北师大版（2024）八年级上册数学第七章3 平行线的证明 教案

第第页北师大版（2024）八年级上册数学第七章3平行线的证明教案第1课时平行线的判定新课导入设计【情境导入】暑假的一个晚上，小华和爸爸吃完饭到马路边乘凉，爸爸突然问了小华一个问题：“小华，你看路边的路灯，都笔直地站着，你知道它们之间是什么位置关系吗？”小华想了想，就说出了答案，并且用不同的道理回答了爸爸的问题．你知道小华是怎么回答的吗？教学设计课题第1课时平行线的判定授课人素养目标1.了解证明的基本步骤和书写格式．2．从用三角尺和直尺画平行线的活动过程中发现“同位角相等，两直线平行”，并会根据这个基本事实来证明“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”．3．掌握平行线的判定方法，会判定两直线平行，会简单的推理与表述．4．经历证明的基本步骤，熟悉正确的书写格式，感受几何中推理的严谨性，发展初步的演绎推理能力.教学重点理解和掌握由“同位角相等，两直线平行”来证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”，并进行简单应用.教学难点对公理和定理的理解和应用.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.对顶角____________．2．同角(等角)的余角____________，同角(等角)的补角____________．3.平行线的判定：(1)____________相等，两直线平行；(2)____________相等，两直线平行；(3)____________互补，两直线平行；(4)平行于同一条直线的两条直线____________.通过回顾旧知为学生学习新知做准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】上节课我们谈到了要证明一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证明．我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证明呢？这节课我们就来探讨第三节：平行线的判定．回顾命题的几种形式，顺利引出本节课课题.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．证明：内错角相等，两直线平行师：小明用如图所示的方法作出了两条平行线，你认为他的作法对吗？为什么？续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交流新知生：我认为他的作法对．他的作法可用下图来表示：∠CFE＝45°，∠BEF＝45°.因为∠GFD与∠CFE是对顶角，所以∠GFD＝∠CFE＝∠FEB.因为∠GFD与∠FEB是同位角，所以CD∥AB.师：很好．从图中可知，∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．师生分析：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1＝∠2.求证：a∥b.证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．这样我们就得到了两直线平行的一个判定定理：内错角相等，两直线平行．2．证明：同旁内角互补，两直线平行如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补．求证：a∥b.如何证明这个题呢？我们来分析．师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线判定的基本事实来证明．这时从图中可以知道：∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1＝∠3，就可以得到直线a与b平行．因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2＋∠3＝180°，所以∠3＝180°－∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即∠2＋∠1＝180°.所以∠1＝180°－∠2，因此由等量代换可以知道∠1＝∠3.证明：∵∠1与∠2互补(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(互补的定义)．∴∠1＝180°－∠2(等式的性质)．∵∠3＋∠2＝180°(平角的定义)，∴∠3＝180°－∠2(等式的性质)．∴∠1＝∠3(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．这样我们就得到了两直线平行的另一个判定定理．这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行．注意：(1)已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明命题．(2)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．1.通过对学生熟悉的平行线判定定理的证明，使学生掌握由平行线判定的基本事实推导出的另一个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．2．让学生经历利用基本事实来证明命题是真命题的过程，并能够结合图形正确地用数学符号表示证明的过程．同时在证明过程中，培养学生初步的演绎推理能力.续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1请运用内错角相等，两直线平行这个定理完成以下证明：已知：如图，∠1＝∠2，且BD平分∠ABC.求证：AB∥CD.证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠2(角平分线的定义)．∵∠1＝∠2，∴∠ABD＝∠1(等量代换)．∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．例2请运用同旁内角互补，两直线平行这个定理完成以下证明：已知：如图，AD是一条直线，∠1＝65°，∠2＝115°.求证：BE∥CF.证明：∵∠1＋∠DBE＝180°，∠2＋∠BCF＝180°(平角的定义)，又∵∠1＝65°，∠2＝115°(已知)，∴∠DBE＝180°－65°＝115°，∠BCF＝180°－115°＝65°.∴∠DBE＋∠BCF＝180°.∴BE∥CF(同旁内角互补，两直线平行)．【变式训练】1．如图，一个零件ABCD需要边AB与边CD平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？合格(填“合格”或“不合格”)．2．如图，点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.(1)求证：EA平分∠BEF.(2)若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD.证明：(1)∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°.∴∠2＋∠3＝90°且∠1＋∠4＝90°.又∵EC平分∠DEF，∴∠3＝∠4.∴∠1＝∠2.∴EA平分∠BEF.(2)∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，∴∠1＋∠A＋∠4＋∠C＝2(∠1＋∠4)＝180°.∴∠B＋∠D＝(180°－2∠1)＋(180°－2∠4)＝360°－2(∠1＋∠4)＝180°.∴AB∥CD.师生活动：学生分小组讨论后派学生代表进行演板，教师做最后讲解，并进一步规范证明过程．1.通过典型例题进一步让学生巩固新知，发展学生初步的演绎推理能力．2．通过变式训练加强学生对平行线的判定的综合运用能力.续表教学步骤师生活动设计意图活动四：课堂检测【课堂检测】1.如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，填上适当的一个条件：答案不唯一，如：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°，使a∥b.2．如图，直线AB，CD与直线EF分别相交于点M和N，MP平分∠AMF，NQ平分∠END，∠AME＝∠DNF.求证：MP∥NQ.证明：∵∠AME＝∠DNF，∠AME＋∠AMN＝∠DNF＋∠DNM＝180°，∴∠AMN＝∠DNM.又∵MP平分∠AMF，NQ平分∠END，∴∠PMN＝eq\f(1,2)∠AMN，∠QNM＝eq\f(1,2)∠DNM.∴∠PMN＝∠QNM.∴MP∥NQ.师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，引导学生灵活运用所学知识解决问题，并巩固新知.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些定理？都是如何证明的？(2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说．2．布置作业：教材第191页随堂练习.引导学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验，养成系统整理所学知识的习惯.板书设计第1课时平行线的判定两直线平行的判定定理：1．判定定理的证明．2．判定定理的应用格式．提纲挈领，重点突出.教学反思重点讲解采用多种方式，学生初步掌握判定方法，但复杂图形中角的识别训练不足；难点推导中，学生对直观到逻辑的过渡理解困难，推理证明规范训练欠缺．反思，更进一步提升.

第2课时平行线的性质新课导入设计【情境导入】看模型如图，将木条a，c成50°角固定在一起，转动b.可以看到，当b转动到不同位置时，∠α的大小也随着变化．当∠α从小变大时，直线b便从原来在右边与直线a相交变到在左边与直线c相交．在这个过程中，存在一个与a不相交，即与a平行的位置．那么当a∥b时，∠α为多大呢？为什么？教学设计课题第2课时平行线的性质授课人素养目标1.会根据“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”，并能简单地应用这些结论．2．通过对平行线的性质的探究，把握几何分析的方法，培养合作探究的学习态度，体会互逆的思维过程和其在几何中的应用价值.教学重点理解和简单应用本节课中的三个定理.教学难点运用公理、定理进行简单的推理，以及用几何语言进行表述.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.要证明两条直线平行，有哪些方法？2．平行线的性质有哪些？通过回顾旧知为学生学习新课做准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】为了实施南水北调工程，国家决定实施“引长江水进城市”工程．在修建某引水渠时，遇上A，B两地之间的一座大山，经勘探表明，引水渠若从山中穿过，既安全又节省开支，于是决定开山引流，在A地沿北偏东66°28′的方向开凿，如图．如果A，B两地同时施工，那么B地按南偏西多少度施工，才能使引水渠在山脉中呈直线准确接通？学习了本节课以后，我们就可以快速使问题得以解决了．通过创设现实情境，让学生体会到数学来源于生活，培养学生良好的数学应用意识，训练学生独立思考、分析和推理表达的能力，同时将问题转化为已知两条直线平行，确定内错角之间的关系问题，从而引出本节课的课题.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．利用“两直线平行，同位角相等”这一定理证明“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”．已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角．1.通过对平行线的性质定理与判定定理进行比较，进而建立二者之间的联系，让学生初步感受互逆的思考过程.续表教学步骤师生活动设计意图活动二：实践探究、交流新知求证：∠1＝∠2.证明：∵a∥b(已知)，∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠2＝∠3(对顶角相等)，∴∠1＝∠2(等量代换)．师生活动：在两直线平行，同位角相等的基础上，通过学生的观察、分析、讨论，此时学生已能够进行推理，在这里教师不必包办代替，应充分调动学生的主动性和积极性，让学生自主讨论并作答．2．利用相关定理和所得定理，证明“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补”．已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角．求证：∠1＋∠2＝180°.证明：∵a∥b(已知)，∴∠3＝∠2(两直线平行，内错角相等)．∵∠1＋∠3＝180°(平角的定义)，∴∠1＋∠2＝180°(等量代换)．师生活动：学生独立完成，把理由写成推理格式．对于学习困难一点的同学允许他们相互之间讨论后，再试着在练习本上写出解题过程．教师对学生中出现的不同解法给予肯定和鼓励．总结：证明文字叙述类命题的一般步骤：第一步：先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．把命题的条件化为几何符号语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号语言写在求证中．第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．问题：平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？2.让学生进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展学生的演绎推理能力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1已知：如图，AD是∠BAC的平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G.求证：∠AGF＝∠F.请你根据已知条件补充推理过程，并在相应括号内注明理由．1.通过典型例题的学习，使学生对证明的认识有了更高的提升，让学生更加深刻地认识到数学的严谨性与证明的必要性，做到每一步都有根有据.续表教学步骤师生活动设计意图活动三：开放训练、体现应用证明：∵AD是∠BAC的平分线(已知)，∴∠BAD＝∠CAD(角平分线的定义)．∵EF∥AD(已知)，∴∠AGF＝∠BAD(两直线平行，内错角相等)，∠F＝∠CAD(两直线平行，同位角相等)．∴∠AGF＝∠F(等量代换)．例2(教材第193页例)已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角．求证：b∥c.证明：∵b∥a(已知)，∴∠2＝∠1(两直线平行，同位角相等)．∵c∥a(已知)，∴∠3＝∠1(两直线平行，同位角相等)．∴∠2＝∠3(等量代换)．∴b∥c(同位角相等，两直线平行)．例3如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2.求证：∠3＝∠E.证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF(已知)，∴∠ABD＝∠CDF＝90°(垂直的定义)．∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．∵∠1＝∠2(已知)，∴AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．∴∠3＝∠E(两直线平行，同位角相等)．【变式训练】1．如图，将长方形ABCD沿GH折叠，使点C落在点Q处，点D落在边AB上的点E处．若∠AGE＝36°，则∠GHC＝108°.2．如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由．解：∠AED＝∠C.理由：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∠1＝∠DFH(对顶角相等)，∴∠2＋∠DFH＝180°.∴EH∥AB(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠3＝∠ADE(两直线平行，内错角相等)．∵∠3＝∠B，∴∠B＝∠ADE(等量代换)．∴DE∥BC.∴∠AED＝∠C(两直线平行，同位角相等)．师生活动：学生独立思考，分小组讨论后进行解答，教师对于学习有困难的学生及时指导和帮助．2.变式训练能够提高学生对所学知识的综合运用能力.续表教学步骤师生活动设计意图活动四：课堂检测【课堂检测】1.如图所示，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB.若∠AEC＝100°，则∠D＝(B)A．70°B．80°C．90°D．100°2．如图，已知AB∥DE，∠B＝60°，且