2.2.4均值不等式及其应用课件-高一上学期数学人教B版

2.2.4均值不等式及其应用第二章等式与不等式人教B版（2019）素养目录

03理解算术平均值、几何平均值的概念；04掌握两个正变量的和或积为常数的最值问题；05掌握均值不等式的实际应用.新知导入给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值．两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？探究新知【尝试与发现】(1)假设一个矩形的长和宽分别为

a和

b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；探究新知【尝试与发现】（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义．a1246810b146810121357

9

111

一般地，如果a，b都是正数，那么均值不等式当且仅当a＝b时，等号成立．探究新知证明因为a，b都是正数，所以即

而且，等号成立时，当且仅当，即a＝b．值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如

一定是正确的．探究新知均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．【思考】均值不等式有什么几何意义呢？探究新知将均值不等式两边平方可得≥ab．如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，

可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．探究新知【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？周长相等的三角形中，正三角形的面积最大.平面上，周长相等的所有封闭图形中，圆的面积最大，当周长一定时，正多边形的面积随着边数的增加而增加，当边数趋近于正无穷时，边长趋近于一个点，正多边形的形状趋近圆，故圆的面积最大.探究新知【探索与研究】如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？探究新知【结论】均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦.CD＝

，OD＝

，由图可知OD≥CD，所以

，变形为a＋b≥

．探究新知例1已知

x＞0，求

y＝x＋的最小值，并说明

x为何值时

y取得最小值．探究新知

探究新知解：(1)设矩形的长与宽分别为

x与

y，依题意得

xy＝100．所以2(x＋y)≥40．因为

x＞0，y＞0，所以

，因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40．当且仅当

x＝y时，等号成立，由

，可知此时

x＝y＝10．例3

(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？分析：在

(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；探究新知例3(2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？分析：在

(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．解：

(2)设矩形的长与宽分别为

x与

y，依题意得2

(x＋y)＝36，即

x＋y＝18．因为

x＞0，y＞0，所以

，因此

≤9，即

xy≤81.当且仅当

x＝y时，等号成立，由

，可知此时

x＝y＝9．因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81．探究新知【结论】当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.探究新知例5已知

a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab．并说明等号成立的条件.证明：因为

a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以

a2＋b2－2ab≥0，即

a2＋b2≥2ab．等号成立时，当且仅当

(a－b)2＝0，即

a＝b．例5的结论也是经常要用的.均值不等式与例

5

的结论既有联系，又有区别.区别在于例5中去掉了a，b

是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例5结论的一种特殊情况.探究新知例6已知a，b∈R，求证：

(1)(a＋b)2≥4ab；

(2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2．证明：(1)因为

a2＋b2≥2ab，两边同时加上2ab，得a2＋b2＋2ab≥4ab，即

(a＋b)2≥4ab；探究新知证明：(2)因为

a2＋b2≥2ab，两边同时加上

a2＋b2，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，即

2(a2＋b2)≥(a＋b)2．(a＋b)2≥4ab以及

2(a2＋b2)≥(a＋b)2都是均值不等式的变形，其中

2(a2＋b2)≥(a＋b)2又常变形为