2025年统计学期末考试：抽样调查方法与主成分分析试题型

2025年统计学期末考试：抽样调查方法与主成分分析试题型考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。下列每小题备选答案中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。1.从一个包含N个元素的总体中，每个元素被抽中的概率都相等，且每次抽取后不放回，这种抽样方式称为（）。A.简单随机抽样B.分层抽样C.整群抽样D.系统抽样2.在抽样调查中，由抽样引起的样本指标与总体指标之间的差异称为（）。A.抽样框误差B.无回答误差C.抽样误差D.登记误差3.对于一个给定的样本相关系数矩阵，其特征值的个数等于（）。A.样本量B.变量个数C.相关系数的个数D.14.在主成分分析中，若要确定提取多少个主成分，通常依据的标准之一是使后续提取的主成分的方差贡献率（）。A.大于某个预设阈值B.小于某个预设阈值C.累计方差贡献率达到90%以上D.逐渐减小5.若对原始数据进行标准化处理后计算得到的相关系数矩阵为单位矩阵，则原始变量之间存在（）。A.完全相关B.完全不相关C.可能存在相关关系D.不确定关系二、填空题：本大题共5空，每空2分，共10分。请将答案填写在答题纸上对应的位置。6.抽样调查中，影响抽样误差大小的因素主要有______、______和样本容量的大小。7.在分层抽样中，理想的分层标准是层内方差尽可能______，层间方差尽可能______。8.主成分分析的首要步骤是计算原始变量的______矩阵。9.KMO统计量用于衡量变量间偏相关程度以及样本数据是否适合进行主成分分析，其取值范围是______。10.若一个变量在主成分分析中的载荷矩阵值为0.8，说明该变量与对应的主成分之间的______程度较高。三、简答题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请将答案写在答题纸上。11.简述分层抽样的优缺点。12.解释什么是主成分，并说明主成分分析的主要目的。13.在进行主成分分析时，计算得到特征值λ1=4.5,λ2=1.2,λ3=0.3(假设有三个主成分)，请计算第一个主成分的方差贡献率。四、计算题：本大题共2小题，每小题10分，共20分。请将计算过程和结果写在答题纸上。14.某城市共有100万户家庭，欲采用简单随机抽样方法抽取1000户进行调查，试计算在不考虑无回答的情况下，按不重置抽样方法所需的抽样间隔k。15.对某研究涉及的两个变量X和Y进行标准化处理，得到样本量为n=6的数据，计算得到样本相关系数r=0.6。假设X和Y的标准化后的样本方差均为1，请计算第一主成分的方差贡献率。五、综合应用题：本大题共1小题，共20分。请将答案写在答题纸上。16.假设某公司希望对员工的工作绩效进行综合评价，收集了员工在三个方面（创新能力A、团队协作B、工作效率C）的得分数据（原始数据已省略，假设已对数据进行标准化处理，并计算得到相关系数矩阵如下：rAB=0.7,rAC=0.4,rBC=0.5）。请运用主成分分析方法，说明如何构建一个综合绩效得分的主成分，并解释该主成分的主要含义。试卷答案一、选择题1.A*解析：简单随机抽样定义即为从总体N个元素中，每次抽取一个元素，且每个元素被抽中的概率相等，且不放回。2.C*解析：抽样误差是抽样调查中由抽样引起的样本指标与总体指标之间的随机误差。3.B*解析：样本相关系数矩阵是一个方阵，其特征值的个数等于变量（特征）的个数。4.B*解析：确定主成分个数的一个常用方法是看后续主成分的方差贡献率是否小于某个预设阈值（如0.1或0.05），若小于则停止提取。5.C*解析：标准化后的相关系数矩阵为单位矩阵，表示原始变量之间两两不相关，但不代表原始变量之间一定不存在其他类型的关系（如非线性关系）。二、填空题6.抽样方法；总体方差*解析：抽样误差的大小受抽样方法（概率抽样误差通常小于非概率抽样）、总体分布离散程度（总体方差）以及样本量的影响。7.小；大*解析：分层抽样的目的是通过划分层，使得层内同质性增强（方差小），层间差异性增大（方差大），从而提高抽样效率和精度。8.相关系数*解析：主成分分析是基于原始变量之间的相关关系进行的，计算主成分需要先得到原始变量的相关系数矩阵。9.0到1之间*解析：KMO值的范围在0到1之间，越接近1表示变量间的偏相关性越强，数据越适合进行主成分分析。10.线性相关*解析：载荷矩阵的绝对值表示原始变量与主成分之间的线性相关程度，绝对值越大，相关性越强。三、简答题11.答：优点：①可以保证样本的代表性，使样本结构更接近总体结构；②可以缩小抽样误差，提高抽样效率；③便于分片调查或进行数据处理。缺点：①需要预先掌握总体单元的分层信息，且层内同质性要高，层间差异性要大，这在实际中有时难以满足；②分层抽样的实施相对复杂。12.答：主成分是指通过线性变换将原始的多个相关变量组合成少数几个不相关的综合变量（主成分）的过程，这些综合变量能最大限度地保留原始变量的信息。主要目的是：①降维，将多个相关变量简化为少数几个主成分，减少数据分析的复杂性；②消除多重共线性，为后续的多变量统计分析（如回归分析）创造条件；③数据可视化，利用主成分在低维空间中进行展示。13.答：第一个主成分的方差贡献率=第一个主成分的方差/原始变量总方差=λ1/(λ1+λ2+λ3)=4.5/(4.5+1.2+0.3)=4.5/6.0=0.75。即第一个主成分的方差贡献率为75%。四、计算题14.解：根据不重置抽样公式，抽样间隔k=总体单位数N/样本单位数n=100万/1000=1000。答：所需的抽样间隔为1000。15.解：设X和Y的标准化样本协方差矩阵为Σ，则Σ=1*1*0.6/(n-1)*1*1*0.6/(n-1)=0.6/(n-1)*I(其中I为单位矩阵)。假设n=6，则Σ=0.6/5*I=0.12*I。计算相关系数矩阵的特征值：设特征值为λ，则(Σ-λI)=0.12*I-λI=0。即(0.12-λ)I=0。解得λ=0.12。由于相关系数矩阵是实对称矩阵，其特征值都是实数。通常在主成分分析中，我们计算的是协方差矩阵的特征值，协方差矩阵的特征值λ1,λ2,λ3分别为Var(Z1),Var(Z2),Var(Z3)。这里题目直接给出相关系数矩阵的特征值为0.12（假设只有一个非零特征值，或者理解为所有变量标准化后协方差相同，其对应的特征值为标准化后的方差乘以样本量/（样本量-1），这里简化处理为0.12）。第一主成分的方差贡献率=第一主成分的特征值/(所有主成分特征值之和)=0.12/0.12=1。答：第一主成分的方差贡献率为1。五、综合应用题答：首先计算相关系数矩阵的特征值和特征向量（这里假设已完成计算，得到特征值λ1,λ2,λ3，及对应的单位特征向量v1,v2,v3）。假设计算结果为：λ1>λ2>λ3>0，特征向量分别为v1,v2,v3。第一主成分P1的表达式为：P1=v1'X=a11X+a12Y+a13Z（其中aij是v1的分量）。第二主成分P2的表达式为：P2=v2'X=b11X+b12Y+b13Z（其中bij是v2的分量）。...（依此类推）主成分的方差贡献率依次为：Var(P1)=λ1,Var(P2)=λ2,...累计方差贡献率为：CumVar(P1)=λ1/(λ1+λ2+λ3),CumVar(P1,P2)=(λ1+λ2)/(λ1+λ2+λ3),...选择主成分个数：根据累计方差贡献率，选择一个能解释大部分总方差（如85%或90%）的最小主成分个数k。例如，如果累计到P1和P2时，累计方差贡献率已达到90%以上，则选择P1和P2。构建综合绩效得分：若选择P1作为综合绩效得分的主成分，则综合绩效得分即为P1=a11X+a12Y+a13Z。解释主成分含义：主成分P1的系数（a11,a12,a13）反映了原始变量X,Y,Z在P1上的相