专题14解三角形图形类问题

专题14解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理【解析】【分析】【详解】【解析】【分析】（2）在△ABD中，△BCD中，分别应用正弦定理，联立可得2sin（θ）＝3sinθ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)(2)【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)证明：(2)【解析】【分析】【详解】【答案】(1)【解析】【分析】(1)(2)（1）求；【解析】【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；【详解】(2)∠ACB=【解析】【分析】（1）依据题意求得角，利用正弦定理去求△ABC的面积；（2）利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB的值．(1)(2)【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)方案一：选条件①.方案二：选条件②.方案三：选条件③.(2)选择①②③，答案均相同，【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)(2)【解析】【分析】(1)(2)题型二：两角使用余弦定理【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)(2)(2)【解析】【分析】(1)(2)【答案】(1)；(2)﹒【解析】【分析】(1)(2)【解析】【分析】【详解】（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理[方法二]：等面积法和三角形相似[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合[方法四]：构造辅助线利用相似的性质下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；(1)(2)【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)(2)题型三：张角定理与等面积法(1)求角的大小；【答案】(1)【解析】【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案(1)(2)(1)求；(2)【解析】【分析】(1)(2)【解析】【分析】(1)(2)(2)【解析】【分析】(1)(2)(1)求函数的解析式；【解析】【分析】(1)(2)因为的平分线交于，(1)求角B的大小；①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．(2)【解析】【分析】(1)故的大小为：(2)若选①：若选②：题型四：角平分线问题(1)求的值；(2)给出以下三个条件：【答案】(1)；【解析】【分析】(1)(2)(1)求角；【答案】(1)；【解析】【分析】(1)(2)(1)求B的值；（ii）求∠ABC的角平分线BD的长.【解析】【分析】(1)(2)所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，综上，正确条件为①③，【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（2）根据同角三角函数的平方关系及商数关系得相关的三角函数值，再运用直角三角形中的三角函数关系得相关边长，最后运用余弦定理可求解.(1)(2)(1)求；【解析】【分析】（2）利用等面积法结合已知条件可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.(1)(2)(1)求；【解析】【分析】(1)(2)题型五：中线问题(1)求角A的大小；【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)(2)(1)求角；(2)【解析】【分析】（2）利用面积桥可求得，利用余弦定理求得后可得，由勾股定理可得结果.(1)(2)(2)【解析】【分析】（1）根据已知条件及正弦定理即可求解；（1）根据已知及线段中点的关系，结合余弦定理即可求解.(1)(2)(1)求角B的大小；【解析】【分析】(1)(2)(1)求角；【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)(2)(1)求角；【解析】【分析】(1)(2)(1)求B；【解析】【分析】（1）通过正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可求角B；（2）利用中线与相邻两边的向量关系式结合已知可求得BD的长．(1)(2)题型六：高问题(1)求角A的大小；【解析】【分析】（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b值，由余弦定理可得a值，结合面积公式可得高.(1)(2)(1)求角A；(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．(2)【解析】【分析】（1）在三角形中，运用正余弦定理，实现边角互化即可求解.(1)选①选②(2)(1)求；注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.(2)答案见解析【解析】【分析】（1）方法一：根据正弦定理，结合内角和与两角和的正弦公式化简即可；方法二：利用余弦定理化简即可(1)(2)设边上高线的长为h，则选条件③：设边上高线的长为h，则(1)求角；【解析】【分析】（2）结合三角形的面积公式、余弦定理求得.(1)(2)(1)求角；【答案】(1)【解析】【分析】(1)(2)其中为三角形外接圆的半径.题型七：重心性质及其应用(2)【解析】【分析】（1）根据余弦定理可求出边BC的长度，然后判断出三角形ABC为等腰三角形，进而可得中线AM的长度，再由余弦定理可求出余弦值，进而根据两角和的余弦公式即可求解.（2）由三角形的面积公式即可求解.(1)(2)A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】【详解】故选：C.A． B． C．3 D．【答案】B【解析】【分析】边化角可以算出A，利用三角形重心的几何性质和余弦定理可以求出C即可.【详解】由题意作图如下：设BC边的中点为D，根据正弦定理可得：故选：B.(1)求；【解析】【分析】(1)(2)题型八：外心及外接圆问题【解析】【分析】【详解】A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】【详解】故选：C【点睛】(1)求；注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得角；(1)(2)注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．(1)求A；【答案】(1)【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得角；(1)(2)【解析】【分析】【详解】(2)答案见解析【解析】【分析】(1)(2)(2)【解析】【分析】(1)(2)(1)求；【答案】(1)【解析】【分析】(1)(2)题型九：两边夹问题A．2 B． C． D．1又正弦函数、余弦函数的值均小于等于1，故选：．故答案为：．故答案为：．故答案为：题型十：内心及内切圆问题(1)求的大小；(2)答案见解析【解析】【分析】(1)(2)选①，选②，选③，(1)求的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．【答案】(1)2【解析】【分析】（1）切变弦，然后整理化简可得sinB=2sinC，再利用正弦定理角化边可得答案；（2）先根据(1)求出，设△ABC的内切圆半径为r，再根据重心的性质得到顶点A到BC边的距离为3r，利用面积列方程求解.(1)即sinAcosC=2sinCcosAsinC得sin(A+C)=2sinC即sinB=2sinC(2)设△ABC的内切圆半径为r，则内心N到BC边的距离为r，因为MN∥BC，所以重心M到BC边的距离为r，根据重心的性质，顶点A到BC边的距离为3r，(1)角A；【答案】(1)【解析】【分析】（1）若选条件①，由正弦定理边化角，结合诱导公式可得；若选条件②，切化弦结合正弦定理边化角，然后可解；(1)若选条件①.若选条件②.(2)(1)求角和边的大小；【解析】【分析】(1)(2)【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)(2)（1）求角；【解析】【分析】【详解】【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于常考题型.【解析】【分析】（1）将函数f（x）进行化简，然后根据三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的对称轴、对称中心、单调递增区间；【详解】【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三