专题04全等三角形热考模型（期中复习讲义）（原卷版）八年级数学上学期人教版2024

专题04全等三角形热考模型（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律倍长中线模型掌握倍长中线的方法，能利用该模型构造全等三角形，解决线段和角的等量关系、线段的位置关系等问题常作为几何证明与计算的辅助手段，在中档及较难题型中出现，用于转化线段或角的关系截长补短模型熟练运用截长补短的策略，构造全等三角形，证明线段的和、差、倍、分关系高频出现在几何证明题中，尤其是涉及线段和差的问题，是解决此类问题的核心模型之一一线三等角模型理解一线三等角模型的特征，能识别并利用该模型证明三角形全等，进而求解线段长度、角度大小等在三角形、四边形的几何题中较为常见，常结合全等三角形和相似三角形（后续学习）考查，是几何图形中的典型模型手拉手模型明确手拉手模型的构成条件，能运用该模型证明三角形全等，推导线段和角的关系，解决相关几何问题常以综合题的形式出现，可与旋转等图形变换结合，考查学生对全等三角形的综合运用能力半角模型熟悉半角模型的结构，能借助该模型构造全等三角形，处理含有半角的线段和角的关系问题多在较难的几何综合题中考查，需要学生具备较强的图形分析和模型应用能力对角互补模型掌握对角互补模型的性质，能利用该模型结合角平分线、全等三角形等知识，解决角度和线段的相关问题常与圆（后续学习）、角平分线等知识结合，在几何证明与计算中应用，考查学生的知识综合运用能力婆罗摩笈多模型理解婆罗摩笈多模型的内容，能运用该模型解决与等腰直角三角形、中点相关的线段长度、位置关系等问题主要在涉及等腰直角三角形的几何题中出现，是解决此类特殊三角形问题的重要模型与角平分线有关的热考模型能灵活运用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）和判定（到角两边距离相等的点在角的平分线上），结合全等三角形等知识，解决角和线段的相关问题常与三角形、四边形的知识结合，在几何证明与计算中广泛应用，是角的相关问题的核心考点知识点01倍长中线模型1.倍长中线模型条件在△ABC中，AD是△ABC的中线图示辅助线作法延长AD至点E，使AD=DE，连接BE延长AD至点E，使AD=DE，连接CE结论【总结】1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角；2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断；3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题.2.倍长类中线模型条件：在△ABC中，D是BC的中点作法：延长FD至点E，使FD=DE，连接CE知识点02截长补短模型模型思路：证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长的部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段.截长法补短法题目在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD图示辅助线作法在AB上截取AE=AC，连接DE延长AC到点E，使CD=CE，连接DE延长AC到点E，使AB=AE，连接DE结论△DEB是等腰三角形△CDE是等腰三角形△CDE是等腰三角形【总结】1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路.知识点03一线三等角模型一线三等角模型已知∠D=∠ACB=∠E，AC=BC图示结论一线三垂直模型已知∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE图示结论模型介绍：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”.模型特点：共顶点，等顶角.条件如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E图示结论1）∆ABM≌∆ACN2）BM=CN3）∠MEN=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶角）4）∆ANF≌∆AMD5）∆AFC≌∆ADB6）连接DF，DF∥BN7）连接AE，AE平分∠BEN知识点05半角模型正方形内含型半角邻边相等且对角互补的四边形半角条件正方形ABCD，∠EAF=45°AB=AD，∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF图示思路延长BC至点G，使DE=GB，连接AG延长CD至点M，使BD=EC，连接AM结论3）EF=DE+BF3）EF=DE+BF知识点06对角互补模型模型1两90°的等邻边对角互补模型1.基础类型条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个.2.模型引申条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF模型2.含120°、60°的等邻边对角互补模型1.基础类型条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE.2.模型引申条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，【总结】对角互补模型:在四边形中，①一组邻边相等;②另外一组邻边的顶点所在的对角线是这组邻边组成的角的平分线;③对角互补.三者知二推一.知识点07婆罗摩笈多模型题目特征共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点.共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直.条件四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，点I为DG中点四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，CH⊥BE图示辅助线作法延长IC到点P，使PI=IC，连接PG分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N结论CH⊥BE(知中点得垂直)BE=2ICDI=IG(知垂直得中点)BE=2IC知识点08与角平分线有关的热考模型类型描述图示结论见角平分线，用性质定理已知BD平分∠ABC，PE⊥BC作法：过点P作PF⊥AB于点F角平分线+垂直→三线合一已知BD平分∠ABC，PE⊥BD作法：延长PE，交AB于点F平行线+垂直→等腰△BD平分∠ABC，PE∥BCBE=PEDF平分∠BDE，DE∥BCBD=BF题型一中点处理方法解｜题｜技｜巧遇到中点的时候，通常会延长过该中点的线段.倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等.重难点一倍长中线模型1．（2425八年级上·全国·期末）综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDBA．SSS

B．AAS

C．SAS

D．HL（2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是___________．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．[初步运用]（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，AE=EF．若EF=3，2．（2526九年级上·陕西西安·开学考试）问题探究（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC边上，连接BE、DE，过点A作BC的平行线，交DE的延长线于点F，若BE⊥AC，DE问题解决（2）某校计划修建校园科创角，其平面规划示意图如图2所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，设计师计划在BC边上取点E，在AB边上取其中点F，连接DE、EF、FD，使得∠DFE=90°，将△DEF区域规划为研发区，为合理预算，需要知道BE、CE3．（2425七年级下·陕西咸阳·阶段练习）【问题提出】（1）如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，AD是边BC上的中线，求2AD的取值范围．小明的做法如下：如图①，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，则△BDE（2）如图②，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF【问题解决】（3）如图③，四边形ABCD是某公园的一片玫瑰园，对角线AC是中间的一条通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线BD铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔E（观景塔大小忽略不计），在边BC的中点F处设置一个出入口，再沿EF铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道BD与EF之间的数量关系购买原材料．按照设计要求，∠CEF=∠ADB，∠BAC+∠重难点二倍长类中线模型4．（2223八年级下·广东深圳·期中）如图（1），已知CA=CB，CD=CE，且∠ACB=∠DCE，将△DCE(1)求证：△ACD(2)在△DCE绕C点旋转的过程中，若ED、AB所在的直线交于点F，当点F为边AB的中点时，如图2所示．求证：∠(3)在（2）的条件下，求证：AD⊥5．（2425八年级上·云南昆明·期末）综合与实践；【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，AB=6,AC=4，求【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长AD到E，使得DE=②连接BE，易证△ACD≌△EBD，于是我们把AB，AC，2③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（1）如图1，AC和BE的位置关系是______；AD的取值范围是______．（2）如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AB边上，AD与CE相交于点F若EA=【问题拓展】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，点E为BC边的中点，过点E作EF∥AD交AC于点F，交BA的延长线于点6．（2425七年级上·山东烟台·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=10，AC=6，D是BC的中点，求BC【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE．根据______，可以判定△ADB≌△EDC，得出AB=EC．这样就能把线段AB、AC、2【模型构建】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法．【类比应用】（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，AB=6，AD=4，AC【拓展提升】（3）如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF题型二截长补短模型解｜题｜技｜巧截长;在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条;；补短;将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段；或者将短线段直接延长至等于长线段.【小结】无论截长还是补短都需要将几条线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题，一般情况要通过全等实现.重难点一截长法7．（2223八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD=AC就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在AC上截取AE=AB，连接DE，只要证BD=__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出△__________≌△__________，得出∠B=∠AED及BD请仿照上题方法解决以下问题：变式应用：如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=DC，∠BAC=70°，∠BDC=110°，以A为顶点作一个35°角，角的两边分别交边8．（2324八年级上·重庆江北·阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．(1)如图，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，探究AB、解决此问题可以用如下方法：在AC上截AM=AB，易证△ABD≌△AMD，则BD=DM，∠B=∠AMD=2∠(2)问题解决：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC，边(3)问题拓展：如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC，AD平分△ABC的外角∠BAE，DE⊥AC交CA延长线于点E重难点二补短法9．（2324八年级上·江西南昌·期中）综合与实践问题提出如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且∠ACB=2∠B，则AB方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长AC至点E，使得AE=AB，连接DE，……，请判断AB，CD，（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在AB上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段AB上截取AB，使得AF=①______，连接②______．请补全空格，并在图3延伸探究（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形ABCDE中，EA=ED，AB+DC=BC，10．（2425八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题；结合图（2）【问题解决】如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°，∠ABC=120°时，探究线段AB，题型三一线三等角模型解｜题｜技｜巧“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等图形，这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧.重难点一一线三垂直模型11．（2425八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A、C、E三点在同一条直线上，AB=(1)求证：BC=(2)当△ABC满足__________时，BC12．（2425八年级上·云南·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．【问题发现】（1）如图2，已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出EF，AE，BF之间的数量关系，并说明理由；【问题提出】（3）在（2）的条件下，若BF=4AE，EF=513．（2324八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．(1)如图1．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l(2)组员小明对图2进行了探究，若∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A．BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段DE、BD、CE之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，若BH=3，CH=7重难点二一线三等角模型14．（2122八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A,BD⊥直线m，（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A15．（2324八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．根据对材料的理解解决以下问题∶(1)如图1，∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=(2)如图2，将（1）中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB(3)如图3，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF，∠A=∠EDF=∠重难点三构造一线三垂直模型16．（2425八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，△ABC与△CDE中，∠B=∠E（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=6，以AC为边在△ABC（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，若△ACD面积为2117．（2324八年级上·广东潮州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，P为射线BC上一动点（点P不与点B重合），以AP(1)如图1，当点P在线段BC上时，求点Q到直线AC的距离；(2)如图2，当点P运动到BC的延长线上时，连接BQ，交直线AC于点M，求证：BM=(3)点P在运动过程中，连接BQ，交直线AC于点M，若S△ABP=3S△18．（2223七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB；△【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；∵∠ABC∴∠ABM∵AM⊥DF，∴∠AMB=90°，∠∴∠ABM∴∠BAM∵∠∠AB=__________；②AM=2，CN=7，则MN【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE=5，BE=1，连接CE，则△重难点四坐标系中构造一线三垂直模型类型一两点在轴上，“一点垂”19．（2425八年级上·青海西宁·期末）如图，在直角平面坐标系中，AB=BC，∠ABC=90°，A3,0，B20．（2425八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）【建立模型】（1）萌萌学完全等三角形的知识后，遇到了这样一个问题：如图1，∠ACB=90°，AC=BC，过点A、B作AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E．求证：【类比迁移】（2）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点A0,3，点①如图2，求点B的坐标；②如图3，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN=CM，连接DN．求证【拓展延伸】（3）如图4，点A0,3，点C-1,0，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE=∠OCF=90°，连接EF交x类型二一点在轴上，“两点垂”21．（2425八年级上·江苏南通·阶段练习）课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角尺放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直角顶点H的坐标为0,1，另一个顶点G的坐标为6,6，则顶点K的坐标为．22．（2425八年级上·广东广州·期末）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，B(a,b)（a>2，b>2），类型三无点在轴上，“一平两垂”23．（2425八年级上·福建宁德·期中）如图，△ABC顶点在同一平面直角坐标系下，A点的坐标为3,4，B点的坐标为5,9，AB=BC，AB24．（2021八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，线段DE经过点C，且AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点积累经验：（1）请写出证明过程；类比应用：（2）如图2，在平面直角坐标系中，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A的坐标为0,2，点C的坐标为1,0拓展提升：（3）如图3，△ABC在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，点A的坐标为2,1，点C类型四顶点不确定，分类讨论25．（2425八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，A-2,0，B0,-4，以点A为直角顶点，AB为腰作等腰直角△ABC26．（2425八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A-2，0，B1，-1，连接AB，现将线段AB绕点A旋转90°，点题型四手拉手模型解｜题｜技｜巧重难点一等腰三角形手拉手模型27．（2324八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．(1)发现问题：如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：(2)解决问题：如图2，若△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B、D、E在同一条直线上，AM为△DAE中DE边上的高，连接BE(3)尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长AM交BC于点P，BE与AC交于点N，连接PN，∠APB=∠NPC，AM:PM28．（2324七年级下·山东泰安·期末）综合实践在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，BE、CD交于点Q．求∠【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接重难点二等腰直角三角形手拉手模型29．（2425八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究．(1)初步探究：如图1，△AOB与△COD的顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，连接AD(2)大胆猜想：如图2，在（1）的条件下，连接AC､BD，他们猜想△AOC的面积与△(3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，当∠ACO=90°时，延长CO交BD于点G，CG=8，△BCO的面积为30．（2425八年级上·辽宁沈阳·开学考试）综合与实践某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．(1)[材料理解]如图①，分别以△ABC的边AB，AC为边向外作等腰直角△ABD和△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，AC=AE，AB(2)[深入探究]如图②，连接DE，若AC=12，AB=14，D(3)[实际应用]如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AC=AE，AB=50重难点三等边三角形手拉手模型31．（2021八年级上·广东广州·期中）如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G，BE交AD于(1)求证：△ACD(2)求∠AOB(3)求证：△CFG32．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）如图1，A，B，C三点共线，分别以AB，AC为边在BC同侧作等边三角形ABD和等边三角形AEC，则有BE=(1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(2)如图3，若把图2中“等边三角形ABD和等边三角形AEC”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形AEC”，其余条件不变，则∠BOD=______°；若DC=6，则(3)在图2中，若把“等边三角形ABD和等边三角形AEC”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，BE，DC要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，∠BOD会变化吗？若变化，设∠ABD=重难点四【跨章节】构造手拉手模型33．（2425八年级上·浙江杭州·期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC(1)如图②，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=(2)如图③若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE上的高，连接BE，求∠(3)如图④，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC34．（2122八年级上·贵州遵义·期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．(1)【模型探究】如图1，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，连接BE，CD证明：∵∠BAC∴∠BAC即∠2=∠3．在△ABE和△ACD∴△ABE≌△ACD（(2)【模型指引】如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在射线上取点D，使∠ADB=∠ACB，求∠BDC(3)【拓展延伸】如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC为任意角度，若射线BD不与腰AC相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使∠ADB=∠ACB35．（2324七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：(1)观察猜想如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE，CD，则BE(2)类比探究如图2，在△ABC中，分别以AB，AC为边作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，点D，E，C在同一直线上，AM为△ACE中(3)解决问题运用（1）（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点D，C的距离，已经测得∠ACB=45°，∠DAB=90°，AB=AD，AC=1536．（2425八年级上·湖南岳阳·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．【问题初探】（1）△ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接AD【类比探究】（2）△ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板，当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断AD与【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°,AB=AD,BC=34CD，连接AC，BD重难点五【跨章节】正方形手拉手模型37．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形ABCD的边长为3．E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d38．（2425九年级上·湖北襄阳·期中）已知正方形ABCD和正方形CEFG．(1)如图1，当正方形CEFG在正方形ABCD在外部时，连接BG，DE．求证：△BCG(2)如图2，将（1）中正方形CEFG绕点C旋转，使点G落在DE上．①若AB=10，EF=②如图3，AC与BD交于点O，连接OG．判断线段OG与AB的数量关系并说明理由．题型五半角模型解｜题｜技｜巧1)“半角”模型的核心识别条件是“共端点的等线段”和“共顶点的倍、半角”，也可以拓展到邻边相等且对角互补的四边形中.2)“半角”模型结论在证明过程中有两次重要全等:一次是旋转型全等:一次是对称型全等.只有将两次全等证明完毕，才能继续向下推进.重难点一90°半角模型39．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型(1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，40．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形ABCD是正方形，M，N分别在CD、BC上，且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点D与点B重合，得到△AEB，连接AM、AN(1)求证：△AEB(2)如图，已知△ADM旋转90°得到△AEB，如果正方形的边长是4，求41．（2324九年级上·海南海口·期末）如图，四边形ABCD是正方形，M，N分别在CD,BC上，连接AM,AN,MN且(1)补全图形：将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△(2)直接写出线段DM,BN(3)根据（2）的结论，写出证明过程；(4)如果正方形的边长是4，求△CNM重难点二120°半角模型42．（2122七年级下·广东湛江·期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质．(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且(2)探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是(3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角∠EOF(4)能力提高：如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上，且∠MAN=45°，若43．（2223八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E，F分别是(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边44．（2425七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．拓展:如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠题型六对角互补模型解｜题｜技｜巧对角互补模型:在四边形中，①一组邻边相等;②另外一组邻边的顶点所在的对角线是这组邻边组成的角的平分线;③对角互补.三者知二推一.45．（2425八年级下·内蒙古通辽·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等．方法是构造旋转全等，如果问题中有“45°，60°”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查．(1)【问题解决】如图①，∠AOB=∠CPD=90°，PD=PC，小明同学从P点分别向OA，OB作垂线PE，(2)【问题探究】如图②，若∠AOB=120°，∠CPD=60°，PD=PC，(3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形ABCD外一点，∠CPD=90°，对角线AC，BD交于点O，连接OP，且OP=246．（2324九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“45°，60°”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．(1)【问题解决】如图①，∠AOB=∠CPD=90°，OP平分∠AOB，小明同学从P点分别向OA，OB作垂线PE，PF，由此得到正方形OFPE，与(2)【问题探究】如图②，若∠AOB=120°，∠CPD=60°，OP平分∠AOB，OD(3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形ABCD外一点，∠CPD=90°，∠PCD=30°，对角线AC，BD交于点O，连接OP，且OP=题型七婆罗摩笈多模型重难点一已知垂直47．（广东省肇庆市20232024学年八年级上学期数学竞赛试题）如图，△ABC中，以AB、AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH⊥BC于H交FG于点P48．（2425八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△(2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点(3)如图2，∠ADC=∠EDF=90°，AD=DC，DE=DF，连接AC，EF，△AFD的面积为S重难点二已知中点49．（2122八年级上·湖北鄂州·期中）婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就．婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德．婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：①图1中S△ABC＝S△ADE；②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；

③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．50．（2526八年级上·吉林长春·开学考试）【背景问题】老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=3,AD=2，若小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使AD=DE，连接BE．由已知和作图能得到△EDB（1）请根据小明的方法思考，直接写出AC可能的长=__________（写一个即可）；【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F,AC=BF【深入探究】（3）如图③，在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE，且∠ACB=∠DCE=90∘题型八与角平分线有关的热考模型解｜题｜技｜巧遇到角平分线问题时，牢记以下做辅助线的口诀:1）图中有角平分线，可向两边做垂直；2）图中有角平分线，对折一看关系现；3）角平分线加垂线，三线合一试试看；4）角平分线平行线，可得等腰三角形.重难点一角平分线+垂一边51．（2021八年级上·湖北孝感·期末）如图，∠D=∠C=90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB52．（2425八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=40∘，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交(1)求证：DE平分∠ADC(2)若AB=6，AD=5，重难点二角平分线+分垂线53．（2425八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE是∠ABC的角平分线，(1)求证：BE=2(2)连接AD，若AB=4，S△BDC54．（2023·山西大同·模拟预测）阅读与思考下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：通过构造全等三角形来解决图形与几何中的问题在图形与几何的学习中常常会遇到一些问题无法直接解答，需要作辅助线构造全等三角形才能得到解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交，构造全等三角形，再运用全等三角形的性质解决此问题．例：如图1，D是△ABC内的点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD．若该问题的解答过程如下：解：如图2，延长CD交AB于点E．∵AD平分∠BAC，∴∠∵AD⊥CD，∴在△ADE和△ADC∴△ADE∴S△ADE=S△任务：(1)上述解答过程中的“依据*”是指；(2)请将上述解答过程的剩余部分补充完整；(3)如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD的延长线于点

重难点三角平分线+截线55．（2425七年级下·河南郑州·期末）（1）观察发现如图1，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A与∠C互补，∠A=90°，则DA（2）性质探究如图2，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A与∠C互补，∠A≠90°，则（1）中DA（3）问题拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，AD=256．（2223八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD

(1)求证：CD=(2)若∠B=75°，求重难点四角平分线+平行线57．（2122八年级上·贵州遵义·期末）如图：∠AOB=30°，点P是∠AOB角平分线上一点，过点P作PC平行OA交OB于点C，PD⊥OA(1)求证：△OPC(2)求PD的长．58．（2425八年级上·辽宁辽阳·期中）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC(1)求证：△BEO(2)若AB=5，AC=4，求期中重难突破练（测试时间：30分钟）1．（2425七年级下·湖南长沙·期末）一线三垂直模型是初中数学中常见的几何模型，这个模型的关键是抓住“同一直线”和“三个垂直”的特点，通常需要构造三垂直证明三角形全等从而探究出线段的长度，位置关系等问题．(1)如图1，BD⊥DE于点D，BA⊥AC，CE⊥DE于点(2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，连接BC，DE过点A作直线AF⊥BC于点F交DE于点(3)如图3，∠CAE=∠BAD=90°，且AC=AE，AB=AD，连接BC，DE记△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，①求S3②如图3，∠ACB，∠CAB的平分线CM，AN交于点O，若BC=8，△ABC的周长为2．（2425七年级上·山东泰安·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，求证：CD=CE．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过C请你参考小颖的解题思路写出证明过程．【类比分析】（2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分【学以致用