湖南省邵阳市邵东市2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省邵阳市邵东市2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】由题意得，，即直线的斜率为，所以直线的倾斜角的正切值为，则直线的倾斜角为.故选：C.2.已知双曲线：的离心率为，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得，双曲线：是焦点在轴的双曲线，所以，，所以，解得，所以，所以焦点坐标为.故选：D.3.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】关于平面对称的点的特点是横坐标与竖坐标不变，纵坐标相反，故点关于平面对称的点的坐标是.故选：A.4.设数列满足，则（）．A.4 B.4 C. D.【答案】D【解析】由，则，则，，则.故选：D.5.已知函数,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,令,,,故选:A.6.设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（）A.7 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】设公差为，由题意可得，即，解得舍去，或，所以，可得.故选：C.7.若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.设切点为，所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），，此时点到直线距离.故选：D.8.已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点坐标为，由题意可知，，，则，，，.在中，由余弦定理可得：，即，解得．因为，则．因为，所以，解得．又因为点P在双曲线，所以，则.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知分别为直线方向向量（不重合），，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】若两直线不重合，则其方向向量平行（垂直）是两直线平行（垂直）的充要条件，故A、B正确；若两平面不重合，则其法向量平行（垂直）是两平面平行（垂直）的充要条件，故C正确，D错误.故选：ABC.10.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（）A.焦点的坐标为B.过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点C.直线与抛物线相交所得弦长为8D.抛物线与圆交于两点，则【答案】ACD【解析】由题可知抛物线方程为对于A，焦点的坐标为，故A正确.对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误.对于C，，弦长为，故C正确.对于D，，解得（舍去），交点，有，故D正确.故选：ACD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.有两个极值点 B.有两个零点C.若，则 D.若方程有两个根，则【答案】AC【解析】对于选项A：由，得．令，得，两边取自然对数整理得，设，则，当时，单调递减，且；当时，，单调递增，且；可知函数有两个变号零点，所以有两个极值点，故A正确．对于选项B：由选项A可知，在上单调递增，在上单调递减，当时，，所以可作出函数的大致图象如图所示，所以只有一个零点，故B错误；对于选项C：由选项B可知在0,1上单调递增，当时，，所以，故C正确；选项D：根据选项B中函数的大致图象可知，若方程有两个根，则或，故D错误；故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线与垂直，则实数__________.【答案】2【解析】直线的斜率，的斜率，，得．13.函数​的最小值为_____.【答案】【解析】的定义域为，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，.14.已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为_______________.【答案】18【解析】由知：或.当时，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，则，解得；当时，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，，则，解得：（舍）；若数列是等差与等比的交叉数列，又，；若要最小，则，，，，，，，，，，，，，，，，，，此时，故最小值为18.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆过点，，且直线平分圆的周长.（1）求圆的方程；（2）过点的直线和圆交于，两点，若，求直线的方程.解：（1）由，为线段的垂直平分线的方程.由，即圆心.又所以圆的标准方程为.（2）过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得弦长为，不符合题意；当直线的斜率存在时，过点的直线的斜率为，则直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，因为直线和圆交于，两点.若，由圆的弦长公式，可得，解得或，所以直线的方程为或.16.如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，是的中点，在线段上，且.（1）求证：.（2）求平面与平面夹角的正弦值.（1）证明：连接，四边形是正方形，，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面，.（2）解：由（1）知，，，，，两两垂直如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，平面，平面的一个法向量为，设，，，，设平面的法向量为，则，取，则，，平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，平面与平面夹角的正弦值为.17.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）由题设当时，，所以，得，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）若，不等式恒成立，则，，当时，对于，f'x≥0，所以在上单调递增，所以时，，即满足题意；当时，若，则f'x<0，在上单调递减，所以，与矛盾，不合题意.综上所述，实数的取值范围为.18.已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）设，记数列的前项和，求证：.解：（1）由题设，又，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，可得，故.（2）由（1）知，所以，则.（3）由（2）得，则，所以，两式相减得：，即，所以，因为，所以.19.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点的轨迹方程；（2）过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下，求四边形面积的最小值．解：（1）取点，则有，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以动点的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以，，所以，所以动点的轨迹方程为．（2）当垂直于轴时，的中点，直线为轴，与椭圆，无交点，不合题意，当直线不垂直于轴时，不妨设直线的方程为，，，由，得，所以△，所以，，