素养提升9⇒圆周运动的临界极值问题-【物理】2025版三维设计一轮总复习（提升版）

CONTENTS题型一01题型二0203题型三04跟踪训练·巩固提升01题型一水平面内圆周运动的临界极值问题物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某

些力（如拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理量或

运动状态的突变，即出现临界状态。1.常见的临界情况（1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与

盘间恰好达到最大静摩擦力。（2）物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。（3）绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直（意味着绳上

无弹力）；绳上拉力恰好为最大承受力等。2.分析方法分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，

分析各量的变化，找出临界状态。确定了物体运动的临界状态和临

界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程

求解。【例1】

（多选）如图所示，两个质量相同的小物块A、B（可视为

质点），用一根长为3l的细线（不计质量）相连，放在绝缘的水平圆

形转台的一条直径上，A、B与转台间的动摩擦因数都是μ。转台可绕

过圆心的竖直轴OO'以角速度ω逆时针转动（俯视），且A、B到转轴

的距离分别为l和2l。初始时，A、B间的连接细线恰好拉直但没有张

力，转台的角速度ω极为缓慢地增大，设最大静摩擦力等于滑动摩擦

力，重力加速度为g，则（

）A.当ω＜时，连接细线不会产生张力B.当＜ω＜时，随着ω的缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐

渐减小C.若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，

当ω＝时，物块A、B一定会和转台保持相对静止D.若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，

当ω＝时，物块A、B已经与转台发生相对滑动

1.（多选）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的甲、乙两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O'分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径之比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块与轴心O、O'的间距分别为RA、RB，且RA＝2RB。若乙轮盘由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增大，则下列说法正确的是（

）A.滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ωA∶ωB＝1∶3B.滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的大小之比为aA∶aB＝

2∶9C.转速增大后滑块B先发生滑动D.转速增大后两滑块一起发生滑动

2.（多选）（2024·湖北六县质检）如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为m1＝5kg的小球（可视为质点），另一端和细绳BC（悬点为B）在结点C处共同连着一质量为m2的小球（可视为质点），长细绳能承受的最大拉力为60N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6N。圆筒顶端A到C点的距离l1＝1.5m，细绳BC刚好被水平拉直时长l2＝0.9m，转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度，在BC绳被拉直之前，用手拿着m1，保证其位置不变，在BC绳被拉直之后，放开m1，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（

）A.在BC绳被拉直之前，AC绳中拉力逐渐增大B.当角速度ω＝rad/s时，BC绳刚好被拉直C.当角速度ω＝3rad/s时，AC绳刚好被拉断D.当角速度ω＝4rad/s时，BC绳刚好被拉断

02题型二竖直面内圆周运动的临界极值问题1.两类模型对比轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）实例球与绳连接、水流星、沿内轨

道运动的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动

等图示

轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）受力示意图

F弹向下或等于零

F弹向下、等于零或向上力学方程mg＋F弹＝mmg±F弹＝m轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）临界特征F弹＝0mg＝m即vmin＝v＝0即F向＝0F弹＝mg轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）讨论分析（1）最高点，若

v≥，F弹＋mg

＝m，绳或轨道对

球产生弹力F弹；（2）若v＜，

则不能到达最高

点，即到达最高点

前小球已经脱离了

圆轨道（1）当v＝0时，F弹＝mg，F弹背

离圆心；（2）当0＜v＜时，mg－F弹＝

m，F弹背离圆心并随v的增大而

减小；（3）当v＝时，F弹＝0；（4）当v＞时，mg＋F弹＝

m，F弹指向圆心并随v的增大而

增大2.解题技巧（1）物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力

列牛顿第二定律方程；（2）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处

速度关系；（3）注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支

持力，再根据牛顿第三定律求出压力。【例2】如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4

m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改

变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10

m/s2，下列说法正确的是（

）A.a＝2.5B.b＝40C.若小球能通过轨道上的C点，则

其落地点距A点的最大水平距离为0.80mD.当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm

1.（多选）一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运

动，如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为

FN，小球的速度大小为v，其FN－v2图像如图乙所示。已知重力加

速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正

确的是（

）A.小球的质量为B.圆形管道内侧壁半径为－rC.当v2＝d时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为－bD.小球在最低点的最小速度为2

2.（2024·广东汕头一模）如图甲所示，被称为“魔力陀螺”玩具的

陀螺能在圆轨道外侧旋转不脱落，其原理可等效为如图乙所示的模

型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的铁球（视为质

点）沿轨道外侧运动，A、B分别为轨道的最高点和最低点，轨道对

铁球的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，

重力加速度为g，则（

）A.铁球绕轨道可能做匀速圆周运动B.由于磁力的作用，铁球绕轨道运动过程中机械能不守恒C.铁球在A点的速度必须大于D.轨道对铁球的磁性引力至少为5mg，才能使铁球不脱轨

03题型三斜面上圆周运动的临界极值问题物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力在垂直斜

面方向的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以

按以下操作，把问题简化。物体在转动过程中，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：

μmgcosθ－mgsinθ＝mω2R。【例3】

（多选）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固

定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5m处有一小物体（可

视为质点）与圆盘始终保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦

力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2，则以下说法中正确的是

（

）A.小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小

物体在最高点处受到的摩擦力一定越大B.小物体受到的摩擦力可能背离圆心C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为，则ω的最大值是1.0rad/sD.若小物体与盘面间的动摩擦因数为，则ω的最大值是rad/s解析：小物体在最高点时，可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的

作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上（即背离圆心），也可能沿斜面

向下（即指向圆心），摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物

体在最高点处受到的摩擦力越小，故A错误，B正确；当小物体转到

圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直

向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，

则支持力FN＝mgcos30°，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos30°，根据合力提

供向心力，有μmgcos30°－mgsin30°＝mω2R，解得ω＝1.0rad/s，故C

正确，D错误。

如图所示，一倾角为θ＝30°的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表

面光滑，一轻绳的一端固定在斜面上的O点，另一端系一小球。在图

示位置垂直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运

动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，整个过程中斜

劈静止，下列说法正确的是（

）A.小球在顶端时，速度大小为B.小球在底端时，速度大小为C.小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变D.小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和

小球在斜面上受重力、支持力和绳的拉力作用做变速圆周运动、其所

受重力与斜面的支持力大小和方向均保持不变，绳的拉力大小和方向

均不断变化，根据牛顿第三定律，以斜劈为研究对象，斜劈在小球恒

定的压力、绳沿斜面方向不断变化的拉力、地面的支持力、摩擦力和

自身的重力作用下保持平衡，绳的拉力沿斜面方向不断变化，故其在

水平和竖直方向上的分量也在不断变化，根据斜劈的平衡条件可知，

它受到的水平方向上的摩擦力大小是变化的，地面对斜劈支持力的大

小不一定等于小球和斜劈重力之和，选项C、D错误。04跟踪训练·巩固提升1.（2024·上海统考一模）如图所示，用光电门传感器和力传感器研

究小球经过拱桥最高点时对桥面压力FN的大小与小球速度的关系。

若光电门测得小球的挡光时间t，多次实验，则t越短（

）A.FN越小，且大于小球重力B.FN越大，且大于小球重力C.FN越小，且小于小球重力D.FN越大，且小于小球重力12345678910

123456789102.（多选）如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方

向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1m的细线一端系在锥体顶端，另

一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速

圆周运动，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力，

则（

）A.小球受重力、支持力、拉力和向心力B.小球可能只受拉力和重力C.当ω＝rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零D.当ω＝2rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用12345678910

123456789103.（2024·重庆西南大学附属中学模拟）如图所示，在倾角为α＝30°的

光滑斜面上有一长为L＝0.8m的轻杆，杆一端固定在O点，可绕O点

自由转动，另一端系一质量为m＝0.05kg的小球（可视为质点），

小球在斜面上做圆周运动，g取10m/s2。要使小球能到达最高点A，

则小球在最低点B的最小速度是（

）A.4m/sB.2m/sC.2m/sD.2m/s12345678910

123456789104.（2024·四川绵阳诊断）如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定

质量均为m的球A和B（均可视为质点），光滑水平转轴穿过杆上距

球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转

动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，

重力加速度为g，则球B在最高点时（

）A.球B的速度为零B.球A的速度大小为C.水平转轴对杆的作用力为1.5mgD.水平转轴对杆的作用力为2.5mg12345678910

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5.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起，如图所示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半

径方向被拉直，让圆盘从角速度为0开始转动，角速度逐渐增大，

两物体与圆盘不发生相对滑动，（两物体均可看作质点，重力加速

度为g）则下列说法正确的是（

）12345678910A.随着角速度的增大，物体乙受到的摩擦力先增加再逐渐减少B.随着角速度的增大，物体甲始终受到摩擦力C.圆盘旋转的角速度最大不得超过D.圆盘旋转的角速度最大不得超过12345678910

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A.1rad/sB.rad/sC.rad/sD.5rad/s12345678910

123456789107.如图所示，放在水平转台上可视为质点的物体A、B、C随转台一起

以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与C之

间的动摩擦因数为2μ、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ，A、C以

及B离转台中心的距离分别为1.5r、r。设最大静靡擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（

）A.物体A受到的摩擦力大小为6μmgB.转盘对物体C的摩擦力大小为9mω2rC.维持物体A、B、C能随转台一起转动，转盘的角速度应满足ω≤D.随着转台角速度增大，最先被甩出去的是物体B12345678910

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123456789108.（2024·湖南邵阳模拟）一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球

表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端

固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球一初速度，使其绕O点

在竖直面内做半径为r的圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变

化规律如图乙所示。设R、m、r、引力常量G以及F1和F2为已知

量，忽略各种阻力。以下说法正确的是（

）12345678910A.该星球表面的重力加速度为B.小球在最高点的最小速度为C.该星球的密度为D.卫星绕该星球的第一宇宙速度为12345678910

123456789109.在如图所示的装置中，轻绳的上端系在竖直杆的