24.3 正多边形和圆 数学人教版九年级上册课件

24.3正多边形和圆

第二十四章

圆

人教版2024·九年级上册情境导入观看下面的图片，试着想一想，日常生活中，还有哪些正多边形形状的物体，或利用正多边形组成的美丽图案?知识建构回顾：什么叫做正多边形？各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.正多边形各边相等各角相等缺一不可知识建构思考：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？知识建构正三角形正四边形正五边形正六边形正八边形图形轴对称图形中心对称图形结论

正

n边形都是轴对称图形，都有

n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.√×√√√×√√√√知识建构思考：已知⊙O的半径为2cm，如何画圆的内接正三角形？O正三角形的中心角是多少？120°AB（1）任意画出一条半径OA；（2）用量角器画一个等于120°的圆心角，对应；（3）在圆上截取与相等的；用什么方法在圆上截取相等的弧呢？①用量角器依次画出相等的圆心角；②用圆规依次截取该圆心角所对弧的等弧.O知识建构已知⊙O的半径为2cm，画圆的内接正三角形．120°AOCB（1）任意画出一条半径OA；（2）用量角器画一个等于120°的圆心角，对应；（3）在圆上截取与相等的；（4）顺次连接各点得正△ABC.

等分圆周120°用量角器画圆心角∠BOC=120°知识建构120°ACBO思考：如何在圆上截取与

相等的

？用圆规截取知识建构思考：刚才我们度量的是圆心角，还能度量哪个角来等分圆周呢？120°ACB30°30°O可用量角器或30°的三角板度量，使∠OAB=∠OAC=30°.

知识建构试着算出正四边形、正五边形的圆心角.·ABCDO·ABCDEO90°72°你能借助刚才的正五边形画一个五角星吗？·ABCDEO正多边形的中心角等分圆周可以设计很多美丽的图案，你还能设计出哪些图案？劣弧与优弧用等分圆周的方法作正多边形的一般步骤任意画一个圆和一条半径；算出该正多边形的中心角的度数，用量角器画出一个圆心角（中心角），获得该圆心角所对的弧；用圆规在圆上依次截取相等的弧，得到圆的等分点；顺次连接各分点得到正多边形.使用工具：量角器，圆规知识建构思考：借助圆画一个边长为1.5cm的正六边形.EFCDABO中心角半径R.60°1.5cm分析：如何确定所画圆的半径？中心角△OEF为等边三角形正六边形的边长等于半径劣弧与优弧归纳总结O把圆分成n（n≥3）等份：依次连接各分点所得的多边形一定是

，这个正n边形是这个圆的

，这个圆是这个正n边形的

.正n边形内接正n边形外接圆劣弧与优弧圆的内接正多边形OABCDERr正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心外接圆的半径叫做正多边形的半径内切圆的半径叫做正多边形的边心距正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于

O劣弧与优弧圆的内接正多边形正多边形的边数内角外角中心角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多边形的外角=中心角弦相等圆周角相等弧相等劣弧与优弧圆的内接正多边形EFCDO中心角半径R边心距r.AB正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.例题讲解

例1

H例题讲解

例2一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10cm，上、下底面正六边形的边长为12cm，如果用彩色胶带按如图(1)所示的方式包扎礼盒，所需胶带的长度至少为

cm.图(1)图(2)

例题讲解

例3有一个亭子，它的地基是半径为

4

m的正六边形，求地基的周长和面积

(面积保留小数点后一位

).抽象成如何将实际问题抽象成数学模型？例题讲解利用勾股定理，可得边心距亭子地基的面积4mOABCDEFMr解：连接OB，过点

O作

OM⊥BC于

M.在

Rt△OMB中，OB=4，MB=亭子地基的周长

l=6×4=24(m)，

例3有一个亭子，它的地基是半径为

4

m的正六边形，求地基的周长和面积

(面积保留小数点后一位

).劣弧与优弧归纳总结OBCrRP.圆内接正多边形常用辅助线连半径，得中心角12作边心距，得直角三角形FADERr由勾股定理得劣弧与优弧归纳总结正多边形的边数边长半径边心距周长面积32

42

62

例题讲解

例4如图，已知点

O

是正六边形

ABCDEF

的对称中心，G，H

分别是

AF，BC

上的点，且

AG

=

BH．(1)求∠FAB

的度数；(1)解：∵

六边形

ABCDEF

是正六边形，∴∠FAB

=.例题讲解

例4(2)证明：连接

OA、OB.∵

OA

=

OB，∴∠OAB

=∠OBA.∵∠FAB

=∠CBA，∴∠OAG

=∠OBH.∴△AOG≌△BOH

(SAS).∴

OG

=

OH．又∵

AG=

BH，如图，已知点

O

是正六边形

ABCDEF

的对称中心，G，H

分别是

AF，BC

上的点，且

AG

=

BH．(2)求证：OG

=

OH．例题讲解

例5

例题讲解

例6我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的(1)求圆内接正六边形面积．(2)圆内接正八边形的面积为_____．(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计圆O的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得π的估计值为_____．方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416,如图，若圆O的半径为1.（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决）例题讲解

例6(1)求圆内接正六边形面积．

例题讲解

例6(2)圆内接正八边形的面积为_____．

例题讲解

例6(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计圆O的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得π的估计值为_____．

例题讲解

例7假期中小华和小伙伴一起走进影院去看国漫电影《哪吒2》，影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？若“正八边形”的边长AB为2a,求正八边形的面积．

本课小结正多边形和圆正多边形的有关概念正多边形的有关计算添加辅助线的方法：连半径，作边心距中心半径边心距中心角对称性EFCDO中心角半径R边心距r.AB课后巩固A1．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，

CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（

）A．144° B．130° C．129° D．108°2.如图，正五边形

ABCDE内接于⊙O，

则∠ADE的度数是（）A．60°B．45°C．36°

D．30°

·ABCDEOC课后巩固3.若一个圆内接正多边形的中心角是40°，则这个多边形是（

）A．正十边形B．正九边形C．正八边形D．正七边形B4.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为4mm,则这个正六边形的面积是（）

C课后巩固C

A.20° B.25°

C.30°

D.40°

A.64° B.72°

C.74°

D.80°C课后巩固

48°

9.如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，正六边形的中心与坐标原点重合，若点A的坐标为(-1,0),则点C的坐标为.

课后巩固ABCDEFP10.如图，正六边形ABCDEF的边长为，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？∴点P到各边距离之和为3BD=3×6=18．解：