高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题5 第2讲　概　率

第2讲概率[考情分析]1.考查古典概型、几何概型及概率与统计的综合问题.2.概率与统计的综合问题常以解答题的形式出现，中等难度．选择题、填空题考查古典概型、几何概型，中低等难度．考点一古典概型核心提炼1．古典概型条件(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．2．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件个数,基本事件总数).例1(1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)答案C解析从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种取法，所以所求概率是P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故选C.(2)(2022·茂名模拟)甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要，甲连续工作2天后休息1天，乙连续工作3天后休息1天，丙连续工作4天后休息1天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(11,30)D.eq\f(3,10)答案B解析甲工作的日期为1,2,4,5,7,8,10，…，29，乙工作的日期为1,2,3,5,6,7,9,10，…，30，丙工作的日期为1,2,3,4,6,7,8,9，…，29，三人在同一天工作的日期为1,2,7,11,13,14,17,19,22,23,26,29，∴三人同一天工作的概率为P＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).规律方法(1)求古典概型的概率的关键是正确列举出所有基本事件和待求事件包含的基本事件．(2)两点注意：①对于较复杂的题目，列出事件时要正确分类，分类时应不重不漏．②当直接求解有困难时，可考虑其对立事件的概率．跟踪演练1(1)(2022·赣州模拟)已知正方形ABCD的中心为M，从A，B，C，D，M五个点中任取三点，则取到的三点构成直角三角形的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案D解析从A，B，C，D，M五个点中任取三点的基本事件有ABC，ABD，ABM，ACD，ACM，ADM，BCD，BCM，BDM，CDM，共10个，其中可构成直角三角形的有ABC，ABD，ABM，ACD，ADM，BCD，BCM，CDM，共8个，概率为P＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).(2)(2022·临川模拟)将各个面涂上红色的正方体锯成64个大小相同的正方体，则这些正方体中至少有两个面涂有红色的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,8)D.eq\f(5,8)答案A解析如图，两面是红色的正方体共有24个，三面是红色的正方体有8个，共32个，故至少有两面是红色的正方体的概率为eq\f(32,64)＝eq\f(1,2).考点二几何概型核心提炼1．几何概型条件(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型的概率公式P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).例2(1)(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于eq\f(7,4)的概率为()A.eq\f(7,9)B.eq\f(23,32)C.eq\f(9,32)D.eq\f(2,9)答案B解析在区间(0,1)中随机取一个数，记为x，在区间(1,2)中随机取一个数，记为y，两数之和大于eq\f(7,4)，即x＋y>eq\f(7,4)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,1<y<2，,x＋y>\f(7,4).))在如图所示的平面直角坐标系中，点(x，y)构成的区域是边长为1的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于eq\f(7,4)”即x＋y>eq\f(7,4)中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型计算公式得P(A)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2×\f(1,2),1×1)＝eq\f(23,32).(2)(2022·太原模拟)如图，三棱锥P－ABC的四个面都为直角三角形，PA⊥平面ABC，PA＝eq\r(2)，AC＝BC＝1，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥P－ABC内的概率为()A.eq\f(\r(2),24π)B.eq\f(\r(2),16π)C.eq\f(\r(2),12π)D.eq\f(\r(2),8π)答案D解析根据题意，三棱锥P－ABC外接球的球心为PB的中点，PB＝2，设三棱锥P－ABC外接球的半径为R，则R＝1，由于三棱锥P－ABC的体积为VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),6)，三棱锥P－ABC外接球的体积为V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)，所以P＝eq\f(\f(\r(2),6),\f(4π,3))＝eq\f(\r(2),8π).规律方法(1)几何概型适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解．(2)求解关键：寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．跟踪演练2(1)(2022·合肥模拟)每逢春节，家家户户都要贴“福”字，“福”字，代表福气、福运和幸福，某同学想给图中的“福”字镶边，为了测算“福”字的面积，在半径为30cm的圆形区域内随机投掷1000个点，其中落在“福”字上的点有410个，据此可估计“福”字的面积为________cm2(结果保留π)．答案369π解析设“福”字的面积为xcm2，则由题意可得eq\f(x,π·302)＝eq\f(410,1000)，解得x＝369π.(2)(2022·泸州模拟)在[－11,6]内取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋2m，记事件A为“函数f(x)有零点”，事件B为“函数f(x)只有负零点”，则P(A)＝________，P(B)＝________.答案eq\f(9,17)eq\f(3,17)解析令f(x)＝－x2＋mx＋2m＝0，当函数f(x)有零点时，由Δ＝m2＋8m≥0，得m≥0或m≤－8，又因为m∈[－11,6]，所以m∈[－11，－8]∪[0,6]，P(A)＝eq\f(－8－－11＋6－0,6－－11)＝eq\f(9,17)，当函数f(x)只有负零点时，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2＋8m≥0，,－\f(m,－1)<0，,\f(2m,－1)>0，))解得m≤－8，又因为m∈[－11,6]，所以m∈[－11，－8]，则P(B)＝eq\f(－8－－11,6－－11)＝eq\f(3,17).考点三概率与统计的综合问题核心提炼概率与统计的综合问题，要通过阅读，精准提炼有效解题信息，有时将统计中的频率近似作为概率使用．例3某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量x(10≤x≤20，单位：公斤)，其频率分布直方图如图所示．该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元，若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其他商店调拨，销售1公斤可获利30元．假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元．(1)求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替．①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[580,760]内的概率．解(1)商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－10×14－x，10≤x<14，,50×14＋30x－14，14≤x≤20，))化简得，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x－140，10≤x<14，,30x＋280，14≤x≤20.))(2)①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[10,12)的频率是2×0.08＝0.16；海鲜需求量在区间[12,14)的频率是2×0.12＝0.24；海鲜需求量在区间[14,16)的频率是2×0.15＝0.30；海鲜需求量在区间[16,18)的频率是2×0.10＝0.20；海鲜需求量在区间[18,20]的频率是2×0.05＝0.10.这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数为(11×60－140)×0.16＋(13×60－140)×0.24＋(15×30＋280)×0.30＋(17×30＋280)×0.20＋(19×30＋280)×0.10＝83.2＋153.6＋219＋158＋85＝698.8(元)．②由于当x＝14时，30×14＋280＝60×14－140＝700(元)，显然y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x－140，10≤x<14，,30x＋280，14≤x≤20))在区间[10,20]上单调递增，由y＝580＝60x－140，得x＝12，由y＝760＝30x＋280，得x＝16.日利润y在区间[580,760]内的概率即海鲜需求量x在区间[12,16]的频率为0.24＋0.30＝0.54，所以可估计日利润在区间[580,760]内的概率为0.54.规律方法(1)概率与统计的综合问题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算．(2)在求解该类问题时要注意两点：①明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率．②此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成．跟踪演练3(2022·哈尔滨模拟)医学中判断男生的体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去105所得差值即为该人的标准体重．比如身高175cm的人，其标准体重为175－105＝70(kg)，一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了．已知某班共有30名男生，从这30名男生中随机选取6名，其身高和体重的数据如表所示：编号123456身高(cm)165171160173178167体重(kg)606362707158(1)从编号为1,2,3,4,5的这5人中任选2人，求恰有1人体重超标的概率；(2)依据上述表格信息，用最小二乘法求出了体重y对身高x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.65x＋eq\o(a,\s\up6(^))，但在用回归方程预报其他同学的体重时，预报值与实际值吻合不好，需要对上述数据进行残差分析．按经验，对残差在区间(－3.4,3.4)之外的同学要重新采集数据．问上述随机抽取的编号为3,4,5,6的四人中，有哪几位同学要重新采集数据？解(1)由表可知：1号同学的标准体重为165－105＝60(kg)；2号同学的标准体重为171－105＝66(kg)；3号同学的标准体重为160－105＝55(kg)；4号同学的标准体重为173－105＝68(kg)；5号同学的标准体重为178－105＝73(kg)；故3号、4号同学体重超标．从5人中任选2人的所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，恰有1人体重超标包含的基本事件有(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,5)，(4,5)，共6个，恰有1人体重超标记为事件A，则P(A)＝0.6.(2)因为eq\x\to(x)＝eq\f(165＋171＋160＋173＋178＋167,6)＝169，eq\x\to(y)＝eq\f(60＋63＋62＋70＋71＋58,6)＝64，回归直线必过样本点的中心(169,64)，得64＝0.65×169＋eq\o(a,\s\up6(^))，即eq\o(a,\s\up6(^))＝－45.85，所以线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.65x－45.85，残差分析：eq\o(e,\s\up6(^))3＝62－0.65×160＋45.85＝3.85，eq\o(e,\s\up6(^))4＝70－0.65×173＋45.85＝3.4，eq\o(e,\s\up6(^))5＝71－0.65×178＋45.85＝1.15，eq\o(e,\s\up6(^))6＝58－0.65×167＋45.85＝－4.7，故3号、4号和6号同学需要重新采集数据．专题强化练一、选择题1．(2022·新余模拟)种植某种树苗，现采用随机模拟的方法估计种植这种树苗5棵恰好成活4棵的概率．先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定2至9的数字代表成活，0和1代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果．经随机模拟产生如下30组随机数：698016609777124229613151629747249455755865258741302322437445443443331527120217825855561017452419220183005949765617316624303440111770362441347423534781据此估计，该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为()A．0.37B．0.40C．0.34D．0.41答案B解析根据30组随机数可知，种植5棵恰好4棵成活的有66097,77124,22961,33315,21782,45241,56173,16624,30344,70362,44134,34781，共12个，所以该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率为eq\f(12,30)＝0.40.2．(2022·九江模拟)传说中古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点或用小石子表示数，他们将1,3,6,10,15，…，eq\f(nn＋1,2)，称为三角形数；将1,4,9,16,25，…，n2，称为正方形数．现从1到50的自然数中任取1个，取到的数既不是正方形数，也不是三角形数的概率为()A.eq\f(16,25)B.eq\f(17,25)C.eq\f(18,25)D.eq\f(19,25)答案C解析在1到50的自然数中，三角形数有1,3,6,10,15,21,28,36,45，正方形数有1,4,9,16,25,36,49，则1到50的自然数中，既不是正方形数，也不是三角形数的有50－14＝36(个)，故所求概率P＝eq\f(36,50)＝eq\f(18,25).3．有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案A解析由题设，到O1，O2的距离都大于1的部分为圆柱体去掉以底面为最大轴截面的两个半球体，所以到O1，O2的距离都大于1的部分的体积为V＝2π×12－eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)，故点P到点O1，O2的距离都大于1的概率P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).4.(2022·玉林模拟)有诗云：“芍药乘春宠，何曾羡牡丹．”芍药不仅观赏性强，且具有药用价值．某地打造了以芍药为主的花海大世界．其中一片花海是正方形，它的四个角的白色部分都是以正方形的顶点为圆心、正方形边长的一半为半径的圆弧与正方形的边所围成的(如图所示)．白色部分种植白芍，中间阴影部分种植红芍．倘若你置身此正方形花海之中，则恰好处在红芍中的概率是()A．1－eq\f(π,4)B.eq\f(π,4)－eq\f(1,2)C.eq\f(π,2)－1D.eq\f(π,4)答案A解析由题意，设正方形的边长为2，可得以正方形的顶点为圆心的圆的半径为r＝1，可得正方形的面积为S＝2×2＝4，阴影部分的面积为S1＝S－4×eq\f(1,4)πr2＝4－π，根据面积比的几何概型，可得恰好处在红芍中的概率是P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4).5．智慧城市是通过利用各种信息技术和创新概念，将城市的系统和服务打通、集成，以提升资源运用的效率，优化城市管理和服务，以及改善市民生活质量．智慧城市目前落地的领域主要集中在智慧交通、智慧政务、智慧小区、智慧景点以及部分智慧园区，是智能化社会建设的实验田．我国某省会城市欲从中选择其中的三个方面进行智慧城市建设试点，则智慧政务被选择的概率为()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)答案D解析设智慧交通、智慧政务、智慧小区、智慧景点以及部分智慧园区分别为A，B，C，D，E，则从中任选三项的选法有(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，E)，(A，C，D)，(A，C，E)，(A，D，E)，(B，C，D)，(B，C，E)，(B，D，E)，(C，D，E)，共10种不同的分配方法，其中包含智慧政务的选法有6种，所以智慧政务被选择的概率为eq\f(3,5).6．(2022·太原模拟)已知x的取值范围为[0,10]，如图输入一个数x，使得输出的x满足6<x≤8的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案B解析当x>7时，由6<x－1≤8，得7<x≤9，当x≤7时，由6<x＋1≤8，得5<x≤7，综上，输出的x的取值范围是5<x≤9，所以使输出的x满足6<x≤8的概率P＝eq\f(9－5,10－0)＝eq\f(2,5).7.如果一个矩形的长与宽的比值为eq\f(\r(5)＋1,2)，那么称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，E，F分别在边AD，BC上，且矩形CDEF也是黄金矩形．若在矩形ABCD内任取一点，则该点取自黄金矩形CDEF内的概率为()A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))2C.eq\f(\r(5)＋1,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)))2答案B解析由题意，不妨设AB＝1，则AD＝eq\f(\r(5)＋1,2)，又矩形CDEF也是黄金矩形，则eq\f(EF,ED)＝eq\f(\r(5)＋1,2)，又EF＝1，解得ED＝eq\f(\r(5)－1,2)，则矩形ABCD的面积为eq\f(\r(5)＋1,2)，矩形CDEF的面积为eq\f(\r(5)－1,2)，因此，若在矩形ABCD内任取一点，则该点取自黄金矩形CDEF内的概率为eq\f(\f(\r(5)－1,2),\f(\r(5)＋1,2))＝eq\f(\r(5)－1,\r(5)＋1)＝eq\f(\r(5)－12,4).8．(2022·泸州模拟)算盘是中国发明的一种手动操作计算辅助工具，迄今已有2600多年的历史．现有一种算盘(如图一)共两档，自右向左分别表示个位和十位．档中横以梁，梁上一珠，拨下记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1.现拨动算盘中两枚算珠，如图二则表示51，如图三则表示20.如果拨动图一算盘中的三枚算珠，表示的整数超过24的概率为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(7,12)D.eq\f(5,12)答案C解析拨动三枚算珠，有如下12种可能：若3枚算珠都在个位，则共有2种情况，分别是3和7；当十位选梁下1枚算珠，个位2枚算珠时，共有2种情况，分别是12和16；当十位选梁下2枚算珠，个位1枚算珠时，共有2种情况，分别是21和25；当十位选梁上1枚算珠，个位2枚算珠时，共有2种情况，分别是52和56；当十位选梁上1枚，梁下1枚算珠，个位1枚算珠时，共有2种情况，分别是61和65；当十位选3枚算珠时，共有2种情况，分别是30和70；综上所述，拨动三枚算珠，可能产生12种情况；其中满足整数超过24的情况有7种：25,52,56,61,65,30,70，故整数超过24的概率为eq\f(7,12).二、填空题9．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)的坐标，那么点P在椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1内部的概率是________．答案eq\f(1,18)解析连续掷两次骰子，构成的点的坐标有6×6＝36(个)，满足eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)<1的有(1,1)，(2,1)，共2个，所以概率为eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).10．一个正方体的外接球的表面积为48π，从这个正方体内任取一点，则该点取自正方体的内切球内的概率为________．答案eq\f(π,6)解析因为一个正方体的外接球的表面积为48π，所以这个正方体的棱长为4，而棱长为4的正方体的体积为43＝64，该正方体的内切球的半径为2，体积为eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32π,3)，所以所求概率P＝eq\f(\f(32π,3),64)＝eq\f(π,6).11.(2022·西安模拟)如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”．若直角三角形中较大锐角的正弦值为eq\f(2\r(5),5)，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为________．答案eq\f(1,5)(或0.2)解析设直角三角形中较大锐角为θ，则sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，所以cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(\r(5),5)，设大正方形边长为1，则直角三角形两直角边长分别为eq\f(2\r(5),5)，eq\f(\r(5),5).故小正方形边长为eq\f(2\r(5),5)－eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(5),5)，面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2＝eq\f(1,5).而大正方形的面积为1，故所求概率为eq\f(1,5).12．某高中学校统计了高一年级学生期中考试的数学成绩，将学生的成绩按照[50,75)，[75,100)，[100,125)，[125,150]分成4组，制成如图所示的频率分布直方图．现用分层抽样的方法从[75,100)，[125,150]这两组学生中选取5人，再从这5人中任选2人，则这2人的数学成绩不在同一组的概率为________．答案eq\f(3,5)解析由题意可知，数学成绩在[75,100)的学生的频率为0.012×25＝0.3，数学成绩在[125,150]的学生的频率为0．008×25＝0.2.用分层抽样的方法从[75,100)，[125,150]这两组学生中选取5人，则其中有3人的成绩在[75,100)，分别记为a1，a2，a3，有2人的成绩在[125,150]，分别记为b1，b2.从这5人中任选2人，所有的基本事件有a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2，共10种，其中这2人成绩不在同一组的事件有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，共6种，则所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).三、解答题13．如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日，共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为eq\f(6,13)