦定理可知：；（2）由（1）可知：，当且仅当时取等号，由余弦定理可知：，因为，所以，因此角的最大值为.3.（21-22高三·陕西榆林·）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)证明：；(2)求角的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意结合三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，得到，再利用正弦定理，即可求解；（2）由（1）和余弦定理求得，结合基本不等式求得，得到，即可求解.【详解】（1）证明：由，可得，所以，所以，整理得，可得，又由，可得，所以，由正弦定理，可得.（2）解：由，根据余弦定理得，又由（当且仅当时取等号），可得，所以，因为，所以角的最大值为.【题型五】解三角形：边长与中线型最值三角形中线处理方法：1.向量法：补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理1.（2024·陕西西安·一模）已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面积为，求c的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解；（2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解.【详解】（1）因为，因为，所以，由△ABC为钝角三角形且，知，为钝角，所以，即，所以.（2）因为，所以，由余弦定理，，当且仅当时，等号成立，此时的最小值为，所以c的最小值为.2.（2024·四川南充·二模）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求；(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得即可求解；（2）由面积得，结合余弦定理和基本不等式求最值.【详解】（1）若选择①：，由正弦定理可得，因，,故，，则有，因,故.若选择②：，则，由正弦定理可得，故，因,故.若选择③；由正弦定理可得，，再由余弦定理得，，即，．（2），又，在三角形BCD中，，，当且仅当时取等号，的最小值为．3.（22-23高三·江苏连云港·）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；②求内角A的角平分线AD长的最大值．【答案】(1)(2)长的最小值为，的最大值【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值.【详解】（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以；（2）①由（1）知，因为的面积为，所以，解得，由于，所以，当且仅当时，等号取得到，所以；②因为为角的角平分线，所以，由于，所以，由于,所以，由于，又，所以由于，当且仅当时，等号取得到，故，故，【题型六】解三角形：角平分线型求最值在三角形中，如果涉及到角平分线，则可以从下边思维分析三角形角平分线的处理方法：角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：1.（2022秋·山东青岛·高三统考）已知函数的图象经过，周期为.(1)求的解析式；(2)在中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，的角平分线交AB于D.若恰为的最大值，且此时，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由周期可求出，再将坐标代入函数中可求出，从而可求出的解析式；（2）恰为的最大值，且此时，可得，，再由题意得，化简可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.【详解】（1）周期为，，图象经过，，，又，∴，（2）的最大值，，得，∵，∴，∴，，，，即，∴，，当且仅当，即时取等号，又，即当且仅当，时取等号，所以的最小值为.2.（2023春·贵州安顺·高三统考）在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求和的值；(2)设点在边上，且，是的角平分线，求的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可求出；（2）首先利用二倍角公式求出，由面积公式得到，即可得到且，代入利用基本不等式计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，即，由余弦定理，又，所以.（2）因为，解得或（舍去），又是的角平分线，，所以，即，即，所以，所以且，所以，当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.3.（2023春·福建三明·高三统考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．点D在BC上，且(1)若，求c(2)若AD是∠BAC的角平分线，且，求周长的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中由正弦定理可得答案；（2）由得，在中由余弦定理得，可得周长，再利用基本不等式可得答案．【详解】（1）因为，在中由正弦定理得，即，所以，；

（2）由得，即，在中，由余弦定理得，所以，所以周长，由得，当且仅当时等号成立，所以周长，所以周长的最小值为．

【题型七】解三角形：高的最值型三角形高的处理方法：1.等面积法：两种求面积公式如2.三角函数法：1.已知向量，定义函数.(1)求函数的最小正周期；(2)在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值.甘肃省张掖市2022-2023学年高三下学期第一次全市联考数学（文）试题【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换将函数化为正弦型函数，即可求函数的最小正周期；（2）根据函数，结合三角形解方程得角的大小，根据的面积公式结合余弦定理与基本不等式即可求长度的最大值.【详解】（1）解：=的最小正周期为（2）解：，，.又AB，.由余弦定理得，当且仅当时，“=”成立，=.2.（湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学）已知的内角满足.(1)求角；(2)若，设是中边上的高，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方关系和条件可得，然后根据正余弦定理可得答案；（2）根据正弦定理可得，当角为锐角，，然后利用三角函数的知识可得的最大值，同理可分析当角为直角时、角为钝角时的情形.【详解】（1）由正弦定理得，由余弦定理得，（2）在中，由得，①当角为锐角时，当，即时，.②当角为直角时，，③当角为钝角时，，当，即时，综上：当时，.3.（辽宁省朝阳市建平县实验中学2022-2023学年高三上学期）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角A的值；(2)若边上的高为3，求a的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理对原式边化角即可；（2）根据的两个面积公式得到，再结合余弦定理和基本不等式求解即可.（1）因为，由正弦定理知，所以，因为，所以，所以，因为，所以（2）由（1）知，且边上的高为3，所以的面积，即.又因为中，由余弦定理得，当且仅当b=c时取等号，所以，又因为，所以，所以a的最小值为【题型八】解三角形：双余弦型如图设，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因为，所以所以①+②式即可1.（2022·辽宁·高三）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

．(1)求C；(2)若△ABC的面积为，D在边AC上，且CD=CA，求BD的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）方案一：选条件①．结合正弦定理与两角和的正弦公式求解即可；方案二：选条件②．由正弦定理及同角三角函数的基本关系式化简求解即可；方案三：选条件③．由正弦余弦定理化简求解即可.（2）根据面积公式可得，再根据余弦定理结合基本不等式求解最值即可.(1)方案一：选条件①．由，可得，由正弦定理得，因为，所以，所以，故，又，于是，即，因为，所以．方案二：选条件②．因为，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得，即，因为，所以，又所以，因为，所以．方案三：选条件③．，由正弦定理得，即，∴，∴由余弦下定得．又，所以．(2)由题意知，得．由余弦定理得，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为．2.在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.(1)求的面积；(2)当，求MN的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，可求得，根据结合面积公式求解；（2）在中利用余弦定理求，在直角中根据求解．(1)在中，，则由正弦定理得：，，则因为，则或（不合题意，舍去），则。的面积为(2)在中，，，由余弦定理可得则有，所以在直角中，，，则3.（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC=90°．(1)证明：；(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．①；②．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；（2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；选②，设出，根据勾股定理，得出，结合已知条件得出，，，利用锐角三角函数的定义，得出角，进而得出角，再利用三角形的面积公式即可求解．（1）解：因为，所以，故；（2）选①，．因为，所以，在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，因为角为锐角，故，在中，因为，所以，又，所以；选②，，设，则，在中，，由（1）得，，解得，即，在中，，所以，所以，所以．【题型九】三角形外接