2026高考数学一轮复习第58讲　随机事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 【正文】听课 学生用

《全品高考复习方案》第58讲随机事件的相互独立性与条件概率、全概率公式【课标要求】1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义,利用独立性计算概率.

2.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.

3.了解条件概率与独立性的关系.

4.会利用乘法公式计算概率.

5.会利用全概率公式计算概率.1.事件的相互独立性(1)定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=成立,则称事件A与事件B相互独立.

(2)判断方法:①根据定义;②根据实际意义;③应用结论:当事件A,B相互独立时,事件A与事件B,事件A与事件B,事件A与事件B也相互独立.(3)注意:公式P(AB)=P(A)P(B)不能推广到多个事件.当事件A1,A2,…,An两两独立时,P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)不一定成立.2.条件概率(1)定义:设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.

(2)性质:设P(A)>0,则①P(Ω|A)=;

②如果B与C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=;

③设B和B互为,则P(B|A)=1-P(B|A).

(3)注意:①乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=.

②特例:当P(A)>0时,当且仅当事件A与B时,有P(B|A)=P(B).

3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=∑i=14.*贝叶斯公式设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)=P(Ai)P常用结论1.乘法公式的推广:设Ai(i=1,2,3)表示事件,且P(Ai)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2),其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2同时发生时A3发生的概率,P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率.2.事件的拆分:对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn.题组一易错辨析判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡,这些灯泡的外形都相同且灯口向下放置,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下,第2次抽到卡口灯泡的概率为944. ((2)甲、乙两人各射击1次,击中目标的概率分别是23和12,假设两人击中目标与否相互之间没有影响,每人各次击中目标与否相互之间也没有影响,若两人各射击4次,则甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为118.(3)某学校在甲、乙、丙三个地区录取学生,已知甲、乙、丙三个地区的录取比例分别为13,15,16,且三个地区的学生人数相同.现从这三个地区的学生中随机抽取一个人,则此人被录取的概率为730题组二教材改编1.已知事件A与B相互独立,P(A)=0.6,P(AB)=0.42,则P(B)=.

2.交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查,发现该地区上班时间拥堵的概率为415,下班时间拥堵的概率为215,上、下班时间都拥堵的概率为110.设事件A=“上班时间拥堵”,事件B=“下班时间拥堵”,则P(B|A)=,P(A|B)3.学校食堂分设有一、二餐厅,学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐,根据统计:第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6,第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7,那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为.

相互独立事件的概率例1(1)[2024·安徽黄山期末]设事件A与事件B满足P(A)=23,P(B)=34,P(AB)=12,则下列说法正确的是A.事件A与事件B不是相互独立事件B.事件A与事件B不是相互独立事件C.事件A与事件B是相互独立事件D.事件A与事件B不是相互独立事件(2)甲、乙两个水文站同时作水文预报(结果互不影响),如果甲站、乙站各自预报的准确率分别为0.8,0.7,那么在一次预报中,甲站、乙站预报都错误的概率为.

总结反思1.两个事件是否相互独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B为相互独立事件.2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定两个事件是相互独立的;(2)确定两个事件可以同时发生;(3)求出每个事件发生的概率,再求积.【对点演练1】[2024·广东广州期末]甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛,每局比赛两人对战,另一人轮空,没有平局,每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛.约定先赢两局者获胜,比赛随即结束,各局比赛结果互不影响,已知每局比赛甲胜乙的概率为34,乙胜丙的概率为23,甲胜丙的概率为(1)若第一局由乙、丙对战,求甲获胜的概率;(2)若第一局由甲、乙对战,求甲获胜的概率.条件概率与乘法公式例2(1)[2024·江苏南京模拟]已知在8个球中,有2个白球,6个红球,每次任取1个球,取出后不再放回,则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为 ()A.356 B.128 C.142(2)有一批灯泡,寿命超过500小时的概率为0.9,寿命超过800小时的概率为0.8,则在寿命超过500小时的灯泡中,寿命能超过800小时的概率为 ()A.89 B.19 C.79 总结反思求条件概率的常用方法:(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=P(AB)P(A(2)缩小样本空间法:先求事件A所包含的样本点个数n(A),再求事件AB所包含的样本点个数n(AB),则P(B|A)=n(【对点演练2】(1)经统计,某市每年四月份降雨的概率为415,出现四级以上大风天气的概率为115,在出现四级以上大风天气的条件下降雨的概率为116,则在已知降雨的条件下,出现四级以上大风天气的概率为A.1564 B.132 C.164(2)甲袋子中装有5个球,它们除颜色外都相同,其中3个白球,2个黑球.乙袋子中装有5个球,它们除颜色外都相同,其中2个白球,3个黑球.从甲袋子中随机取出1个球放入乙袋子中,之后从乙袋子中随机取出1个球.那么在从甲袋子中取出1个白球的条件下,从乙袋子中也取出1个白球的概率是 ()A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6全概率公式例3(1)[2024·山东临沂期末]甲箱中有2个白球和3个黑球,乙箱中有2个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱中,再从乙箱中随机取出1个球,则从乙箱中取出的是白球的概率是()A.1225 B.1321 C.15 (2)某饮料厂生产A,B两种型号的饮料,已知A种饮料的生产量是B种饮料的生产量的2倍,且A,B两种型号的饮料中的碳酸饮料的比例分别为60%,40%,若从该厂生产的饮料中任选一瓶,则选到非碳酸饮料的概率为 ()A.715 B.815 C.415总结反思两个事件的全概率问题求解策略及步骤:(1)拆分:将样本空间拆成互斥的两部分,如A1,A2(或A,A).(2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率.(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).【对点演练3】(1)已知某地市场上供应的一种电子产品中,甲厂产品占12,乙厂产品占14,丙厂产品占14,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是90%,丙厂产品的合格率是80%,则从该地市场上买一个该电子产品,此产品是次品的概率是A.0.925 B.0.03 C.0.9 D.0.1(2)为弘扬五四爱国主义精神,某学校开展了爱国主义知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中,甲、乙、丙三名同学回答一道有关历史的问题,每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率为13,甲、丙两人都回答正确的概率是14,乙、丙两人都回答正确的概率是①若规定三名同学都回答这个问题,求甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率;②若规定三名同学抢答这个问题,已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为16,13,12贝叶斯公式例4某地区居民的肝癌发病率为0.1%,现用甲胎蛋白法进行调查,医学研究表明,化验结果可能存在误差.已知患有肝癌的人的化验结果99.9%呈阳性,而没有患肝癌的人的化验结果0.1%呈阳性.现在某人的化验结果呈阳性,则他患肝癌的概率是 ()A.0.999 B.0.9 C.0.5 D.0.1总结反思把事件B看作某一过程的结果,把A1,A2,…,An看作该过程的若干个原因,如果已知事件B已经发生,要求此时是由第i(i=1,2,…,n)个原因引起的概率,则用贝叶斯公式求解(即求P(Ai|B)).【对点演练4】[2024·湖南邵阳模拟]某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A,B两个信封中,A信封中有