空间向量及其线性运算导学案

1.1.1空间向量及其线性运算导学案

1.类比平面向量引入了空间向量及相关概念、空间向量的表示、共线向量与相等向量，、；

2.类比平面向量的加减、数乘运算和运算律，引入空间向量的加减、数乘运算和运算律，

3・类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题.

4.理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的表示，掌握空间向量的加减、数乘运算及其运算律等内容，

并能借助图形理解空间向量线性运算及其运算律的意义.

・重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性

运算(加法、减法和数乘)，懂得运算律。

•难点：空间向量的线性在简当空间几何体中的计算和应用。

要点一空间向量的有关概念

1,空间向量的定义

在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有太小又有方向的量，叫作空间向量.

2.空间向量的表示

空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条句包线盘来表示.

3.空间向量的线性运算

(1)空间向量的加法、减法与数乘运算的意义，如图.

oh=oX-\-Ab=a-\-h\

BA=oA—ob=a—b；

(2)空间向显的加法和数乘运算满足如下运算律：

运算律(其中九〃£R)

(1)交换律：a+b=b±a；

(2)结合律：(a+b)+c=a+(力+c),=，〃)a：

(3)分配律：(2+〃)。=痴+〃。,久3+。)=幺。+劝.

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.

要点二特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量规定长度为0的向量叫做零向量,记为0

单位向量模为1的向量叫做单位向量

相反向量与向量•长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为一•

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量

共线向量

或平行向量.规定：零向量与任意向量平行,即对于任意向量。，都有。之〃

方向蛔且模相等的向显称为相等向最•在空间，回向且迪的有向线段表示同一向最或相

相等向量

等向量

要点三共线向量及共线向量定理

1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量”，b(厉())，。〃〃的充要条件是存在实数九使归

Ab.

2.方向向量：如图，。是直线/上一点，在直线/上取非零向量。，则对于直线/上任意一点P,由数

乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数2,使得苏=%，我们把与向量。平:行的非零向量称

为在线/的方向向量.

思考：由数乘痴=0,能否得出4=0?

提示不能.加=0=%=0或a=0.

3.向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段况所在的直线04与直线1平行或的合,那么称向量

a平行于直线/.

4.向量和平面平行：如果表示向量。的有向线段况所在的直线04平行于平面a或在平面a内，那么

称何景。平行于平面«.

5.共面向量：平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.

6.空间向量共面的充要条件：如果两个向量m。不共线，那么向量〃与向量。，力共面的充要条件是

存在唯一的有序实数对(x,>')»使P=xa+)力.

>思考：若向量p，a,办满足p=xa+y〃，那么向量"，。，力共面吗？

提示共面.当。与力共线时，显然向量p,a,力共面；当〃与力不共线时，由向量共面的充要条件,

可知向量p，a,力共面.

1.羽断正误，正确的画“5,错误的画“x”.

(1)零向量没有方向.()

(2)两个有公共终点的向最，一定是共线向量.()

(3)空间向量的数乘运算中,％只决定向量的大小，不决定向量的方向.()

(4)若/=—b,则|a|二|b|.()

(5)若两个向量的起点重合，则这两个向量的方向相同.()

【答案】(1)x(2)x(3)x(4)4(5)x

【解析】(1)错误.零向量与任意向量共线，故可以认为零向量的方向是任意的.

(2)错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，与是否有公共终点无关.

(3)错误.当4>0时，通与向量a的方向相同；当4<0时，而与向量a的方向相反.

(4)正确.由相反向量的概念可知正确.

(5)错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的关系不能确定.

2.已知空间四边形ABCO,连接AC&),则A8+8C+CO=()

A.AQBBDCACD.O

【答案】A

【解析】AB+8C+C。=AC+CO=4。.故选A项.

3.下列说法错误的是()

A.空间的任意三个向量都不共面

B.空间的任意两个向量都共面

C.三个向量共面，即它们所在的直线共面

D.若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面

【答案】AC。

【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断；

*

【解析】A.如图所示：。为工•二个向量共面，故错误；

・

a

B.FI相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确;

B_______C\

C.如图所示：：，在正方体中4,8,*三个向量共面,但它们所在的直线不共面，故错误;

♦1/

AC.

44---------Q…一

D.如图所示：丁十，在正方体中8,c二向量两两共面,但这三个向量一定共面，故错误;

AiB

故选：ACD

+学习探究

（-）新知导入

环节一创设情境引入课题

引导语章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景.

可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重

力等.显然，这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，你能否把平面向量推广到

空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？

问题1能否类比平面向量，给空间向量下个定义？

与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(spacevec/or),空间向量的大小叫

做空间向量的长度或模(/〃。山山⑼

问题2AB可以表示平面向量，也可以表示空间向量吗?平面向量AB与空间向量AB有哪些异同点?它们模

长的几何意义相同吗？

环节二观察分析感知概念

阅读课本填写以下概念的内容

1.零向量及其记法：_____________________________________________________

2.单位向量：____________________________________________________

3.相反向量及其记法：____________________________________________________

4.共线向量(平行向量)：____________________________________________________

参考答案：与平面向量一样，我们规定，长度为。的向量叫做零向量(zewveb”),记为0.

当有向线段的起点A与终点B重合时，AR=O.

模为1的向量叫做单位向量("由wecfor).

与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做”的相反向量，记为.

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量

箭”)或平行向^.(parallelvectors).

我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量都有0〃a.方向相同且模相等的向量叫做相

等向量(绚〃a/vecsrs).因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.

空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合.因

为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个

空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.

环节三抽象概括形成概念

问题3类比平面向量的线性运算.空间向量的加法、戒法如何定义？

如图，已知空间向量〃，力，以任意点O为起点，作向量0A=〃，OB=b，我们就可以把它们平移

到同一个平面a内.

b

数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算.由于任意两个空间向量都可以通

过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.

环节四辨析理解深化概念

问题4想一想，向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？

与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中Z/wR）：

交换律：_____________________________________________________________

结合律：_____________________________________________________________

分配律：______________________________________________________________

参考答案：

交换律：〃+/?=/?+〃；

结合律：（Q+〃）+C=6T+S+C）,4（〃〃）=（办）Q；

分囱己律：（2+〃）〃=几〃+，2（4+6）=44+丸8.

探究1如图，在平行六面体ABC。-'中，分别标出

A6+AO+A4'，A8+AV+AD表示的向量•从中你能体会向量加

法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个

向量有什么关系？图1.1・6

可以发现，AB+AD+AA,=AB+AA,+AD=AC,.一股地，对于三个不共面的向量〃，b、c、

以任意点。为起点，〃，〃，c为邻边作平行六面体，则〃，c的和等于以。为起点的平行六面体对角

线所表示的向量.另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量

的顺序，其和不变.

探究2对任意两个空间向量a与少，如果。=；lb(2GR).Q与〃有什么位置关系？反过来，〃与〃有

什么位置关系时，”="??

类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量4./?3H0).“〃力的充要条件是存在实数/I,

使a,—A,b-

如图，。是直线/上一点，在直线/上取非零向量4,则对于直线/上任意一点P,由数乘向量的定义

及向量共线的充要条件可知，存在实数义，使得OP=/U.

ffll.1.7

我们把与向量〃平行的非零向量称为直线/的方向向量(4W"汕八,这样，直线/上任意一点都可

以由直线/上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.

如图，如果表示向量〃的有向线段04所在的直线OA与直线/平行或重合，那么称向量〃平行于直线

I.如果直线。4平行于平面。或在平面。内，那么称向量〃平行于平面。.平行于同一个平面的向量，叫

做共面向量(cq〃口〃a，Yec"〃s).

我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.

问题6,什么情况下三个空间向量共面呢？

探究3对平面内任意两个不共线向量〃，h,由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量

〃可以写成p=+其中Q,y)是唯一确定的有序实数对.

对两个不共线的空间向量〃，b，如果〃=x〃+)协，那么向量p与向量力有什么位置关系？

反过来，向量p与向量〃，〃有什么位置关系时，p=XQ+)协？

可以发现，如果两个向量〃不共线，那么向量p与向量〃，〃共面的充要条件是存在唯一的有序

实数对(x,y),使〃=xa+yb•

环节五概念应用巩固内化

例1如图，已知平行四边形A8CO,过平面AC外一点。，作射线。4,OB.OC,0D,在四条

射线上分别取点E,F,G,H，便竽=坐=铝="=k•求证：E,F,G,9四点共面.

OAOBOC0D

图1.1・9

分析：欲证E,F.G,〃四点共面，只需证明EH，EF、EG共面.而由已知AO，AB■AC

共面，可以利用向量运算由4。，AB，AC共面的表达式推得E",EF，EG共面的表达式.

OEOFOGOH

证明：因为二===方=次=左所以0石二404,OF=kOB.OG=kOC、OH=kOD-

CzACzoC/CUI)

因为四边形八88是干行四边形，所以AC=+•因此石G=OG-OE=kOC-kQ4=AAC

=k(AB-vAD)=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE=EF+EH

由向量共面的充要条件可知，EH-EF.EG共面，又EH、EF，EG过同一点E，

从而E,F,G,”四点共面.

选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的

常用方法.

环节六归纳总结反思提升

本节课的学习我们知道向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.由于空间

向量是平面向量的推广，因此空间向量及其相关概念、空间向量的表示法等与平面向量都是一致的.

类比平面向量引入了空间向量及相关概念、空间向量的表示、共线向量与相等向量，并类比平面向量

的加减、数乘运算和运算律，引入空间向量的加减、数乘运算和运算律，类比平面向量研究空间向量