2025年中考数学总复习《锐角三角函数》考前冲刺练习试题含答案详解【培优B卷】

中考数学总复习《锐角三角函数》考前冲刺练习试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为()A． B． C．30° D．60°2、如图，在正方形中、是的中点，是上的一点，，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ΔABC绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（）A． B． C． D．4、如图，∠ACB＝60○，半径为1的⊙O切BC于点C，若将⊙O在直线CB上沿某一方向滚动，当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A． B． C．π或 D．或5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，则下列选项中不能表示tanA的是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是______．2、如图，等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=4，M为AB的中点，∠PMQ=45°，∠PMQ的两边分别交BC于点P，交AC于点Q，若BP=3，则AQ=_____．3、如图，在平面直角坐标系中，有一个，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA1＝2OA）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到，则的长度为_________．4、计算：______．5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为____或___三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，经过点A的直线（不与BD垂直）与对角线BD所在直线交于点E，过点B，D分别作直线BD的垂线交直线AE于点F，H．（1）当点E在如图①位置时，求证：BF﹣DH＝BD；（提示：延长DA交BF于G）（2）当点E在图②、图③的位置时，直接写出线段BF，DH，BD之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DH＝1，BD＝4，则tan∠DHE＝．2、．3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．4、图1、图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．（1）求AC的长度：（2）直接写出拉杆端点A到水平滑杆ED所在直线的距离cm．5、如图，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上的一个动点，E为线段AB上的一个动点，使得CDBE．连接DE，以D点为中心，将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，连接线段EF，过点D作射线DR⊥BC交射线BA于点R，连接DR，RF．（1）依题意补全图形；（2）求证：△BDE≌△RDF；（3）若AB＝AC＝2，P为射线BA上一点，连接PF，请写出一个BP的值，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，并证明．6、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线AB﹣BC向终点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1cm的速度向终点A运动．以PQ为底边向下作等腰Rt△PQR，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜4）．（1）直接写出AB的长；（2）用含t的代数式表示BP的长；（3）当点R在△ABC的内部时，求t的取值范围．-参考答案-一、单选题1、A【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB的坡度为：，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：∠ACB＝90°，则斜坡AB的坡度为：，

故选：A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．2、B【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得②正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠B＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋FEC＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴，∵BE＝CE，∴BE2＝AB•CF．∵AB＝2CE，∴CF＝CE＝CD，∴CD=4CF，故②正确，③错误，∴tan∠BAE＝BE：AB＝，∴∠BAE≠30°，故①错误；设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，∴，．∴，∵∠ABE＝∠AEF＝90°，∴△ABE∽△AEF，故④正确．故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3、B【分析】利用勾股定理逆定理得出ΔCDB是直角三角形，以及锐角三角函数关系进而得出结论．【详解】解：如图，连接BD，，由网格利用勾股定理得：是直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、余弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．4、D【分析】当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，然后根据锐角三角函数的知识求解；同理求出另一种情况的值．【详解】解：如图1，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，∴OW=CF，WF=1，∵∠ACB＝60○，∴∠WCF=∠ACB=30°，所以点O移动的距离为OW=CF===．如图2，当圆O滚动到圆O′位置与CA，CB相切，切点分别为F，E，连接OO′，O′E，O′C，O′F，OC，则四边形OCEO′是矩形，∴OO′=CE，∵∠ACB＝60○，∴∠ACE＝120○，∴∠O′CE=60°，∴点O移动的距离为OO′=CE===，·故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与切线长定理，矩形的判定与性质，以及三角函数等知识．解此题的关键是根据题意作出图形，注意数形结合思想的应用．5、D【分析】根据题意可推出△ABC、△ADB、△BDC均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tanA即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的高，∴△ABC、△ADB、△BDC均为直角三角形，又∵∠A+∠C=90°，∠C+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，在Rt△ABC中，tanA=，故A选项不符合题意；在Rt△ABD中，tanA=，故B选项不符合题意；在Rt△BDC中，tanA=tan∠DBC=，故D选项不符合题意；选项D表示的是sinC，故D选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．二、填空题1、3314##3143【解析】【分析】过点作，交延长线于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再解直角三角形可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，，，，，，，解得，又，，在中，，即，解得，，，解得，则的面积是，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．2、【解析】【分析】连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，由勾股定理得，根据三线合一得，解直角三角形即可求解．【详解】如图，连接CM，过点P作于点F，过点M作于点D，在中，，∵M为AB的中点，∴∵，∴，，∵在中，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴在中，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．3、×22020##22020×【解析】【分析】根据余弦的定义求出OB，根据题意求出OBn，根据题意找出规律，根据规律解答即可．【详解】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，∴OB＝OA•cos∠AOB＝，由题意得，OB1＝2OB＝×2，OB2＝2OB1＝×22，……OBn＝×2n＝×2n−1，∴的长为：×22020=×22020，故答案为：×22020．【点睛】本题考查的是位似变换的性质、图形的变化规律、锐角三角函数的定义，正确得到图形的变化规律是解题的关键．4、【解析】【分析】分别计算绝对值、负指数和特殊角三角函数，再加减即可．【详解】解：=．故答案为：．【点睛】本题考查了实数的混合运算，包括绝对值、负指数和特殊角三角函数，解题关键是熟记特殊角三角函数值，熟练运用负指数运算法则进行计算．5、3；14【解析】【分析】分两种情况讨论：①当B′D⊥AE时，△AB′F为直角三角形；②当DB′⊥AB′时，△AB′F为直角三角形.【详解】解：①当B′D⊥AE时，△AB′F为直角三角形，如下图：根据题意，BE=B′E，BD=B′D=BC=，∠B=∠EB′F，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2，∴AB=BC2+A∴sin∠B=∴∠B=∠EB′F=30°，∵在Rt△BDF中，∠B=30°，∴DF=BD=，∴B′F=B′D-DF=-=，∵在Rt△B′EF中，∠EB′F=30°，∴EF=B′E，∵B′F=B'E2−EF2=2EF即=EF，∴EF=，则BE=1，∴AE=AB-BE=4-1=3.②当DB′⊥AB′时，△AB′F为直角三角形，如下图：连接AD，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N，根据题意，BE=B′E，BD=CD=B′D=BC=，∠DBE=∠EB′F，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2，∴AB=BC2+A∴sin∠DBE=∴∠DBE=∠EB′F=30°，∵∠AB′F=90°，∴∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=120°，∴Rt△AB′N中，∠AB′N=60°，∠B′AN=30°，∴B′N=AB′，在Rt△AB′D和Rt△ACD中AD=ADB∴Rt△AB′D≌Rt△ACD（HL），∴AB′=AC=2，∴B′N=1，AN=，设AE=x，则BE=B′E=4-x，∵在Rt△AEN中，AN∴（）2+（4-x+1）2=x2∴x=14综上，AE的长为3或145故答案为：3或145【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．三、解答题1、（1）见解析；（2）或；（3）或【解析】【分析】（1）延长DA交BF于G，先证明△ABG是等边三角形，得到AG=AB=AD，然后证明△AGF≌△ADH得到DH=GF，再求出即可得到答案；（2）如图②所示，延长BA交DH于G，同理可证△ABF≌△AGH，，得到，则；延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，然后证明△GAF≌△DAH，得到，则；（3）如图①所示，先根据结论求出，然后证明△FBE∽△HDE，得到，即，则，；然后对于图②和图③利用类似的方法求解即可．【详解】解：（1）如图所示，延长DA交BF于G，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=AB，∴，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴∠FBD=∠HDB=90°，∴∠BGD=60°，∠ADH=120°，DG=2BG，∴∠FGA=120°，∵∠BAG=∠ABD+∠ADB=60°，∴△ABG是等边三角形，∴AG=AB=AD，在△AGF和△ADH中，，∴△AGF≌△ADH（ASA），∴DH=GF，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）如图②所示，延长BA交DH于G，同理可证△ABF≌△AGH，，∴，∴；如图③所示，延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴BG∥DH，∴∠FGA=∠HAD，又∵∠GAF=∠DAH，AG=AD，∴△GAF≌△DAH（AAS），∴，∴；（3）如图①所示，∵，，，∴，∵BF⊥BD，DH⊥BD，∴BF//DH，∴△FBE∽△HDE，∴，即，∴，∴；如图②所示，∵，，，∴此时不符合题意；如图③所示，同理可得，△EHD∽△EFB，∴，即，∴，∴；故答案为：或【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，求正切值，等边三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够准确作出辅助线构造全等三角形．2、【解析】【分析】先去掉绝对值，再计算三角函数值和零指数幂，然后化简算术平方根后可以得解．【详解】解：原式===．【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的计算和算术平方根的化简和计算是解题关键．3、（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OFC，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，即可求解；（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝，根据圆周角定理得出∠DFC＝90°，根据三角形函数的定义即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，连接OF，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠OCF，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∵OF为半径，∴FG是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DF，∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2，∵sin∠ABC＝，即，∴FG＝．【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正弦的定义，准确分析计算是解题的关键．4、（1）（40+40）cm；（2）（20）cm．【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥DE于点G，分别利用三角函数求出FG和DG，然后求出CD，进而求出CE，即可求出DE，最后根据AC＝2DE即可求出AC；（2）作AH⊥ED延长线于H，根据AH＝AC·sin45°求出AH即可．【详解】解：（1）过点F作FG⊥DE于点G，∴∠FGD＝∠FGC＝90°，在Rt△DGF中，∵∠CDF＝30°，∴FG＝FD•sin30°＝30×＝15（cm），∴DG＝FD•cos30°＝30×＝15（cm），在Rt△CGF中，∵∠DCF＝45°，∴CG＝FG＝15（cm），∴CD＝CG+DG＝15+15（cm），∵CE：CD＝1：3，∴CE＝CD＝×（15+15）＝5+5（cm），∴DE＝EC+CD＝5+5+15+15＝20+20（cm），∵DE＝BC＝AB，∴AC＝AB+BC＝2DE＝2×（20+20）＝40+40（cm），即AC的长度为（40+40）cm．（2）作AH⊥ED延长线于H，在Rt△AHC中，∵∠ACH＝45°，∴AH＝AC•sin45°＝（40+40）×＝20+20（cm），故答案为：（20）．【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题．当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形．（3）寻找直角三角形，并解这个三角形．5、（1）见解析；（2）见解析；（3）当，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出图形连接；（2）根据可得，证明是等腰直角三角，可得，根据旋转的性质可得，进而根据边角边即可证明△BDE≌△RDF；（3）当时，设，则，分别求得,根据即可求解【详解】（1）如图，（2）DR⊥BC将线段DE顺时针旋转90°得到线段DF，即是等腰直角三角形是等腰直角三角形△BDE≌△RDF；（2）如图，当时，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值，证明如下，是等腰直角三角形，设，则，△BDE≌△RDF,，是等腰直