考点9-2 基本不等式及其应用文理-高考数学一轮复习小题多维练（全国）（解析版）

考点9-2基本不等式及其应用1．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．【点睛】2．（2022·全国·高三专题练习）已知都是正数，且，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，令，即可求解.【详解】由题意知，，，则，当且仅当时，取最小值.故选：C．3．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的为（

）A．B．函数的最小值为4C．若则最大值为1D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8【答案】C【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；对于选项,，令，即在上单调递增，则最小值为,则不正确；对于选项,，则正确；对于选项,当时，，当且仅当时，即，等号成立，则不正确.故选：.4.（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.5.（2023·全国·高三专题练习）若实数，满足，且，则的最大值为______.【答案】##0.125【分析】令，对不等式变形得到，利用基本不等式进行求解.【详解】令，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为故答案为：6.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为为正实数且，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立；所以，当且仅当时等号成立；故选：D7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.【详解】因为，且为正实数所以，当且仅当即时等号成立.所以.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）设，则的最小值等于（）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】根据题意得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，可得且，所以，当且仅当时，即等号成立，所以的最小值为.故选：B.9.（2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足1，则的最小值为__．【答案】16【分析】由条件可得，，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件.【详解】解：因为正数a，b满足1，则有1，则有，1，即有，则有16，当且仅当即有b＝2a，又1，即有a，b＝3，取得最小值，且为16．故答案为：16．10．（2023·全国·高三专题练习）若正数a，b满足，则的最小值是__．【答案】【分析】设，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】设，则，可得，所以，当且仅当时，等号成立，取得最小值．故答案为：．11.（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决【详解】由，可得，则，则，令，则，又在单调递增，在单调递减，，则，即故选：C12．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）正实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据题干中等式变形，得到，对变形后使用基本不等式求解最小值.【详解】变形为，则，即，令，（），则恒成立，则，（）单调递增，又，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2故选：A13．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的范围.【详解】由，则当时，得，两式相减得，变形可得：，又，，所以，，∴数列是以为首项、为公比的等比数列，故，所以，所以，当且仅当时等号成立，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：构造等比数列求的通项公式，即可得通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求的最值，即可求参数范围.14．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数满足，，则的最小值为__________.【答案】##【分析】把给定条件两边平方，代入结论构造基本不等式，再分析计算，并求出最小值作答.【详解】由，得，，则，，当且仅当时取“=”，所以当时，的最小值为.故答案为：【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”