2024-2025学年高中数学 3.1.1 椭圆及其标准方程说课稿 新人教A版选择性必修第一册

2024-2025学年高中数学3.1.1椭圆及其标准方程说课稿新人教A版选择性必修第一册一、设计意图

本节课旨在通过引导学生回顾椭圆的定义，理解椭圆的标准方程及其几何意义，掌握求椭圆的标准方程的方法，并能将实际问题转化为椭圆问题，培养学生的几何直观能力和数学建模能力。通过实例讲解和练习，让学生深刻理解椭圆及其标准方程在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。二、核心素养目标

培养学生运用数学语言描述现实世界中的椭圆现象，提升几何直观能力；通过探索椭圆的几何性质，发展逻辑推理能力；在解决实际问题的过程中，强化数学建模意识，提高数学应用能力；同时，通过小组合作学习，培养团队协作和沟通表达的能力。三、学情分析

本节课面对的是高中一年级的学生，他们已经具备了一定的几何知识基础，对圆的性质和方程有一定的了解。在知识层面，学生对平面几何中的基本图形和性质有一定的认识，能够运用坐标法解决一些简单问题。然而，对于椭圆这一较复杂的曲线，学生可能缺乏直观感受和深入理解。

在能力方面，学生的逻辑推理能力和抽象思维能力正在逐步发展，但尚未完全成熟。他们能够通过观察和操作理解几何图形，但独立推导和证明的能力还有待提高。此外，学生在数学建模方面的基础较为薄弱，需要通过具体实例来提升将实际问题转化为数学模型的能力。

在素质方面，学生的学习习惯和自主学习能力存在差异。部分学生可能对几何图形的学习缺乏兴趣，依赖教师的讲解，而缺乏主动探究的精神。部分学生可能存在一定的学习焦虑，对于新知识的接受和掌握较为缓慢。

这些学情特点对本节课的学习有一定影响。首先，教学过程中需要注重激发学生的学习兴趣，通过直观演示和实际应用来增强学生对椭圆的感性认识。其次，教学中应注重培养学生的逻辑推理和抽象思维能力，通过引导和启发，帮助学生逐步掌握椭圆的性质和方程。最后，针对学生个体差异，教师应采用分层教学，提供个性化的学习支持，确保每个学生都能在原有基础上有所提高。四、教学资源准备

1.教材：确保每位学生都有本节课所需的人教A版选择性必修第一册教材，以便学生能够跟随课本内容学习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的椭圆图片、标准方程的图表以及相关视频，以帮助学生直观理解椭圆的几何特性和方程的推导过程。

3.教学软件：使用几何画板等软件，展示椭圆的动态变化和方程的几何意义，提高学生的几何直观能力。

4.教室布置：设置小组讨论区和实验操作台，便于学生分组讨论和动手操作，加强实践环节。五、教学过程

一、导入新课

（老师）同学们，上一节课我们学习了圆的定义和方程，今天我们将继续探索平面曲线中的另一种特殊图形——椭圆。请大家回忆一下圆的定义，思考一下圆的方程是如何得到的。

（学生）圆的定义是以定点为圆心，定长为半径的所有点的集合。

（老师）很好，圆的定义告诉我们，圆是由一个固定的点和到这个点的距离相等的所有点组成的。那么，如果我们将这个距离改为一个固定的和，即两点的距离之和等于一个常数，会得到什么样的图形呢？

（学生）可能会得到一个椭圆形的图形。

（老师）非常正确，今天我们就来探究这个椭圆的性质，并学习如何写出椭圆的标准方程。

二、椭圆的定义

（老师）同学们，我们先来回顾一下椭圆的定义。椭圆是由平面上两个定点（焦点）到任意一点的距离之和为常数（大于两定点之间的距离）的所有点的集合。

（老师）现在请大家打开课本，我们一起来看椭圆的定义。请一位同学上来板书椭圆的定义。

（学生）椭圆的定义是：平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。

（老师）非常好，这就是椭圆的定义。大家注意，这里的常数必须大于两定点之间的距离。

三、椭圆的性质

（老师）接下来，我们探究椭圆的一些基本性质。首先，请同学们观察课本中的图3.1-1，看看你能发现哪些性质？

（学生）我发现椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和是相等的。

（老师）非常正确，这就是椭圆的第一条性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数，且这个常数等于椭圆的长轴的长度。

（老师）接下来，我们来看椭圆的短轴。请同学们思考一下，椭圆的短轴与长轴有什么关系？

（学生）我觉得椭圆的短轴的长度应该小于长轴的长度。

（老师）你的想法很合理。实际上，椭圆的短轴的长度是椭圆的短半轴的长度，而长轴的长度是椭圆的长半轴的长度。它们之间的关系是：长半轴的长度大于短半轴的长度。

（老师）现在，我们再来看椭圆的离心率。请同学们观察课本中的图3.1-2，看看你能从中得出什么结论？

（学生）我发现离心率是小于1的。

（老师）没错，椭圆的离心率是介于0和1之间的一个数。离心率越小，椭圆越接近圆；离心率越大，椭圆越扁平。

四、椭圆的标准方程

（老师）现在我们已经了解了椭圆的定义和性质，接下来我们来学习如何写出椭圆的标准方程。

（老师）首先，请同学们回顾一下圆的标准方程。圆的标准方程是$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$是圆心的坐标，$r$是圆的半径。

（老师）椭圆的标准方程与圆的标准方程类似，也是以坐标原点为中心的。椭圆的标准方程有两种形式，分别是：

（1）横轴在x轴上的椭圆方程：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$，其中$a$是半长轴的长度，$b$是半短轴的长度。

（2）纵轴在y轴上的椭圆方程：$\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1$。

（老师）请同学们注意，椭圆的标准方程中的$a$和$b$必须满足$a>b$的条件。

五、实例讲解

（老师）现在我们通过一些实例来巩固椭圆的标准方程。

（老师）例如，已知椭圆的一个焦点为$(4,0)$，另一个焦点为$(-4,0)$，且椭圆的长轴长度为10，求椭圆的标准方程。

（学生）根据椭圆的定义，我们知道两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴的长度，即$2a=10$，所以$a=5$。由于两个焦点的横坐标分别为4和-4，所以椭圆的中心在x轴上，即$(h,k)=(0,0)$。根据焦点和中心的距离，我们可以得出$b^2=a^2-c^2=5^2-4^2=9$。因此，椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$。

（老师）非常好，同学们已经成功求出了这个椭圆的标准方程。现在请大家尝试解答下面的题目。

六、课堂练习

（老师）下面我们进行课堂练习，请大家独立完成以下题目。

1.求椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$的焦点坐标。

2.求椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}=1$的离心率。

3.已知椭圆的一个焦点为$(3,0)$，另一个焦点为$(-3,0)$，且椭圆的长轴长度为8，求椭圆的标准方程。

（学生）经过独立思考和讨论，同学们完成了练习题，并得出了答案。

七、课堂小结

（老师）今天我们学习了椭圆的定义、性质和标准方程。通过实例讲解和练习，大家已经掌握了求椭圆的标准方程的方法。在今后的学习中，希望大家能够熟练运用椭圆的知识，解决实际问题。

（学生）我们一定会努力学习和掌握椭圆的知识。

八、布置作业

（老师）为了巩固今天所学的知识，请大家完成以下作业。

1.复习椭圆的定义和性质。

2.解答课本上的例题和习题。

3.选择一道与椭圆相关的实际问题，尝试将其转化为数学模型，并求解。

（学生）明白了，我们会认真完成作业。六、知识点梳理

1.椭圆的定义

-椭圆是由平面上两个定点（焦点）到任意一点的距离之和为常数（大于两定点之间的距离）的所有点的集合。

-定点称为焦点，常数称为椭圆的长轴长度。

2.椭圆的性质

-椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

-椭圆的短轴长度小于长轴长度。

-椭圆的离心率e介于0和1之间，e值越小，椭圆越接近圆；e值越大，椭圆越扁平。

-椭圆的焦距f等于两焦点之间的距离，满足f=2c，其中c为焦点到中心的距离。

3.椭圆的标准方程

-横轴在x轴上的椭圆方程：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$，其中$(h,k)$是椭圆中心坐标，$a$是半长轴长度，$b$是半短轴长度。

-纵轴在y轴上的椭圆方程：$\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1$。

-$a^2=b^2+c^2$，其中$a$为半长轴长度，$b$为半短轴长度，$c$为焦点到中心的距离。

4.椭圆的几何性质

-椭圆的焦点、长轴、短轴、离心率等几何元素之间的关系。

-椭圆的对称性：椭圆关于其长轴和短轴都是对称的。

-椭圆的渐近线：椭圆的渐近线是两条通过椭圆中心且与长轴和短轴垂直的直线。

5.椭圆的实际应用

-椭圆在光学、天文学、工程学等领域中的应用。

-椭圆在建筑设计、图像处理、数据分析等方面的应用。

6.求椭圆的标准方程

-已知焦点坐标和长轴长度求椭圆的标准方程。

-已知椭圆中心坐标、长轴长度和离心率求椭圆的标准方程。

-已知椭圆上任意一点的坐标和长轴长度求椭圆的标准方程。

7.椭圆的性质证明

-利用椭圆的定义证明椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

-利用椭圆的几何性质证明椭圆的对称性、渐近线等性质。

8.椭圆与双曲线的关系

-椭圆和双曲线都是圆锥曲线，它们之间的关系可以通过焦点、离心率等几何元素来体现。

9.椭圆与圆的关系

-椭圆是圆的推广，当椭圆的离心率e等于0时，椭圆退化为圆。

10.椭圆的图像绘制

-利用坐标轴和椭圆的标准方程绘制椭圆的图像。

-利用计算机软件或图形计算器绘制椭圆的图像。七、反思改进措施

反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学引入：在教学过程中，我尝试引入实际生活中的椭圆案例，如建筑设计、天文观测等，让学生通过案例了解椭圆的实际应用，提高他们的学习兴趣和解决问题的能力。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体技术，通过动画演示椭圆的生成过程，以及椭圆的几何性质变化，帮助学生直观理解抽象的数学概念。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对椭圆的几何性质理解不够深入：在教学过程中，我发现部分学生对椭圆的几何性质理解不够深入，对焦点、离心率等概念的应用不够熟练。

2.教学互动不足：课堂上的互动环节相对较少，学生参与度不高，这可能会影响他们对知识的吸收和运用。

3.评价方式单一：目前主要依靠书面作业和考试来评价学生的学习成果，缺乏对学生实际应用能力的评估。

反思改进措施（三）改进措施

1.深化椭圆几何性质的教学：通过组织小组讨论、问题解答等方式，引导学生深入探讨椭圆的几何性质，如利用几何画板等工具进行动态演示，帮助学生理解椭圆的对称性、渐近线等特性。

2.增强课堂互动：在教学中，我将设计更多互动环节，如小组合作