2024-2025学年上海复旦大学附属复兴中学高一（上）期中数学试题及答案

试题试题2024-2025学年上海市复旦大学附属复兴中学高一年级上学期期中考试试卷2024.11一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分，1已知集合，则__________.2.已知关于的方程的两实根分别为，则__________.3.已知，，则的取值范围为________．4.已知，，则__________.（结果用表示）5.关于的不等式的解集为__________.6.某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为__________.7.若正实数满足，则的最小值为__________.8.关于的不等式的解集为__________.9.已知幂函数图象过点，则的解集为______.10.已知，若对任意的和至少有一个的值非负，则实数的取值范围是__________.11.已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________.12.定义：为实数中较小实数.已知，其中均为正实数，则的最大值是__________.二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设，则“”是“”的（）条件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分又非必要14.已知，则下列命题为假命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则15.十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（）A.对任意正整数，关于的方程都有正整数解B.对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解C.存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解D.存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解16.设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，，，A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17已知集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.18.已知指数函数，满足.（1）求函数的解析式；（2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围.19.现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好（1）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由.20.设函数.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；（3）解关于的不等式：.21.设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭.（1）判断集合否对于乘法封闭，并说明理由；（2）证明：集合对于乘法封闭；（3）求所有对于乘法封闭的三元素集.2024-2025学年上海市复旦大学附属复兴中学高一年级上学期期中考试试卷2024.11一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分，1.已知集合，则__________.【答案】【解析】【分析】由集合交集可得答案.【详解】由交集定义，结合，则.故答案为：2.已知关于的方程的两实根分别为，则__________.【答案】【解析】【分析】根据韦达定理的应用即可求解.【详解】由题意知，则.故答案为：3.已知，，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】利用不等式的性质求解即可.【详解】因为，所以又，两式相加可得故答案为：4.已知，，则__________.（结果用表示）【答案】【解析】【详解】因为，，所以.故答案为：.5.关于的不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】分式不等式转化为一元二次不等式计算即可.【详解】.故不等式的解集为.故答案为：.6.某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为__________.【答案】41【解析】【分析】由题可得只有数学不低于80分，只有物理不低于80分的人数，即可得答案.【详解】由题，只有数学不低于80分的人数为，只有物理不低于80分的人数为，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为.故答案为：7.若正实数满足，则的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【详解】由题意可得，，当且仅当时，取到最小值，所以的最小值为，故答案为：8.关于的不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】先根据指数函数的性质，把原不等式转化成，再通过分类讨论去掉绝对值符号，从而求得不等式的解集．【详解】，当时，，所以此时不等式无解；当时，；当时，，所以此时不等式无解.综上可知，原不等式的解集为.故答案为：9.已知幂函数的图象过点，则的解集为______.【答案】【解析】【分析】先由幂函数定义结合它图象上的点把表达式求出来，然后根据单调性、偶函数性质解表达式即可.【详解】依题意，设，则，解得，于是得，显然是偶函数，且在上单调递增，而，即有，解得或，所以的解集为.故答案为：.10.已知，若对任意的和至少有一个的值非负，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】先求出和可以均为负数时，的取值范围，再求其补集，可得问题答案.【详解】由得：或.此时和可以均为负数.利用补集的思想，所以和至少有一个的值非负，故答案为：11.已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________.【答案】【解析】【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可.【详解】由题意可知：方程有且仅有一解，等价于有一个不等于3的实数解，1.当时，解，满足题意；2.当时，只有一解时，则，解得，若，则，解得，符合题意；3.当时，且有两解但3是方程的解，故，解得；综上所述，实数取值集合为.故答案为：.12.定义：为实数中较小实数.已知，其中均为正实数，则的最大值是__________.【答案】##【解析】【分析】利用不等式放缩消元，可得，这样就化为同变量的取值分析，从而先研究出，再分析出最大值，即可.【详解】均为正实数，，当，即时，，即，，当时，取到最大值；当时，；综上所述，的最大值为.二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设，则“”是“”的（）条件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件.【详解】若，则，解得，显然是的真子集，所以“”是“”必要不充分条件.故选：B.14.已知，则下列命题为假命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质判断A，应用幂函数及指数函数的单调性判断C，D，应用特殊值法判断B.【详解】对于A，因为，所以，故正确；对于B，若，则，故不正确；对于C，因为在上单调递增，所以，可得，故正确；对于D，因为，所以，又因为在上为单调递减函数，所以，故正确；故选：B.15.十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（）A.对任意正整数，关于的方程都有正整数解B.对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解C.存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解D.存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得正确的选项.【详解】命题为全称命题，则命题的否定为：存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解，故选：D.16.设，是有限集，定义，其中表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集，，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集，，，，A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立【答案】A【解析】【详解】命题①显然正确，通过如下文氏图亦可知表示的区域不大于的区域，故命题②也正确，故选A.考点：集合的性质三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据交集的定义即可求得结果.（2）由，得到,利用子集的定义即可得到结果.【小问1详解】小问2详解】18.已知指数函数，满足.（1）求函数的解析式；（2）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根题意设且，解出即可；（2）换元令，结合指数函数值域转化为一元二次方程有两个不等的正根求解即可.【小问1详解】设且，由，可得，又，，.【小问2详解】由（1）知，又方程有两个不同的实数解，有两个不同的实数解，设，有两个不同的正实数解，，解得，实数的取值范围为.19.现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好（1）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由.【答案】（1）为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米.（2）变好了，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意列不等式求的最小值并求此时的值；（2）设列不等式组化简求解；设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解.【小问1详解】设矩形的另一边长为，由三角形相似得，且，所以，又矩形面积设地板面积为，解不等式组，解得，故当时，窗户面积最小，此时由（1）可得或，故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米.【小问2详解】设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则，因，所以.又，所以，因此，即，所以窗户和地板同时增加相等似面积，采光条件变好了.20.设函数.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；（3）解关于的不等式：.【答案】（1）2（2）：（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值；（2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集；（3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可.【小问1详解】由题意知，是方程的两个根，则，则.【小问2详解】，则对于实数时恒成立，则，即，解得，∴则的取值范围为.【小问3详解】依题意，等价丁，当时，不等式可化为，解集为.当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为.当时，不等式化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为或；③当时，，不等式的解集为或；综上，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集；当时，解集为.21.设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭.（1）判断集合是否对于乘法封闭，并说明理由；（2）证明：集合对于乘法封闭；（3）求所有对于乘法封闭的三元素集.【答案】（1）是，不是；理由见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据集合乘法封闭的定义可判断两个集合是否乘法封闭；（2）根据集合乘法封闭的定义可证对于乘法封闭；（3）对于三元素集，不失一般性，不妨设，根据乘法封闭的性质可判断只能取中的两个不同数，分类讨论后可求所有不同的三元素集.【小问1详解】对于集合，当时，，所以集合对于乘法封闭；对于集合，其元素均为整数，满足条件①，又因为，满