2026届河北省承德市名校九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析

2026届河北省承德市名校九年级数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．3 B．2 C．1 D．02．已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm3．摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是（）A．x（x＋1）＝182 B．0.5x（x＋1）＝182C．0.5x（x－1）＝182D．x（x－1）＝1824．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．6．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形7．函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．8．化简的结果是（）A． B． C． D．9．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（）A．4 B．3 C．2 D．110．在中，是边上的点，，则的长为（）A． B． C． D．11．如图，△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°12．已知反比例函数y＝的图象经过点(3，2)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．(3，－2) B．(－2，－3) C．(1，－6) D．(－6，1)二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，将绕点逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为______．14．已知反比例函数的图象经过点P（a＋1，4），则a＝_________________．15．若，则的值为_____．16．某圆锥的底面半径是2，母线长是6，则该圆锥的侧面积等于________．17．如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数的图象上.若点的坐标为，则的值为_______．18．___________.三、解答题（共78分）19．（8分）某种商品进价为每件60元，售价为每件80元时，每个月可卖出100件；如果每件商品售价每上涨5元，则每个月少卖10件设每件商品的售价为x元（x为正整数，且x＞80）．（1）若希望每月的利润达到2400元，又让利给消费者，求x的值；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？20．（8分）已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝1．（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．21．（8分）如图，在长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为，问：(1)当秒时，四边形面积是多少？(2)当为何值时，点和点距离是？(3)当_________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)22．（10分）已知抛物线的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；（1）求抛物线函数解析式；（2）求函数的顶点坐标.23．（10分）解下列方程：（1）x2﹣6x+9＝0；（2）x2﹣4x＝12；（3）3x（2x﹣5）＝4x﹣1．24．（10分）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F，且BF=BC，（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，=，求CE的长．25．（12分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x．(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式．(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．26．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．（1）画出关于轴对称的；写出顶点的坐标（，），（，）．（2）画出将绕原点按顺时针旋转所得的；写出顶点的坐标（，），（，），（，）．（3）与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】由题意可知，该一元二次方程根的判别式的值大于零，即(-2)2-4m>0，∴m<1.对照本题的四个选项，只有D选项符合上述m的取值范围.故本题应选D.2、B【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可．【详解】解：∵点P在⊙O上，∴OP＝r＝5cm，故选：B．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．3、D【解析】共送出照片数=共有人数×每人需送出的照片数．根据题意列出的方程是x（x-1）=1．故选D.4、C【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.5、B【分析】将一个图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合的图形是中心对称图形，根据定义依次判断即可得到答案.【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选：B．此题考查中心对称图形的定义，熟记定义并掌握各图形的特点是解题的关键.6、D【解析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．【详解】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D．本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质是本题的关键．7、D【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论，然后再对照选项即可．【详解】解：分两种情况讨论：①当k＜0时，反比例函数y＝在二、四象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向下，故A、B、C、D都不符合题意；②当k＞0时，反比例函数y＝在一、三象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项D正确；故选：D．本题主要考查反比例函数与二次函数的图象，掌握k对反比例函数与二次函数的图象的影响是解题的关键．8、D【解析】将除法变为乘法，化简二次根式，再用乘法分配律展开计算即可.【详解】原式=×=×（+1）=2+.故选D.本题主要考查二次根式的加减乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键.9、D【分析】设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．【详解】解：设内切圆的半径为r解得：r=1故选D．此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键．10、C【分析】先利用比例性质得到AD：AB=3：4，再证明△ADE∽△ABC，然后利用相似比可计算出AC的长．【详解】解：解：∵AD=9，BD=3，

∴AD：AB=9：12=3：4，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，∴=，∵AE=6，∴AC=8，故选C.本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．11、C【解析】由三角形内角和定理可得∠ACB=80°，由旋转的性质可得AC=CE，∠ACE=∠ACB=80°，由等腰的性质可得∠CAE=∠AEC=50°．【详解】∵∠B＝70°，∠BAC＝30°∴∠ACB＝80°∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．∴AC＝CE，∠ACE＝∠ACB＝80°∴∠CAE＝∠AEC＝50°故选C．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．12、B【解析】反比例函数图象上的点横坐标和纵坐标的积为k，把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．【详解】解:解：把（2，3）代入反比例解析式得：k=6，∴反比例解析式为y=，则（-2，-3）在这个函数图象上，故选：B．此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、20°【解析】先判断出∠BAD=140°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，∴∠BAD=140°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为140°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=(180°−∠BAD)=20°，故答案为：20°此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于判断出△BAD是等腰三角形14、－3【分析】直接将点P（a＋1，4）代入求出a即可.【详解】直接将点P（a＋1，4）代入,则，解得a=－3.本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数知识和计算准确性是解决本题的关键，难度较小.15、．【解析】根据比例的合比性质变形得：【详解】∵，∴故答案为：.本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．16、【分析】根据圆锥的侧面积公式即可得．【详解】圆锥的侧面积公式：，其中为底面半径，为圆锥母线则该圆锥的侧面积为故答案为：．本题考查了圆锥的侧面积公式，熟记公式是解题关键．17、1或-3【分析】由题意根据反比例函数中值的几何意义即函数图像上一点分别作关于x、y轴的垂线与原点所围成的矩形的面积为，据此进行分析求解即可.【详解】解：由题意图形分成如下几部分，∵矩形的对角线为，∴，即，∵根据矩形性质可知，∴，∵，点的坐标为，∴，解得1或-3.故答案为：1或-3.本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18、【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】原式．故答数为：．本题考查了特殊角的三角函数值及实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）x的值为90；（2）每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．【解析】（1）直接利用每件利润×销量＝2400，进而得出一元二次方程解出答案即可；（2）利用每件利润×销量＝利润，先用x表示出每件的利润和销量，进而得出利润关于x的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）由题意可得：（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）]＝2400，整理得：x2﹣190x+9000＝0，解得：x1＝90，x2＝100（不合题意舍去），答：x的值为90；（2）设利润为w元，根据题意可得：w＝（x﹣60）[100﹣2（x﹣80）]＝﹣2x2+380x﹣15600＝﹣2（x﹣95）2+2450，故每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．本题考查的是二次函数的实际应用，这是二次函数应用问题中的常见题型，解决问题的关键是根据题意中的数量关系求出函数解析式.20、（1）见解析；（2）﹣2或2【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于等于1，即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及，由|x1﹣x2|＝即可求得a的值．【详解】（1）证明：∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝1中，△＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞1，∴无论a为何实数，方程总有实数根．（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则，∵，∴,解得a＝±2．故a的值是﹣2或2．本本题考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数之间的关系.21、（1）5厘米2；（2）秒或秒；（3）秒或秒或秒或秒.【分析】（1）求出BP，CQ的长，即可求得四边形BCQP面积.（2）过Q点作QH⊥AB于点H，应用勾股定理列方程求解即可.（3）分PD=DQ，PD=PQ，DQ=PQ三种情况讨论即可.【详解】（1）当t=1秒时，BP=6-2t=4，CQ=t=1，∴四边形BCQP面积=厘米2.（2）如图，过Q点作QH⊥AB于点H，则PH=BP-CQ=6-3t，HQ=2，根据勾股定理，得，解得.∴当秒或秒时，点P和点Q距离是3cm.（3）∵，当PD=DQ时，，解得或（舍去）；当PD=PQ时，，解得或（舍去）；当DQ=PQ时，，解得或.综上所述，当秒或秒或秒或秒时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形.22、(1)y=x2﹣2x﹣3；(2)(1，－4)【分析】（1）将两点代入列出关于b和c的二元一次方程组，然后进行求解；（2）根据二次函数的顶点坐标的求法进行求解．【详解】解：（1）把（﹣1，0），（3，0）代入y=x2+bx+c（a≠0）得，解得∴所求函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3，（2）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴=﹣=1，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）考点：待定系数法求函数解析式、二次函数顶点坐标的求法．23、（1）x1＝x2＝3；（2）x1＝﹣2，x2＝6；（3）x1＝，x2＝．【分析】（1）运用因式分解法即可求解；（2）方程移项后运用因式分解法求解即可；（3）方程移项后运用因式分解法求解即可．【详解】（1）x2﹣6x+9＝0（x﹣3）2＝0x﹣3＝0∴x1＝x2＝3；（2）x2﹣4x＝12x2﹣4x﹣12＝0（x+2）（x﹣6）＝0x+2＝0或x﹣6＝0∴x1＝﹣2，x2＝6；（3）3x（2x﹣5）＝4x﹣13x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0（2x﹣5）（3x﹣2）＝02x﹣5＝0或3x﹣2＝0∴x1＝，x2＝．本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．24、（1）证明见详解；（2）.【分析】（1）连接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根据切线的判定推出即可．

（2）根据AC=4，=，求出BC=3，AB=5，BF=3，AF=2，根据∠EAD=∠ACE，∠E=∠E证△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得出，求出即可．【详解】（1）答：BC与⊙O相切．

证明：连接AE，

∵AC是⊙O的直径

∴∠E=90°，

∴∠EAD+∠AFE=90°，

∵BF=BC，

∴∠BCE=∠BFC=∠AFE，

∵E为弧AD中点，

∴∠EAD=∠ACE，

∴∠BCE+∠ACE=∠EAD+∠AFE=90°，

∴AC⊥BC，

∵AC为直径，

∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵⊙O的半为2，

∴AC=4，

∵=∴BC=3，AB=5，

∴BF=3，AF=5-3=2，

∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，

∴△AEF∽△CEA，

∴∴EC=2EA，

设EA=x，则有EC=2x，

由勾股定理得：，∴（负数舍去），

即.本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．25、（1）y=﹣3x2+252x﹣1（2≤x≤54）；（2）商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【解析】（1）此题可以按等量