专题13外接球内切球与棱切球问题（练习）

专题13外接球、内切球与棱切球问题目录TOC\o"13"\h\z\u01正方体、长方体外接球 202正四面体外接球 303对棱相等的三棱锥外接球 704直棱柱外接球 805直棱锥外接球 1006正棱锥与侧棱相等模型 1607侧棱为外接球直径模型 2008共斜边拼接模型 2209垂面模型 2510二面角模型 3111坐标法 3612圆锥圆柱圆台模型 4213锥体内切球 4514棱切球 4901正方体、长方体外接球【答案】/所以最大球的体积为.故答案为：2．（2023·全国·高三专题练习）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为【答案】故答案为：.3．（2023·吉林·高三校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为．【答案】答案：02正四面体外接球如图所示，当D在如图所示的位置时h最小.取AC的中点F，连接PF、BF，【答案】A【解析】由题知，故选：A6．（2023·山东济南·高三统考期末）若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（

）【答案】A将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的体对角线长为，故选：.7．（2023·河南·西平县高级中学校联考模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（

）【答案】A故选：A03对棱相等的三棱锥外接球则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，故答案为：．所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别，，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为，，的长方体，故答案为：．【解析】解：如下图所示，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，故答案为：．04直棱柱外接球【答案】A故选：AA． B． C． D．【答案】B故选：B.05直棱锥外接球13．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）如图，在体积为的三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AD＝BD，PD⊥底面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球体积的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，故选：A.【答案】B故选：B．【答案】D故选：D.A． B． C．3 D．【答案】B故选：B.【答案】C【解析】如图，取中点为，中点为，连接，取的中点为，连接.故选：C.A． B． C． D．【答案】B故选：B.06正棱锥与侧棱相等模型设棱锥外接球的半径为R，即，，两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，21．（2023·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为．【答案】/故答案为：．22．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为．【答案】【解析】如图，正四棱锥的侧棱的所有三等分点构成一个正四棱台，棱台上底面是边长为1的正方形，棱台下底面是边长为2的正方形，侧棱长为1，设该棱台的外接球的半径为，①球心在两个底面之间时，②球心在下底面下方时，故答案为：.07侧棱为外接球直径模型A． B． C． D．又为球的直径，故选：．A． B． C． D．故选：．A． B． C． D．【解析】解：设球心为，连结、，故选：．08共斜边拼接模型【答案】C故选：C．27．（2023·全国·高三专题练习）三棱锥DABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD，AB⊥DB．则三棱锥DABC外接球的表面积是（

）．A． B． C． D．【答案】B又AB=DC=3，AC=DB=2，∴三棱锥DABC外接球的表面积为．故选：B．C．点A到平面SBC的距离为【答案】AD故选：AD．09垂面模型A． B． C． D．【答案】B故选：B．A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，故选：B.【答案】A故选：A.【答案】D故选：D.A． B． C． D．【答案】C如图，过，分别作两面的垂线，相交于，故选：C.A． B． C． D．【答案】D【解析】PABCD的外接球转化为三棱柱PABEDC的外接球，球心位于上､下底面中心连线段中点O处，由正弦定理求出，勾股定理求出，代入球体表面积公式即可得解.PABCD的外接球与三棱柱PABEDC外接球相同.球心位于上､下底面中心连线段中点O处，设外接球半径为R，.故选：D10二面角模型A． B．C． D．【答案】A故选：AA． B． C． D．【答案】D故选：．【答案】B故选：B.【答案】C故选：C.【答案】B当该三棱锥外接球表面积取最小值时，半径最小，故选：B11坐标法【答案】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，故答案为：.该四点构成了一个棱长为的正四面体（如图所示）.则该正四面体的外接球也是正方体的外接球，由图可得该四面体的体积为：42．（2023·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为【答案】【解析】如图将正方体补全，依题意可得、、、为正方体底面边上的中点，A． B． C． D．【答案】C如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，故选：C.44．（2023·江苏扬州·高三统考期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．【解析】以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，故答案为：；【答案】B故选：B12圆锥圆柱圆台模型【答案】C【解析】设圆柱的底面圆半径为，高为，球O的半径为，故选：C.所以，作出轴截面，如图，49．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．【答案】【解析】如图所示，故答案为：13锥体内切球【解析】因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直设内切球的半径为，则根据等体积法，有：【答案】//【解析】如下图所示：连接，圆锥的内切球球心为，半径为；外接球球心为，半径为.，所以，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值的最大值为.故答案为：；.【答案】故答案为：【解析】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，如图所示：14棱切球【答案】【解析】如图，故答案为：.【解析】取等边△ABC的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC，连接AE并延长，交BC于点D，则D为BC中点，且AD⊥BC，在SE上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD即为棱切球的半径，56．（2023·全国·统考模拟预测）已知三棱锥A﹣BCD所有棱长都相等，球与它的六条棱都相切，球与它的四个面都相切，则球与球的表面积之比为．【答案】3【