专题06圆中的重要模型之辅助线八大模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级上册（原卷版）

专题06圆中的重要模型之辅助线八大模型在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。TOC\o"14"\h\z\uTOC\o"14"\h\z\u 1模型来源 1真题现模型 2提炼模型 4模型运用 5模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 5模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 7模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 9模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 11模型5、遇90°的圆周角连直径 13模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 15模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 18模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 21 23圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。

A． B． C． D．A． B． C． D．1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。证明：连AO、BO∵CD⊥AB∴∠AEC=∠CEB=90°又∵OE=OE，OA=OB∴△OAE≌△OBE（HL）∴AE=EB，∴AD=BDAC=CB2）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A=∠BOC。推论1：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D；推论2：半圆（直径）所对的圆周角是90°，即：∠C=90°。3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：=1\*GB3①PA=PB；=2\*GB3②∠APO=∠BPO；=3\*GB3③PO是AB的垂直平分线6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。A． B．π C．2π D．4π模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角）如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。A． B． C． D．A．94° B． C．162° D．172°模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。A． B． C． D．模型5、遇90°的圆周角连直径如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。例1（2022·山东日照·统考中考真题）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为．

模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直）如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。AABCO已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。A．6 B．4 C． D．

模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角）证明直线AB是⊙O的切线.ABABCO遇到证明某一直线是圆的切线时：（1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线．（2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线．模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点）当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。A．8