2025年统计学专业期末考试：抽样调查方法与统计推断综合实战案例分析试题型

2025年统计学专业期末考试：抽样调查方法与统计推断综合实战案例分析试题型考试时间：______分钟总分：______分姓名：______试题一假设某市卫生部门希望了解该市居民近期（例如过去一个月）使用公共健身设施的情况，并希望根据调查结果估计全市居民使用公共健身设施的比率及其置信区间。研究者计划进行一项抽样调查，请你参与其中并完成以下分析：1.请简要说明在进行此项调查时，可以采用哪些抽样方法？并针对每种方法，简述其优缺点及在该场景下应用时的考虑因素。2.假设研究者决定采用简单随机抽样方法，从全市所有家庭中随机抽取400户进行调查。调查结果显示，有150户家庭在过去一个月内至少使用过一次公共健身设施。请计算样本中使用公共健身设施的家庭比率及其抽样标准误。3.假定研究者希望以95%的置信水平估计全市居民使用公共健身设施的家庭比率，并要求估计的抽样误差不超过0.05（即置信区间宽度不超过10%）。若使用简单随机抽样，在不考虑无回答率的情况下，研究者至少需要抽取多少家庭作为样本？4.现在研究者考虑到该市不同区域的居民收入水平和健身习惯可能存在差异，因此决定采用分层随机抽样方法。研究者将全市家庭按照所在区域（例如：市中心区、近郊区、远郊区）划分为三个层，并根据各层家庭数占全市总家庭数的比例进行比例分配抽样。假设在抽取的400户样本中，市中心区、近郊区和远郊区分别占40%、35%和25%。如果已知样本中市中心区家庭使用公共健身设施的比率为18%，近郊区的比率为15%，远郊区的比率为10%，请计算：*样本总体使用公共健身设施的家庭比率。*样本总体使用公共健身设施的家庭比率的抽样标准误（假设各层内比率的方差相等，并使用样本方差估计总体方差）。5.基于上述分层抽样得到的样本比率（15%），请构造一个95%的置信区间来估计全市居民使用公共健身设施的家庭比率。并解释该置信区间的含义。6.为了进一步了解居民使用健身设施的原因，研究者对样本中使用了公共健身设施的100户家庭进行了访谈。访谈结果显示，这些家庭中选择“为了健康锻炼”作为主要原因是60户。请构造一个95%的置信区间来估计全市使用公共健身设施的家庭中，选择“为了健康锻炼”作为主要原因的家庭比率。并解释该置信区间与第5题置信区间的区别和联系。7.假设研究者想检验全市居民使用公共健身设施的家庭比率是否显著高于某个基准值（例如，假设研究者认为低于10%是不普及的）。请写出进行此项假设检验的步骤，包括提出零假设和备择假设、选择检验方法（说明理由）、计算检验统计量值（或P值）、并根据显著性水平（如α=0.05）做出统计决策。假设基于第2题的简单随机抽样结果（150/400=37.5%）进行检验。试题二某公司生产一批电子元件，总数量很大。质检部门需要检验这批元件的平均使用寿命是否达到标注的1000小时的标准。由于检测过程是破坏性的，无法对全部元件进行检验。质检人员决定采用抽样推断的方法进行判断。1.简述在này场景下，适合采用的抽样方法，并说明理由。2.假设质检人员决定采用不重复简单随机抽样方法，从这批元件中抽取100个进行寿命测试。测试结果数据较为分散，样本平均寿命为980小时，样本标准差为120小时。请计算样本平均寿命的抽样标准误。3.请构造一个95%的置信区间来估计这批电子元件的平均使用寿命。4.基于上述置信区间，能否得出这批电子元件的平均使用寿命未达到1000小时结论？请解释理由。5.现在，质检人员对抽样结果的可靠性有更高的要求，希望将置信水平提高到99%。在其他条件（样本量、样本均值、样本标准差）不变的情况下，重新构造99%的置信区间。6.比较第3题和第5题的置信区间，说明提高置信水平对置信区间的宽度产生了什么影响？为什么？7.假设质检部门有明确的底线要求：如果抽样的证据表明平均寿命显著低于1000小时（例如，低于970小时），则认为这批产品不合格。请基于第2题的抽样结果（样本均值980小时，样本标准差120小时，样本量100），进行假设检验（α=0.05），判断这批电子元件是否合格。请写出完整的检验步骤，包括提出假设、选择方法、计算统计量、做出决策，并解释你的结论在实际生产中的意义。试题三某大学想要评估一项新开设的在线学习课程的效果。课程结束后，随机抽取了200名修读该课程的学生，询问他们对课程的满意度（分为“非常满意”、“满意”、“一般”、“不满意”四个等级）。样本中对课程满意度进行统计的结果如下（此处仅为示意，非真实数据）：非常满意占40%，满意占30%，一般占20%，不满意占10%。1.在此场景下，采用的抽样方法是什么？这种方法的优点是什么？2.请计算样本中对课程“非常满意”或“满意”的学生比例的抽样标准误。3.构造一个95%的置信区间来估计全院修读该课程的学生中对课程“非常满意”或“满意”的比例。4.解释你所构造的置信区间的含义。5.假设学校认为，如果超过50%的学生对课程表示“非常满意”或“满意”，则认为课程效果良好。请根据第3题的置信区间，判断是否有足够的统计证据支持“课程效果良好”的说法（α=0.05）？请解释你的理由。6.如果实际数据显示，对课程“非常满意”或“满意”的学生比例仅为45%，你是否认同课程效果良好？请结合统计推断的思想说明你的判断依据。7.对比第5题和第6题，说明假设检验的结论与置信区间提供的信息之间的关系。试卷答案试题一1.抽样方法、优缺点及考虑因素：*简单随机抽样：优点是操作简单，抽样误差理论清晰。缺点是当总体变异大或地理分散时，抽样成本高，代表性可能不高。考虑因素：总体同质性、可访问性、成本限制。*分层随机抽样：优点是能保证各层代表性，通常能提高估计精度。缺点是需要层信息，增加抽样复杂度。考虑因素：层划分的合理性、层内同质性、层间异质性。*整群抽样：优点是组织抽样和实施方便，成本较低。缺点是通常比简单随机抽样有更大的抽样误差。考虑因素：群内同质性、群间异质性、群规模、成本效益。*系统抽样：优点是实施简单，可按时间或空间顺序进行。缺点是若存在周期性模式可能与抽样间隔重合，导致偏差。考虑因素：总体是否随机排列、是否存在周期性模式。*方便抽样/判断抽样（非概率抽样）：优点是快速、成本低。缺点是存在严重偏差风险，结果难以推广。考虑因素：研究目的（探索性研究可接受）、总体可及性、对偏差的容忍度。在本调查中，若追求对总体的无偏估计，应避免使用非概率抽样。2.样本比率及标准误计算：*样本比率p̂=150/400=0.375*抽样标准误SE(p̂)=sqrt[p̂(1-p̂)/n]=sqrt[0.375*(1-0.375)/400]=sqrt[0.375*0.625/400]=sqrt[0.234375/400]=sqrt(0.0005859375)≈0.02423.所需样本量计算：*使用公式n₀=(Zα/2)²*(p(1-p))/E²，其中Zα/2=1.96(95%置信水平)，p使用无信息值0.5（使n₀最大），E=0.05。*n₀=(1.96)²*(0.5*0.5)/(0.05)²=3.8416*0.25/0.0025=0.9604/0.0025=384.16*由于n₀<n(400)，且为不重复抽样，需用修正公式计算最终样本量n：*n=n₀*N/(N+n₀)=384.16*N/(N+384.16)*由于N未知，通常近似认为N远大于n₀，可近似取n≈n₀=385。为保证精度，可取n=385或稍大，如390。这里取n=390。*因此，至少需要抽取390户家庭。4.分层抽样比率及标准误计算：*样本总体比率：*W₁=0.4,p̂₁=0.18;W₂=0.35,p̂₂=0.15;W₃=0.25,p̂₃=0.10*总体样本比率p̂_overall=W₁p̂₁+W₂p̂₂+W₃p̂₃=0.4*0.18+0.35*0.15+0.25*0.10=0.072+0.0525+0.025=0.1495*抽样标准误（假设层内方差相等）：*计算合并样本方差s²p̂=[W₁(p̂₁-p̂_overall)²+W₂(p̂₂-p̂_overall)²+W₃(p̂₃-p̂_overall)²]/(n-1)=[(0.4*(0.18-0.1495)²)+(0.35*(0.15-0.1495)²)+(0.25*(0.10-0.1495)²)]/399=[(0.4*(0.0305)²)+(0.35*(0.0005)²)+(0.25*(-0.0495)²)]/399=[(0.4*0.00093025)+(0.35*0.00000025)+(0.25*0.00245025)]/399=[0.0003721+0.0000000875+0.0006125625]/399=0.0009857375/399≈0.0024701*抽样标准误SE(p̂_overall)=sqrt[s²p̂/n]=sqrt[0.0024701/400]=sqrt(0.00000617525)≈0.0024875.95%置信区间构造：*置信区间=p̂_overall±Zα/2*SE(p̂_overall)*Zα/2(95%)=1.96*置信区间=0.1495±1.96*0.002487≈0.1495±0.00488*置信区间约为(0.14462,0.15438)*含义：我们有95%的置信度认为，全市居民使用公共健身设施的家庭比率真实值落在0.14462到0.15438之间。6.“为了健康锻炼”比率置信区间：*样本比率：p̂_reason=60/100=0.6*抽样标准误：SE(p̂_reason)=sqrt[p̂_reason(1-p̂_reason)/n]=sqrt[0.6*0.4/100]=sqrt(0.24/100)=sqrt(0.0024)=0.048*置信区间：置信区间=p̂_reason±Zα/2*SE(p̂_reason)=0.6±1.96*0.048≈0.6±0.09408*置信区间约为(0.50592,0.69408)*区别与联系：第5题构造的是估计总体中使用健身设施家庭比率（p）的置信区间，范围约为(14.46%,15.44%)。第6题构造的是在已知使用了健身设施的家庭中，选择“为了健康锻炼”作为主要原因的家庭比率（pᵣ）的置信区间，范围约为(50.59%,69.41%)。联系在于，第6题的推断基础是第5题所估计出的“使用”这个大群体的比例。第6题的置信区间反映了在“使用”这个群体内部，对于原因选择“为了健康锻炼”的比例的不确定性。7.假设检验步骤：*提出假设：*H₀:p≥0.1(全市居民使用公共健身设施的家庭比率不超过10%)*H₁:p<0.1(全市居民使用公共健身设施的家庭比率超过10%)*选择方法：单样本比例z检验。理由：检验总体比例是否显著低于某个值，样本量足够大（n=400,n*p₀=400*0.1=40,n*(1-p₀)=400*0.9=360均大于5）。*计算检验统计量：*检验统计量Z=(p̂-p₀)/sqrt[p₀(1-p₀)/n]=(0.375-0.1)/sqrt[0.1*0.9/400]=0.275/sqrt(0.09/400)=0.275/sqrt(0.000225)=0.275/0.015=18.33*做出决策：*查Z表或计算P值。P(Z<-18.33)非常接近0(实际计算中，Z=18.33远远超出常用Z表范围，P值远小于α=0.05)。*由于P值<α，拒绝原假设H₀。*结论：有非常强的统计证据表明，全市居民使用公共健身设施的家庭比率显著高于10%。试题二1.抽样方法及理由：*适合方法：简单随机抽样（不重复）或分层随机抽样（若已知不同批次元件质量差异大）。最常用且符合题意的是不重复简单随机抽样。*理由：元件寿命检测是破坏性检验，无法对所有元件检测。不重复简单随机抽样能保证每个元件有已知的不为零的概率被抽中，且操作相对简单，是破坏性检验中常用的抽样方式。2.抽样标准误计算：*样本标准误SE(μ̂)=s/sqrt(n)=120/sqrt(100)=120/10=12小时。3.95%置信区间构造：*置信区间=μ̂±Zα/2*SE(μ̂)*Zα/2(95%)=1.96*置信区间=980±1.96*12=980±23.52*置信区间约为(956.48,1003.52)小时。4.结论解释：*置信区间(956.48,1003.52)小时包含1000小时。根据置信区间的定义，我们无法完全排除总体均值恰好为1000小时的可能性。因此，不能得出这批电子元件的平均使用寿命未达到1000小时的有力统计结论。置信区间没有提供足够的证据反对“均值等于1000小时”的假设。5.99%置信区间构造：*Zα/2(99%)≈2.576*置信区间=μ̂±Zα/2*SE(μ̂)=980±2.576*12=980±30.912*置信区间约为(949.088,1010.912)小时。6.置信区间宽度变化分析：*提高置信水平（从95%到99%），置信区间变宽了。原因：Zα/2值增大（1.96<2.576），Zα/2值越大，乘以标准误后的边际误差就越大，导致整个置信区间覆盖的范围更广。为了更可靠地包含未知参数（在这里是总体均值），需要更大的区间范围。7.假设检验步骤：*提出假设：*H₀:μ≤970小时(平均寿命显著低于970小时则不合格)*H₁:μ>970小时*选择方法：单样本t检验（因总体标准差未知）。检验统计量t=(μ̂-μ₀)/(s/sqrt(n))*计算检验统计量：*t=(980-970)/(120/sqrt(100))=10/12=5/6≈1.6667*做出决策：*自由度df=n-1=100-1=99。查找t分布表，或使用软件计算P值。对于单尾检验，P(t>1.6667)。*查表或计算得到P值≈0.0497(略小于0.05)。*由于P值≈0.0497<α=0.05，拒绝原假设H₀。*结论：有统计证据表明，这批电子元件的平均寿命显著高于970小时。因此，判定这批电子元件合格。实际生产中的意义：抽样结果表明该批产品符合质量标准，可以放行。试题三1.抽样方法及优点：*抽样方法：简单随机抽样（或称单纯随机抽样）。*优点：抽样过程简单，每个个体被抽中的概率相等，理论性质清晰，是其他更复杂抽样方法的基础。2.样本比例标准误计算：*总体比例p̂=(40%+30%)=0.7*抽样标准误SE(p̂)=sqrt[p̂(1-p̂)/n]=sqrt[0.7*(1-0.7)/200]=sqrt[0.7*0.3/200]=sqrt[0.21/200]=sqrt(0.00105)≈0.03243.95%置信区间构造：*置信区间=p̂±Zα/2*SE(p̂)*Zα/2(95%)=1.96*置信区间=0.7±1.96*0.0324≈0.7±0.0637*置信区间约为(0.6363,0.7637)4.置信区间含义解释：*我们有95%的置信度认为，全院修读该课程的学生中