【4】高中数学解答题讲义 立体几何归类（学生版）

立体几何目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】等角证明及建系型 5【题型二】投影型证明与建系 7【题型三】斜棱柱建系法 8【题型四】翻折型建系求动点 10【题型五】二面角及其延长线型建系 11【题型六】最值型 13【题型七】特殊的几何体 14题型方法梳理一、平行证明思路（1）证线面平行思路：①中位线（线大于面）②平行四边形（线小于面）③作面面平行来证线面平行（频率最高）④补截面（2）证面面平行思路：面面平行判定定理.（3）证线线平行思路：线面平行性质定理.二、垂直证明思路（1）证线面垂直思路：线面垂直判定定理（2）证线线垂直思路：以其中一线作面，证线面垂直来证线线垂直（3）证面面垂直思路：从其中一面中选择一线，证一次线面垂直即可（选线的原则：①该线看起来垂直于另一面，②按照题中所给的垂直找线）（4）常用两种辅助线做法：①遇到等腰三角形一定要作中线垂直于底线②遇到面面垂直，要找垂直于交线的直线（没有就作辅助线），进而用面面垂直性质定理三、空间向量的应用求角1.求异面直线a,b所成的角已知a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为θ，则cosθ=|cos<①向量AC,BD所成角<AC,BD>的范围是②<AC,BD故cosθ=|cos<AC2.求直线l和平面α所成的角设直线l方向向量为a，平面α法向量为n，直线与平面所成的角为θ，a与n的夹角为α则θ为α的余角或α的补角的余角，即有sinθ=|cosα|=a当θ=π2−α时，sinθ=cosα；当θ=α−不管哪种情况，都有sinθ=|cosα|.3.求平面α与平面β的夹角（1）二面角的平面角是指在二面角α−l−β的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AO⊥l，BO⊥l，则∠AOB为二面角α−l−β的平面角，二面角的取值范围是[0,π].如图：（2）平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于90o的二面角称为平面α与平面β（3）空间向量求平面α与平面β的夹角求法：设平面α与平面β的法向量分别为m,再设m,n的夹角为φ，平面α与平面β的平面角为θ，则θ为φ或π−φ则cosθ=|cosφ|=|m四、空间向量的应用求距离(1)点A、B间的距离AB=AB(2)点Q到直线l距离若Q为直线l外的一点，P在直线上，a为直线l的方向向量，b则点Q到直线l距离为d=如图，d=b(3)点Q到平面α的距离若点Q为平面α外一点，点M为平面α内任一点，平面α的法向量为n，则Q到平面α的距离就等于MQ在法向量n方向上的投影的绝对值，即d=如图，d=MQ(4)直线a平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.(5)利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.【题型一】等角证明及建系型向量角度：角度公式：（1）、异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角），分别是两直线的方向向量（2）、直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，），分别是直线的方向向量与平面的法向量（3）、二面角（法向量的方向角，）分别是两平面的法向量1.（2023上·山东·高三校联考阶段练习）如图，在四棱台中，底面是正方形，，，，．

(1)求证：直线平面；(2)求二面角的余弦值．2.（223浙江宁波·浙江省宁波市鄞州中学校考模拟预测）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，是的中点．（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．3..(2024郑州一质检）如图，在多面体中，底面为平行四边形，平面BC，为等边三角形，．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【题型二】投影型证明与建系1.（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.2.（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，是点在平面ABC上的投影，，，是BD的中点.(1)证明：平面DAC；(2)若O点正好落在的内角平分线上，，，，求二面角的正弦值.3.（23-24高三·黑龙江·阶段练习）已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内．(1)求证：；(2)为棱上一点，且二面角为，求的值．【题型三】斜棱柱建系法1.（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点．

(1)证明：平面．(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．2.（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点．(1)证明：平面．(2)求二面角的正弦值．3.（2023·全国·高三专题练习）在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．

(1)求证：BD⊥AE；(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．【题型四】翻折型建系求动点1.（2024·山西运城·一模）如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.(1)求的长度；(2)若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.2.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2．(1)证明：平面平面；(2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．3.（2023·全国·模拟预测）如图①所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角的大小为，得到如图②所示的四棱锥．(1)求证：平面平面；(2)若Q为上一动点，且，当锐二面角的余弦值为时，求四棱锥的体积．【题型五】二面角及其延长线型建系1.（2023·辽宁大连·统考一模）如图，平面五边形ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，CD＝AE，，将沿AD翻折，使点E翻折到点P．(1)证明：PC⊥BC；(2)若PC＝3，求二面角P－AD－B的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值．2.（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）如图，已知菱形中，，点为边的中点，沿将折起，得到且二面角的大小为，点在棱上，平面.(1)求的值；(2)求二面角的余弦值.3.（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知直角梯形形状如下，其中，，，．

(1)在线段CD上找出点F，将四边形沿翻折，形成几何体．若无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．(2)在（1）的条件下，若二面角为直二面角，求棱台的体积，并求出此时二面角的余弦值．【题型六】最值型1.（2023春·山西·高一统考期末）如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN．

(1)证明：．(2)设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．2.（23-24高三下·河北张家口·开学考试）如图，在矩形中，，．沿对角线折起，形成一个四面体，且．(1)是否存在，使得，同时成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(2)求当二面角的正弦值为多少时，四面体的体积最大．3.（2023春·江苏扬州·高三统考）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.【题型七】特殊的几何体1.（2024·贵州·三模）如图，在正四棱锥中，，已知，，其中分别为的中点.(1)证明：；(2)求二面角的正弦值.2