工程力学54-圆杆扭转时应力与变形课件

实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时，我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。§8-3圆杆扭转时的应力与变形8.3.1横截面上的切应力现在的关键在于：确定切应力在横截面上的变化规律，即横截面上距圆心为任意半径r的一点处切应力tr与r的关系。首先观察受扭时，表面的变形情况，据此作出涉及杆件内部变形情况的假设，最后还要利用应力和应变之间的物理关系。

(1)几何关系

(2)物理关系

(3)静力学关系1.几何关系：(1)等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小的情况时，圆周线的相对纵向距离也不变。如下图，实验表明：ABab′O′bTT(2)平截面假设等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其横截面上任一根半径其直线形状仍然保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度。ABab′O′bTT取微段dx分析：得半径为r的任意圆柱面上的切应变。

(a)rd

x式中：df/dx

是长度方向的变化率，按平面假设是常量。这样，等直圆杆受扭时，r与gr

成线性关系。(1)2.物理关系：由剪切胡克定律：tr=Ggr

，在t<tp

时，可把(1)式代入，得：上式表明：受扭的等直杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径r的圆周上各点处大小相同，但它们随r

作线性变化，同一横截面上的最大切应力在圆周边缘上（图(b))，方向垂直于各自的半径。(b)(2)上式与MT没有联系起来。若等截面圆杆在MT

作用下，则t如何？3.静力学关系：(2)整个横截面面积A范围内每个微面积dA乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是一个几何性质，称之为横截面的极惯性矩，常用Ip来表示，即：(2)（单位：mm4或m4）上式为等直圆杆受扭时横截面上任一点处切应力的计算公式。若求tmax，则令r

=r，有又故上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线性弹性范围内受扭情况。改写成其中抗扭截面模量，常用单位：mm3或m3。.OABMT思考题8-4下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，该截面上的扭矩MT亦如图所示，试绘出水平直经AB上各点处切应力的变化图。MTABO思考题8-4参考答案:一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿水平直经的变化图，若(1)两杆材料相同，即G1=G2=G；(2)两材料不同，G1=2G2。MT12思考题8-5思考题8-5(1)答案：MTG1=G2=G21思考题8-5(2)答案：MTG1=2G221主要计算实心圆截面和空心圆截面。如图有o8.3.2极惯性矩和抗扭截面模量Ip和Wp对于实心圆截面o对于空心圆截面（外径D，内径d）

式中：a=d/D千万不要出错！应当注意：思考题：教材133页思考题８－２（第二版165页思考题８－３）8.3.3扭转角若l范围内，T是常量，GIp也为常量，则上式GIp越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。lgTT比较：一水轮机的功率为Nk=7350kW，其竖轴是直径为d=650mm，而长度为l=6000

mm的等截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为G=0.8×105MPa。求当水轮机以转速n=57.7r/min匀速旋转时，轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角f。OTa例题8-2OTa解：轴传递功率Nk(kW)，相当于每分钟传递功W=1000×Nk×60(N·m)(1)令(1)、(2)相等，得外力偶作功

(2)即例题8-2因此作用在轴上的外力偶矩T为OTa极惯性矩例题8-2图示传动轴系钢制实心圆截面轴。已知：

T1=1592N·m，T2=955N·m，T3=637N·m截面A与截面B、C之间的距离分别为lAB=300mm和lAC=500mm。轴的直径d

=70mm,

钢的剪切弹性模量G=8×104MPa。试求截面C对B的扭转角

dABC例题8-3

dABC解：由截面法得Ⅰ，Ⅱ两段内扭矩分别为MTⅠ=955N·m,MTⅡ=637N·m。先分计算B，C截面对A之扭转角fAB，fAC,则可以假想此时A不动。例题8-3

dABC由于假想截面A固定不动，故截面B、C相对于截面A的相对转动应分别与扭转力偶矩T2、T3的转向相同，从而fAB和fAC的转向相同。由此可见，截面C对B的扭转角fBC应是：上两式中的Ip可以利用例题8-3其转向与扭转力偶矩T3相同。

dABC例题8-3直径50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩MT=1.5kN·m，求横截面上的最大切应力。思考题8-6T=1.5kN·mTlT思考题8-7空心圆轴的直径d=100mm，长l=1m，作用在两个端面上的外力偶之矩均为T=14kN·m，但转向相反。材料的切变模量G=8×104MPa。求：(1)横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭转角。(2)图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。ABCO25TlT(1)

tmax=71.3

MPa

f=0.01784rad(2)tA=tB=tmax=

71.3

MPa

tC=35.7MPa思考题8-7答案：ABCO25下图(a)所示的扭转超静定问题，若假想地解除B端的约束，而利用B截面的扭转角为零作为位移条件求解(图(b))，试列出其求解过程。AablCBT思考题8-8ATBTB思考题8-8答案：先考虑

T作用，则只考虑TB的作用，则ATBTB相容条件：则TA=Tb/l上述结果可与书例题8-4进行比较。得8.3.4斜截面上的应力通过扭转实验发现：(1)低碳钢试件系横截面剪断；(2)铸铁试件则沿着与轴线成45º的螺旋线剪断；(3)木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。研究类似铸铁试件破坏原因考虑斜截面上的应力。方法：扭杆假想切开斜截面扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面xTA(a)点上切一个单元体(1)左、右横截面(2)顶、底面，径向截面前、后面，切向截面切应力互等，纯剪切状态xx(b)adcd思考题8-9如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出（1）横截面AGB上应力沿直径AB的分布；（2）径截面ABEF上应力分别沿直径AB、CD、EF的分布。ECFDBAG思考题8-9答案:ECFDBAG现从受扭圆杆件的表面A取出一单元体（图(b)）,图(b)处于纯剪切状态,现改其为平面图表示：xTA(a)xx(b)adcbyabcdenx(a)detnxc(b)yabcdenx(a)研究垂直于前后两个面的任意斜截面de上的应力,如图(a)、(b)。de

斜面作着未知的正应力sa和切应力ta。detnxc(b)设de的面积为dA，则detnxc(b)简化后：同理得：detnxc(b)当a＝0o与a＝90o时：ta有最大值，即为ta=±45o的情况下：sa有极值，即为t。a=145o，sa=smin=-ta=-45o，sa=smax=+t由此看来，铸铁圆柱的所谓扭转破坏，其实质上是沿45º方向拉伸引起的断裂。也因此，在纯剪切应力状态下直接引起断裂的最大拉应力smax总是等于横截面上相应的切应力，所以在铸铁圆杆的抗扭强度的计算中也就以横截面上的t作为依据。如下图所示。TT断裂线σmin1.薄壁圆筒扭转时的应力和变形。小结：2.圆杆扭转时的应力和变形。(1)横截面上的应力——材料的剪切胡克定律——Ｅ、Ｇ、n三者之间的关系

(a)几何关系

(b)物理关系(c)静力学关系(d)