2024-2025学年上海曹杨二中高一（上）10月月考数学试题及答案

试题试题曹杨二中2024学年第一学期高一年级数学月考一、填空题（本大题共有12题，每题4分，共48分）1.用区间表示集合_________.2.已知，若，则_________.3.“或”的否定形式为______．4用列举法表示集合_________.5.若全集为的子集，且，，则_________.6.关于的不等式的解集是__________．7.已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________.8.已知，关于的方程的两个实数根为，且，则_________.9.设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是_____________10.已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是_________.11.已知对任意，记表示不大于最大整数，如，.设，若，则关于的不等式的解集为_________.12.已知，集合中元素恰有个整数，则的取值范围是_________.二、选择题（本大题共有4，每题4分，共16分）13.以下几个关系中正确的是（）.A. B. C. D.14.已知且，则下列不等式中一定成立的是（）.A. B. C. D.15.若为实数，则成立的一个充要条件为（）.A. B. C. D.16.已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）.命题①：若，则中至少有两个相等；命题②：若，则中至少有两个相等；A.①是真命题；②是真命题 B.①是真命题；②是假命题C.①是假命题；②是真命题 D.①是假命题；②是假命题三、解答题（本大题共有4题，共36分）17.已知，全集，集合，，若，求的值.18.已知集合.（1）设集合，求；（2）已知，设集合，若，求取值范围.19.已知，关于的不等式的解集为.（1）若，求的取值范围；（2）若存在，使得，求的取值范围.20.对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”.（1）对于，试问是否为“下位序列”，请说明理由；（2）设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由；（3）已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值.曹杨二中2024学年第一学期高一年级数学月考一、填空题（本大题共有12题，每题4分，共48分）1.用区间表示集合_________.【答案】【解析】【分析】利用区间的定义即可求解.【详解】集合的区间表示为.故答案为：.2.已知，若，则_________.【答案】【解析】【分析】根据集合元素互异性可求解.【详解】若，若，则，故不满足集合元素互异性，所以，解之可得或（舍），-1适合题意，故答案为：3.“或”的否定形式为______．【答案】“且”【解析】【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解.【详解】由题意“或”的否定形式为“且”.故答案为：“且”.4.用列举法表示集合_________.【答案】【解析】【分析】由题意可得或，解之即可求解.【详解】因为，所以或，解得或0或2或3，即.故答案为：5.若全集为的子集，且，，则_________.【答案】【解析】【分析】根据题意画出韦恩图即可得知.【详解】，，作出韦恩图，如图所示：则.故答案为：6.关于的不等式的解集是__________．【答案】【解析】【分析】移项通分转化为二次不等式求解.【详解】即,即,即所以或故答案为：7.已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________.【答案】【解析】【分析】由题意可得为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意，为方程的根，且，则，解得，，则不等式为，即，即，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：.8.已知，关于的方程的两个实数根为，且，则_________.【答案】【解析】【分析】根据韦达定理即可求解.【详解】由题意，，且，即，因为，则，解得，即，所以.故答案为：30.9.设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是_____________【答案】【解析】【分析】根据，建立不等式求解即可求解.【详解】解：由题意，，则或，解得或.故答案为：10.已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】由题意可得小于等于的最大值即可.【详解】因为存在，使得不等式成立，所以在上有解，所以小于等于的最大值，令，，则，所以，即的取值范围是.故答案为：11.已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，.设，若，则关于的不等式的解集为_________.【答案】【解析】【分析】分，，，四种情况讨论求解不等式即可.【详解】当时，，所以，等价于，解得，所以;当时，，，所以，等价于，解得，所以;当时，，，所以，等价于，解得，所以;当时，，所以，等价于，解得，所以.综上所述，不等式的解集为.故答案为:.12.已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可.【详解】因为集合中的元素恰有两个整数，所以，解得，当时，集合中两个整数分别为、，则，解得；当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解.二、选择题（本大题共有4，每题4分，共16分）13.以下几个关系中正确的是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对于ABC，根据空集的定义分析判断，对于D，举例判断.【详解】对于A，因为，所以A错误，对于B，因为方程无实数解，所以，则，所以B错误，对于C，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，所以C正确，对于D，若，则，此时，所以D错误，故选：C14.已知且，则下列不等式中一定成立的是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】举反例可得ABC错误；由不等式的性质可得D正确；【详解】令，则，故A错误；令，则，故B错误；令，则，故C错误；因为，，所以，故D正确；故选：D.15.若为实数，则成立的一个充要条件为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由作差法结合分式不等式解法求解即可；【详解】成立的一个充要条件是，故选：C.16.已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）.命题①：若，则中至少有两个相等；命题②：若，则中至少有两个相等；A.①是真命题；②是真命题 B.①是真命题；②是假命题C.①是假命题；②是真命题 D.①是假命题；②是假命题【答案】B【解析】【分析】分别研究两个命题的真假性即可得到答案.【详解】根据条件，显然都是关于原点对称的集合，所以对，，有.同时，对，只要包含，则对，有，反之亦然，故.这表明，只要中有任何一个包含，中就至少有两个相等与此同时，对于，设满足，若，，则，所以，据的对称性有，同理，故，同理.同时，设，则，所以.故，所以，同理.有了这些准备工作，下面分别研究两个命题①和②：对于①，如果中的每个数都是偶数，则可以不断对每个元素除以（这个过程不能无限进行），直至中不全为偶数.所以不妨设中至少有一个包含奇数，不妨设奇数，此时任取.根据前面已经证明的结论，可知对任意整数，有，.再结合前面证明的结论，可知对任意整数，有，.从而对任意整数，据，，有.这表明对任意整数，只要不全是偶数，就有.由于是奇数，故不全是偶数，从而.根据前面证明的结论，可知中至少有两个相等，故①正确；对于②，设，，.则满足全部条件，但两两不相等，故②错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对已有条件的适当转化。三、解答题（本大题共有4题，共36分）17.已知，全集，集合，，若，求的值.【答案】【解析】【分析】首先得到计算出，然后再根据补集的概念得出计算出.【详解】，所以且，所以，把代入到集合中，则集合，所以，即，所以，把代入集合，则集合，符合，所以符合题意，综上，，.18.已知集合.（1）设集合，求；（2）已知，设集合，若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解法和二次函数的性质求出集合，再求交集即可；（2）分和时，由列不等式（组）求解即可；小问1详解】，解得，所以，由二次函数的性质可得，所以集合，所以.【小问2详解】因为，所以，所以当时，，即，当时，，解得，所以的取值范围为.19.已知，关于的不等式的解集为.（1）若，求的取值范围；（2）若存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可；（2）由题意可得，且方程有两个不相等的负根，然后根据根与系数的关系列不等式组可求得结果.【小问1详解】当时，或，当时，恒成立，当时，不恒成立，舍去，当时，，得或，综上，的取值范围为，【小问2详解】根据不等式的解集形式可知：或，不等式解集的两个端点就是对应方程的根，即，有两个不相等的负根，所以，即，解得，则的取值范围为.20.对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”.（1）对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由；（2）设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由；（3）已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值.【答案】（1）不是，理由见解析（2），理由见解析（3）4045【解析】【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可；（2）根据新定义得到，再利用不等式的性质利用作差法判断即可；（3）