基于灰色模型对降水量的分析与预测

.3研究内容和方法研究内容通过《中国统计年鉴》收集到昆明市2000-2020年年均降水量数据，利用MATLAB和EXCEL对数据预处理和计算。将处理好的数据进行灰色关联度分析，建立灰色关联度模型，分析平均气温、日照时数、平均相对湿度对降水量的关联度强弱的影响。根据昆明市降水量2000年-2020年降水量历史数据建立灰色GM（1.1）模型，得到预测模型。对昆明市2021年及2022年降水量进行预测。并进行误差分析和模型改进。最后对模型总结评价，得出昆明市近些年降水量的变化规律，为相关部门提供科学依据，并提出自己看法。1.2.2主要研究方法文献研究法为对昆明市降水量特点进行深入了解，我通过查阅相关学者的文献资料，进一步对昆明降水量有进一步全面地、正确地了解掌握所要研究问题的方法。数量研究法我通过查阅中国统计年鉴，得到昆明市2000-2020年降水量数据，对数据进行分析处理，揭示数据之间的变化规律和发展趋势，从而合理的建立灰色GM（1.1）模型。观察法借助MATLAB和EXCEL工具研究数据变化中，对数据建模过程中有目的性和计划性、系统性。正确分析模型的优缺点，合理的对灰色GM（1.1）模型进行改进处理，减小误差。第2章昆明市降水量影响因素分析2.1灰色关联度分析理论灰色系统理论，作为一种系统性的关联度分析方法，其核心在于通过比较不同因素之间的发展态势相似性来定量评估它们之间的关联程度。这种方法将关联度视为事物相互之间相关性大小的量化指标，它能够明确地反映出各个因素之间变化的紧密程度。其主要思想是，在比较多个序列集合时，那些与参考序列更为接近的曲线集合，其关联度就被认为更高。换句话说，序列曲线与参考序列的相似度越高，我们就可以认为这些序列之间的关联度越强。这种关联度分析方法为我们理解和把握因素间的相互关系提供了有力的工具，使得我们能够在复杂系统中进行有效的分析和预测。2.2灰色关联度分析计算根据《中国统计年鉴》，选择2015年—2020年昆明市年降水量（x）序列作为参考序列，对降水量影响因素主要有平均气温（y1）、日照时数（y2）、平均相对湿度（y3）等因子作为比较序列，具体如表2-1。表2-12015年—2020年昆明市降水量及其影响因子数据Table2-1PrecipitationandItsInfluencingFactorsinKunmingCityfrom2015to2020年份降水量/mm平均气温/℃日照时数/hours平均相对湿度/%20151190.7016.22388.97020161150.2015.82128.47320171186.4015.72349.07320181085.2015.72266.8712019840.2016.72393.36620201057.4016.53281.369第一步：确定分析系列（1）参考序列(母序列)：X=X(i)|i=1,2,3,⋯,n(2-1)（2）比较序列(子序列)：Ys第二步：序列的无量纲化处理因为系统中各组序列中的量纲各有差异，不方便于各组序列之间进行比较，或者在比较的时候不能得到正确的结论。所以在研究分析灰色关联度分析方法的时候，需要对数据进行无量纲化处理，一般主要以以下两种方法为主。（1）初值化处理： xi(k)=x均值化处理： xi(k)=为了消除昆明市年降水量（x）、平均气温（y1）、日照时数（y2）、平均相对湿度（y3）因子之间量纲的影响对表 xi' yij‘其中x，sx为降水量x的均值，比标准差；yj和syj为比较序列xi的均值和标准差。i=1,2,3;j=1,2,3,4,5,6。在确定好母序列与子序列之后利用利用初值处理（公式（2-3））得到昆明市降水量及影响因子标准值，表2-22015年—2020年昆明市降水量及影响因子标准值Table2-2StandardValuesofPrecipitationandItsInfluencingFactorsinKunmingCityfrom2015to2020年份降水量/mm平均气温/℃日照时数/hours平均相对湿度/%2015111120160.965986390.975308640.8909541.0428571420170.996388680.96913580.983297751.0428571420180.911396660.96913580.948888611.0142857120190.705635341.03086421.001841850.9428571420200.888049051.018518521.373561050.98571429第三步：计算关联度系数对于一个参考数据列x0，比较数列为xi， ξi(k)=ξi(k)称为xi对x0关于k指标的关联序数，ζ为分辨系数，ζ∈[0,1]若记：∆min=mini∆max=maxi则∆min与∆max分别为x0与xi的最小绝对值差与最大绝对值差， ξi=接下来计算关联度系数，利用公式（公式（2-7））和绝对值差公式（（2-8））计算出昆明市降水量及其影响因子关联系数，如表2-3所示。表2-3昆明市降水量及其影响因子识别关联系数计算表Table2-3CalculationofcorrelationcoefficientsforidentifyingprecipitationanditsinfluencingfactorsinKunmingCity序号GGG100020.009322250.07503240.0768707530.027252880.013090930.0464684640.057739150.037491950.1028890650.325228860.296206510.237221860.130469470.485512010.09766524第四步：计算灰色加权关联度，评价分析第i个评价对象的绝对关联度为： rj=1r1,r2,⋯,r最后利用公式（公式（2-9））分别对平均气温、日照时数、平均相对湿度影响因子计算出关联度大小，分别比较平均气温、日照时数、平均相对湿度关联度对降水量影响的紧密程度。具体结果如表2-4所示。表2-4昆明市降水量影响因子识别关联度计算表Table2-4CalculationofCorrelationDegreeforIdentificationofFactorsInfluencingPrecipitationinKunmingCity序号rrr关联度0.791294070.727115070.75333831排名1322.3灰色关联度分析小结从表4可以看，平均气温，日照时数，平均相对湿度对降水量的影响紧密程度排序为r1>r3>r2。其中昆明市平均气温对降水量的影响程度最大，其关联度达到了0.79129407。其次是平均相对湿度对降水量的影响，关联度为0.75333831。影响最小的是日照时数关联度为0.72711507。但是，从灰色关联度的数值上来看，平均气温、日照时数、平均相对湿度对降水量的影响程度都相差不大。由此可见，昆明市降水量多少与某一个变量因素并没有太紧密的联系，而是天气要素中多个因素影响作用第3章模型建立3.1预测模型的选取在数据选取过程中，根据《中国统计年鉴》昆明市年均降水量有关记载，避免出现数据缺失和数据的真实性。此外，因为灰色模型对数据量的要求并不高，所以只选取近20年数据，选取昆明市2000年—2020年年均降水量作为研究对象，以确保数据准确、可靠。灰色模型在处理少量数据的情况下表现出色，尤其适用于那些数据量不大，但具有一定的趋势性和规律性的系统。昆明市降水量的数据选取中，我们只使用了近20年的数据，数据量相对较小。此外，降水量数据虽然具有一定的随机性，但也表现出一定的规律性，如汛期的降水量明显多于非汛期。灰色模型能够捕捉到这种趋势性和规律性，对未来的降水量进行预测。因此，选择灰色模型作为预测工具是合适的。3.2灰色GM（1.1）预测模型3.2.1灰色理论思想在系统理论中，白色系统、黑色系统和灰色系统代表了不同程度的信息已知性。白色系统完全透明，所有内部运作都知道；黑色系统完全未知，信息可循；而灰色系统则介于两者之间，部分信息已知，部分信息未知或不确定。灰色预测针对的是这种部分透明的系统，它依赖于识别和利用数据中的潜在规律性来预测未来的行为特征。即使数据表面上看似随机，灰色预测也能够揭示其下的模式，为系统的未来状态提供预测。3.2.2灰色GM（1.1）的原理灰色系统理论是一种专门针对处理含有不确定性和少量样本数据的系统分析方法。在此理论框架下，灰色预测技术应运而生，它是一种基于灰色模型（GM模型）的预测方法，旨在对系统的未来状态进行预测。灰色模型通过一系列的灰色生成（AGO）操作和灰色关联分析等手段，对原始数据进行处理，将其转换成具有较强规律性的数据序列。这一过程有助于揭示系统的发展趋势和内在机制。灰色预测的关键步骤包括：首先，对原始数据进行灰色生成处理，如累加生成（1-AGO），以减少数据的随机性，使其内在的规律性得以显现。接着，选择合适的灰色模型来构建预测模型，这些模型可以是GM(1,1)、GM(2,1)等，它们能够有效地捕捉数据的趋势和模式。然后，通过最小二乘法等统计方法对模型的参数进行估计，以提高模型的预测精度。之后，对建立的模型进行验证，包括残差分析和光滑性检验等，以确保模型的有效性和可靠性。最后，利用验证后的模型对系统未来的状态进行预测。灰色预测特别适用于那些数据量可能较小，但具有一定的趋势性和规律性的系统，所以昆明市降水量数据的预测将选取灰色模型。灰色模型能够有效地捕捉这些特征，为预测未来的降水量提供了一种有效的工具。通过灰色预测，可以在水资源管理、城市规划和农业等领域做出更加准确和科学的决策。3.3灰色GM（1.1）建模步骤3.3.1数据的处理与检验首先，为了保证数据的可行性，需要对昆明市降水量数据列做必要的检验处理。即已知数据为X(0)=θ=（e−2如果所有数据的级比λk都落在可容覆盖内，则数列x(0)可以作为模型GM（1，1）的数据进行灰色预测。如果有数据没有在区间中，需要对数列x(0)做必要的变换处理，常用的方法为开方，平方，或作平移变化，使其落入可容覆盖内。 y(0)(k)=则使数列y(0) λy(k)=3.3.2模型建立：记原始降水量序列为： X(0)首先对X(0)进行一次累加生成一次累加序列 X(1其中： x(1)(k)=令Z(1)为X(1) Z（1）=（其中： z(1)(k=1/2(建立GM（1，1）的灰色微分方程模型为： x(0)(k)+a其中，a为发展序数，b为灰色作用量。3.3.3模型求解：设a为待估参数向量，即a=(a,b) a=（a,b）其中， B=− Yn=再建立灰色微分方程的白化方程： dx(1)白化方程的解为： x(k+1)=[x3.3.4累减还原对数据进行累加得到x(1)(k+1)，其次对该数据进行累减还原，以此得到降水量的预测值。 x（1）（k+1）=x即为预测方程。3.3.5检验预测值（1）残差检验：计算相对残差通过对预测数据与真实数据之间的相对误差进行比较，可以通过相对残差检验获得一个更为全面且直观的评估结果。这一方法不仅对每个数据点进行了详尽的比较，还使我们能够更好地理解模型在各种条件下的表现，这一检验方法具有高度的可信度。通过这种方法，可以更深入地了解模型的预测能力，从而更好地优化模型，提高其在实际应用中的表现。 ε（k）=x(0)如果对所有的｜ε（k）｜<10%，则认为达到较高的要求；否则，若对所有的｜ε（k）｜<20%，则认为达到一般要求。（2）级比偏差值检验： ρ（k）=1−1−0.5a如果对所有的｜ρ（k）｜<10%,则认为达到较高的要求；否则，若对所有的｜ρ后验差检验是一种通过分析预测模型的残差概率分布来验证其预测性能的重要方法。这种方法通过细致地考察残差分布，从而对模型的有效性和精度进行全面的评估原始序列x(0)(k) s12其中 x=1残差序列z(k)的方差为 s22其中 z=1计算均方法差比值C为： C=s计算小误差概率p为： p=ρ|ε(k)−ε<0.6745s根据后验差检验得出的P值、C值以及相对误差大小，可以对预测模型的精度等级进行检验。这个检验等级参照以下表格，总共分为优秀、良好、合格、不及格四个等级。这一检验方法提供了一个全面且客观的评估标准，有助于进一步优化模型，提高其在实际应用中的性能。表3-1灰色预测精度等级Table3-1Greypredictionaccuracylevels预测精度等级PC优秀>0.95≦0.35良好>0.80≦0.50合格>0.70≦0.65不合格≦0.70>0.653.4灰色预测模型流程图灰色GM（1.1）预测模型流程图如下（3-1）：灰色预测模型流程图3-1Greypredictionmodelflowchart3-1第4章昆明市降水量预测分析4.1降水量GM（1.1）模型预测由前文可知，降水量的影响因素有很多，主要是平均气温，日照时数，平均相对湿度，分别是0.79129407，0.72711507，0.75333831，对降水量的影响相差不大，其中对降水量的一部分因素可知，还有一些未知的。依据灰色模型的建立原理及步骤，对昆明市2000年-2020年的降水量数据，建立灰色GM（1.1）模型，对昆明市2021-2023年的降水量做预测。4.1.1原始数据的选取无法获得足够数量的数据进行传统的统计分析，而灰色模型能够处理缺乏数据的情况。由于昆明市的降水量数据可能存在缺失或不完整的情况，灰色模型能够更有效地模拟和预测这种不完全数据。昆明市的降水量数据可能受到多种因素的影响，包括气候变化、地形地貌等，导致数据质量有所不同。灰色模型能够处理不同质量的数据，并且对数据进行有效的平滑和调整，使模型更具可靠性。降水量数据通常受多种因素影响，其变化规律可能存在非线性特征。灰色模型相对于传统的线性模型更适合处理非线性数据，能够更好地捕捉数据的规律和趋势。综上所述，昆明市的降水量数据由于数据不充分性、数据质量差异性和非线性特征等因素，适合应用灰色模型进行建模和预测。所以从《中国统计年鉴》选取昆明市2000-2020年的降水量数据。具体数据如表4-1所示。表4-12000年—2020年昆明市降水量数据Table4-1PrecipitationDataofKunmingCityfrom2000to2020年份降水量2000886.0020011173.002002949.002003832.4020041093.702005976.002006993.602007932.702008982.202009565.802010869.102011659.002012802.102013804.7020141078.3020151190.7020161150.2020171186.4020181085.202019840.2020201057.40原始数据为2000—2020年昆明市降水量数据：X(0)4.1.2原始数据的检验首先，需要对昆明市降水量数据进行级比检验，利用公式（公式3-1），对X(0)按级比检验公式进行变换。级比检验未通过，接着利用公式（3-2），对原始数据作开三次开平方处理，得到X(0)={2.33576537，2.41914696，2.35590773，2.31761615，2.39807232，2.36418375，2.36947127，2.35081118，2.36605585，2.20842608，2.33014914，2.2509232，2.393825289，2.42368008，2.41321864，2.42258427，2.3957347，2.32031974，2（e−2n+1,中。具体如表4-2所示。表4-2昆明市降水量级比值及开三次方后的降水量和级比值Table4-2PrecipitationmagnituderatioandcubicrootprecipitationandmagnituderatioinKunmingCity年份降水量级比值开三次平方后的降水量开三次平方后的级比值2000886.002.3357653720011173.001.323927772.419146961.035697762002949.000.809036662.355907730.973858872003832.400.877133832.317616150.9837465720041093.701.313911582.398072321.034715052005976.000.892382652.364183750.985868412006993.601.018032792.369471271.002236512007932.700.938707732.350811180.992124792008982.201.053071732.366055851.006484852009565.800.576053762.208426080.933378682010869.101.536055142.330149141.055117562011659.000.758255672.25092320.965999632012802.101.217147192.306898911.024867892013804.701.003241492.307832311.0004046120141078.301.340002492.393825291.0372613620151190.701.104238152.423680081.0124715820161150.200.965986392.413218640.9956836520171186.401.031472792.422584271.0038809720181085.200.965986392.39573470.988916972019840.200.774235162.320319740.9685211620201057.401.258509882.387975761.029158064.1.3利用预处理的数据建立模型通过级比检验的初始序列，利用公式（公式（3-4）），得到：X(0)接着利用公式（3-5）对X(0)序列作一次累加，得到X(根据X(1)，再利用公式（公式Z（1）最后利用公式（3-9），建立灰色微分方程：a=（a,b）T=(Ba为发展系数，u为灰色作用量。4.1.4模型求解首先利用公式（（3-11））求解B矩阵，再利用公式（公式（3-10））求解参数：a=（a,b）则a=−0.0004984,u=2.34225998,其中，a为发展系数，u为灰色作用量。最后利用公式（公式（3-14））得到白化方程：x=（2根据灰色模型求解得到白化方程，因为对昆明市降水量原始数据作了开三次方处理，在得到昆明市降水量预测值，需要对预测值作三次平方还原。得到结果如图4-3所示。表4-3降水量预测及误差分析Table4-3PrecipitationPredictionandErrorAnalysis年份降水量（mm）降水量预测值（mm）相对误差绝对误差20011173.0011730.00%0.002002949.00911.4532140.50%0.012003832.40915.0942711.19%-0.0320041093.70918.7498732.16%0.052005976.00922.4200780.70%0.022006993.60926.1049460.88%0.022007932.70929.8045330.04%0.002008982.20933.51890.63%0.012009565.80937.2481046.51%-0.142010869.10940.9922061.00%-0.022011659.00944.7512654.61%-0.102012802.10948.5253412.12%-0.052013804.70952.3144932.13%-0.0520141078.30956.1187821.49%0.0420151190.70959.9382682.66%0.0620161150.20963.7730122.19%0.0520171186.40967.6230752.52%0.0620181085.20971.4885191.37%0.032019840.20975.3694041.88%-0.0420201057.40979.2657920.95%0.0220211020.70983.1777450.47%0.0120221033.20987.1053260.57%0.01图4-1昆明市降水量真实值与预测值拟合图Figure4-1+FittingDiagramofActualandPredictedPrecipitationValuesinKunmingCity由拟合图可以直观的看出昆明市降水量真实值与预测值的拟合的效果，总体趋势呈现下降，从2000年到2020年近20年来，降水量呈现减少，对相关部门具有一定的决策支持。4.2模型检验与评价模型检验是确定灰色预测模型的合理性，必须进行严格的检验。通过利用MATLAB对实际数据处理后得到平均方差比值C=0.5328，小误差概率P=0.9858，由表3-1灰色预测精度等级可知，灰色GM（1.1）预测模型对降水量的预测精度良好，可以用灰色GM（1.1）预测模型预测昆明市降水量的预测。灰色GM（1.1）预测模型在不考虑平均气温，日照时数，平均相对湿度等因素的影响下，预测效果还是比较好的。从预测结果可知，昆明市近20年来看，预测数据降水量大体趋势呈现下降的趋势，对相关的部门有该模型对相关部门的实际应用价值，有助于引导相关部门更好地利用该模型进行决策或规划。4.3灰色预测模型小结通过最新的数据，我们获得了昆明市在2021年和2022年的降水量预测值，分别为983.177745毫米和987.105326毫米。与此同时，我们查阅了《中国统计年鉴》以获取这两年的实际降水量，分别为1057.40毫米和1020.70毫米。根据这些数据，我们可以计算出灰色GM(1,1)模型在这两年降水量预测中的相对误差分别为0.47%和0.57%。这些相对较小的误差值表明，灰色GM(,1)模型在预测昆明市降水量方面具有较高的可靠性。考虑到气象数据的复杂性和不确定性，灰色GM(1,1)模型能够提供较为准确的预测值，并且其预测趋势实际观测数据相符。这进一步证实了灰色GM(1,1)模型在降水量预测方面的有效性。因此，可以得出结论，灰色GM(1,1)模型是一个适用于昆明市降水量预测的有效工具。它能够提供较为准确的预测值，并且反映出降水量的变化趋势，为水资源管理、城市规划和社会经济发展提供科学依据。第5章结论与展望5.1本文主要研究成果本文以数学领域的理论思想为基础，对昆明市降水量预测进行了如下研究：通过查阅《中国统计年鉴》收集到了昆明市降水量的数据，以及有关灰色关联度分析和灰色GM（1.1）预测模型的相关文献，将平均气温，日照时数，平均相对湿度三个主要影响因素对降水量的影响作灰色关联度分析，得出平均气温，日照时数，平均相对湿度对降水量影响的紧密程度都相差不大。选取了2000年-2020年昆明市降水量历史数据，在已经进行了灰色关联度分析的基础上，运用GM（1.1）模型对2021年-2022年对昆明市降水量进行预测。模型相对误差为0.47%，0.57%，由相对误差可知，灰色GM（1.1）模型对昆明市降水量预测效果还是比较好的。且降水量的影响因素较多，要结合客观情况对降水量进行预测分析。再利用灰色GM（1.1）模型对降水量预测结果的基础上，对灰色GM（1.1）预测模型进行残差修正，建立灰色残差GM（1.1）改进模型，使模型的预测更加准确。5.2不足与展望基于灰色模型对昆明市降水量分析与预测的研究，虽然取得了一定的成果，但在实践应用中仍存在一些不足之处，同时也具有进一步发展的潜力和展望。不足之处：灰色模型基于特定的数学假设，对数据的趋势和特征有一定限制，可能不能完全刻画复杂的降水量变化模式。灰色模型在长期预测方面可能存在局限性，长期气候变化及其他外部因素的影响可能使预测结果不够准确。展望及进一步研究方向：结合灰色模型与其他预测方法，如深度学习、时间序列分析等，提高预测模型的准确性和稳健性。加强对降水量影响因素的综合研究，结合气候变化、地形地貌等因素，构建更为全面的预测模型。应用数据同化技术，综合利用多源数据进行模型校正和优化，提高预测结果的可靠性。深入分析降水量的长期变化趋势，探讨气候变化对降水模式的影响，为未来气候趋势进行更准确的预测。综上所述，通过不断改进和深入研究，结合多种方法和技术手段，可以提高灰色模型在昆明市降水量预测和分析中的准确性和适用性，为城市水资源管理和气候变化应对提供更为科学和可靠的支持。参考文献张志莉.优化的灰色-马尔可夫模型在呼伦贝尔市年降水量预测中的应用.湖北农业科学2021.16.012.赵显冲.基于改进灰色动态预测模型的太子河流域降水量