2025年人教版初中八年级数学上册同步专题讲义：专题12.3 角的平分线的性质（教师版）

专题12.3角的平分线的性质1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性.3.掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解决简单的问题.知识点1.尺规作角平分线尺规作角平分线方法(重要):已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N.(2)分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求.2.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。【微点拨】应用角平分线的性质定理所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.角平分线的性质定理的作用是证明线段相等.【知识拓展1】角平分线的作法及应用点C的距离与点P到边AB的距离.(保留作图痕迹，不写作法).【分析】作∠BAC的平分线交BC于点P即可求解.【详解】解：如图，点P即为所求.A为【点睛】本题考查的是作图-基本作图，以及角平分线的性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键.【即学即练】1.(2021·江苏南通市·八年级期末)如图①,已知∠ABC,用尺规作它的角平分线(如图②).→第1步：以B为圆心，以r为半径画弧，分别交射线BA,BC于点D,E;第2步：分别以D,E为圆心，以m为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点F;第3步：画射线BF.射线BF即为所求.下列说法正确的是()A.r有最小限制，m无限制B.r>0,的长C.r..0,D.连接DE,则DE垂直平分BF【分析】直接根据尺规作图作角平分线的方法即可得出结论r>0,的长.【详解】解：以B为圆心画弧时，半径r必须大于0,分别以D,E为圆心，以m为半径画弧时，m必须大于DE的长，否则两弧没有交点.故选：B.【点睛】本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握作角平分线的步骤及方法是解题的关键.2.(2022·河南洛阳·八年级期末)学习角的平分线之后，老师留了一道思考题：还有没有其他作角平分线的方法(不限于圆规和直尺).下面是两位同学给出的两种方法：(1)同学1:我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1,在已知的∠AOB上，分别取OC=OD.再分别过点C,D作OA,OB的垂线，交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB.(2)同学2:我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2,以0为圆心，以任意长为半径画弧与OA,OB交于点C,D,再以任意长为半径画弧与OA,OB交于点E,F,连接CF,DE交于点P,连接OP,则OP平分∠AOB.你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗?若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由.图2【答案】(1)见解析(2)同学2这种作角平分线的方法正确【答案】(1)见解析(2)同学2这种作角平分线的方法正确.证明过程见解析【分析】(1)由作法得OC=OD,则可判断Rt△OPC≌Rt△OPD,从而得到OP平分∠AOB;(2)由作法得OC=OD,OE=OF则可判断△OCF≌△ODE,可得到∠CEP=∠OFP,因此可证明(1)证明：由作法得OC=OD,在Rt△OPC和RtOPD中，,∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL),(2)解：同学2这种作角平分线的方法正确.理由如下：由作法得OC=OD,OE=OF,可知CE=OF.在A.65°B.60°C.55°100°,再由Rt△EFA≌Rt△EMA,即可求解.EMB在Rt△EFA和Rt△EMA中，∴∴Rt△EFA≌Rt△EMA(HL),∴∠FAE=∠EAC=50【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.【即学即练】【答案】8【答案】8∴△AED的周长为：AD+DE+AE=AC+AE=AB=8cm.故答案为：8【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，证明BC=BE=AC.【知识拓展3】角平分线的性质与等积法的长分别是10,15,20,其三条角AA【分析】过点0分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案.【详解】解：过点0分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点.∴SABo:SBco:SCAo=AB:BC:AC=10:15:20=2:3:4故答案为：2:3:4B米F【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键.【即学即练】△ABO的面积为18cm²,则△BOC的面积为()cm²【分析】过点【分析】过点O作OD⊥BC于D,OE⊥AB于E,先由根据△ABO的面积为18cm²,求出OE长，再根据角平分线的性质，得出OD=OE,求出OD长，然后根据三角形面积公式求解即可.【详解】解：如图，过点O作OD⊥BC于D,OE⊥AB于E,AEoB'CD【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.【知识拓展4】角平分线的性质与实际应用油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有()【答案】C【分析】根据角平分线的性质，作三角形的三外角平分线，有三个交点，内角平分线有一个交点，但除去深水湖泊那个交点，共有3个.三角形内心(即三角形内角角平分线的交点)为1个位置，另外两外角平分线的交点，到三条公路的距离也相等，可找到3个，但因为有1个在深水湖泊，所以，有3个，故选：C.【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键.【即学即练】休息饮水，要使供水台到AB,BC,AC的距离相等，供水台应该选在()AA.△ABC三条角平分线的交点处B.△ABC三条中C.△ABC三条高线所在的直线的交点处D.△ABC三条边的垂直平分线的交点处【分析】由于供水台到AB,BC,AC的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点，由此即可【点睛】本题考查的是角平分线的性质的实际应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键.知识点02角平分线的判定知识点定理的几何表述：∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.2.三角形的内角平分线结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.已知如图2,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,则点P到三边AB,BC,CA的距离相等.【微点拨】1、已知AD是三角形ABC的角平分线，则有：(证明思路：2、已知：三角形ABC的角平分线交于一点P,则有：SABp:SBcp:SAcp=AB:BC:AC。【知识拓展1】角平分线的判定(实际应用)A.△ABC三边垂直平分线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.ABC三条高所在直线的交点D.ABC三条中线的交点【答案】B【分析】连接PA、PB、PC,根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，进而即可得到答案.同理PA、PC分别是∠BAC,∠ACB的角平分线，故P是△ABC角平分线交点，故选：B.【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，能熟记角平分线判定定理是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等.【即学即练】形直尺就可以作出一个角的平分线.如图：一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是()A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上D.以上均不正确【解题思路】过两把直尺的交点P作PE⊥AO,PF⊥BO,根据题意可得PE=PF,再根据角的内部到角的【解答过程】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO,PF⊥BO,【知识拓展2】角平分线的判定的运用A.125°B.135°C.105°【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB,然后求出∠OBC+∠OCB,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【详解】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE,∴点O是三角形三条角平分线的交点，在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°.【点睛】本题考查了角平分线判定定理，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用.【即学即练】【分析】利用三角形的内角和定理先求解∠ABC,再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：BD平分∠ABC,从而可得答案.【详解】解：∵∠A=90°,∠C=50°,∴∠ABC=180°-90°-50°=40°,【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键.【知识拓展3】角平分线的判定(证明)交于点P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA,交BA的延长线于点H.(1)若点P到直线BA的距离为5cm,求点P到直线BC的距离；(2)求证：点P在∠HAC的平分线上.【分析】(1)过点P作PF⊥BE于F,根据角平分线的性质即可解答；(2)根据角平分线的性质得到PF=PD,进而得到PD=PH,根据角平分线的判定定理即可证明.HAPB∴PF=PH=5cm,即点P到直线BC的距离为5cm;(2)证明：∵点P在∠ACE的平分线，PD⊥AC,PF⊥BE,∵PD⊥AC,PH⊥BA,∴点P在∠HAC的平分线上.【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，熟知角平分线的性质定理和是解题关键.【即学即练】3.(2022·江苏·八年级专题练习)已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P,过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F.(1)求证：PD=PE=PF;(2)点P在∠BAC的平分线上吗?说明理由.【分析】(1)根据角平分线的性质定理可得PE=PD,PE=PF,由此即可得证；(2)根据PD⊥AB,PF⊥AC,PD=PF,利用角平分线的判定即可得出结论.ANP【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质定理，熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题关键.F考法01角平分线的性质与全等PE⊥OB,垂足分别为D、E,点F是OC上的另一点，连接DF,EF.求证：DF=EF.全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE,再利用“边角边”证明△ODF和△OEF全等，然后利用全等【解答过程】证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE,变式1.(2022·广西南宁市·八年级期末)已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B,D两点，且∠ABC+∠ADC=180°.过点C作CE⊥AB,垂足为E.(2)如图2,当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(2)解：AD-AB=2BE,理由如下：如图2,过点C作CF⊥AD,垂足为F,(3)解：如图3,在BD上截取BH=BG,连接OH,∵BH=BG,∠OBH=∠OBG,OB=OB∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，∴点O到AD,AB,BD的距离相等，∴∠ODH=∠ODF,【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线.【典例2】(2022·寿阳县八年级期末)如图，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°,PD⊥OA于D,点M在OP上，且DM=MP=6,若C是OB上的动点，则PC的最小值是【分析】根据角平分线的定义可得求出DM=OM=4,再根据直角三角形的性质求得然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果.【解析】∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=6,故答案为：6.Q为AB上一动点，则DQ的最小值为()A.2B.2√2【分析】作DH⊥AB于H,如图，根据角平分线的性质得到DH=DC=2,然后根据垂线段最短求解.【解析】作DH⊥AB于H,如图，∵AD平分∠BAC,DH⊥AB,DC⊥AC,∴DH=DC=2,∵Q为AB上一动点，∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2.故选：A.题组A基础过关练A.PC=PDB.OC=OD【分析】根据角平分线的性质，可证明△ODP≌△OCP,进而可判断出错误选项.【详解】解：∵OP平分∠BOA,PC⊥OA,PD⊥OB,【点睛】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质，能够熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键.2.(2022·广东揭阳·八年级期中)如图，OP平A.PA=PQB.PA<PQC.PA>PQD.PA≤PQ【答案】【答案】D【分析】连接PQ,当PQ⊥OM时，根据角平分线的性质得出PQ=PA,利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论.【详解】解：连接PQ,MMP此时点P到OM的距离PQ最小，∴PA≤PQ,故选：D.【点睛】题目主要考查角平分线的性质，直线外一点到直线的距离中，垂线段最短，理解这两个性质定理是解题关键.SABD=15,则CD的长为()A.3【答案】【答案】A【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,然后利用△ABD的面积列式计算即可得解.【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E,AE□醋0DE=15,解得DE=3,∴CD=3;故选：A.【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键.C4.(2022山东菏泽·八年级期中)如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°,则∠BOC的度数为()A.150°B.120°C.110°D.【分析】由题意易得OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB,然后根据角平分线的定义及三角形内角和可进行求解.【点睛】本题主要考查角平分线的判定定理及三角形内角和，熟练掌握角平分线的判定定理及三角形内角和是解题的关键.条公路距离相等，则仓库的可能地址有()处.A.1B.2【答案】D【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求.【详解】(1)三角形两个内角平分线的交点，共一处；(2)三个外角两两平分线的交点，共三处，【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质是正确解题的关键.【答案】【答案】【分析】过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,根据角平分线的性质定理可得DE=DF,从而得到SAADc:SADB=AC:AB,即可求解.【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AEF【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.7.(2021-湖北荆门·八年级期中)如图，AD平分∠BAO,D(0,-3),AB=10,【答案】15【答案】15【分析】过D作DE⊥AB于E,由角平分线的性质，即可求得DE的长，即可求得△ABD的面积.【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E,0EB∵AB=10,∴△ABD的面积故答案为：15.【点睛】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出DE=OD是解此题的关键，解题时注意：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.x【答案】(1)见解析(2)见解析【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°,再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE,再根据角平分线的性质即可得出结论；(2)先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED,故AE=AC,再由CD=BE可得出结论.(1)证明：∵在(1)证明：∵在ABC中，AC=BC,∠C=90°,(2)证明：AD是ABC的角平分线，DE⊥AB,∴CD=DE,【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，距离相等是解答此题的关键.(1)尺规作图，作∠CBD的角平分线；(保留作图痕迹，不写作法)(2)补全图形，取BC的中点E,连接AE并延长交∠CBD的平分线于点F;(3)判断线段BF与AC的位置关系是_,数量关系是·【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)位置关系是平行，数量关系是相等【分析】(1)按照角的平分线的尺规作图步骤进行即可；(2)先确定BC的中点，后用直尺依次完成操作即可；(3)根据内错角相等，两直线平行，判定位置关系，利用三角形全等，判定数量关系.【详解】(1)如图所示：(2)如图所示：∵CE=BE,∠AEC=∠FEB,∴△ACE≌△FEB,∴AC=FB,故答案为：平行；相等.【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的判定，三角形外角的性质，三角形全等，熟练掌握平行线的判定，三角形全等的判定和性质是解题的关键.①探究：如图(2),AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°,求证：DB=DC.DD【答案】①见解析；②见解析【答案】①见解析；②见解析【分析】①作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M,欲证明DB=DC,只要证明△DNC≌△DMB即可；②作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M,证得△DNC≌△DMB,得到DM=DN,根据角平分线的判定即可得到结【详解】证明：①过点D作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M,如图2,②过点D作DN⊥AC于N,DM⊥AB于M,如图3,图3【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形.1.(2022·吉林四平·八年级期末)如图，OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A、B,下列四个A.1B.2【答案】【答案】D【分析】根据角平分线的性质可得PA=PB,然后依据HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,则OA=OB,∠OPA=∠OPB,进而可得OP是AB的垂直平分线，则结论可一一判断.∴OA=OB,∠OPA=∠OPB,∵OA=OB,AP=BP,∴OP是AB的垂直平分线，故④正确；故选：D.【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键.2.(2022-河北·八年级课时练习)如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC,AD=DE,AB=3AC,菜地△BDE的面积为96,则菜地△ACD的面积是()A.24B.27【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求得S₄ABD=S₄BDE=96,利用角平分线的性质得到△ACD与△ABD的高相等，进一步求解即可.过点D作DG⊥AC于点G,过点D作DF⊥AB于点F,EGAF【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.交AB、BC于点M、N.分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P,过点P作线段BD,交AC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,则下列结论①CD=ED;②∠ABC;③BC=BE;④AE=BE中，一定正确的是()A.①②③B.①②③④C.②④D.②【答案】【答案】A又DE⊥AB,BD是∠ABC的角平分【点睛】本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键.为18,ID=3,则ABC的面积为()A.18B.30C.54ID=IE=IF,再根据三角形面积计算即可得解.【详解】解：如图，过点I作IE⊥AB于E,IF⊥AC于F,AEIBDCF5.(2022·河南·八年级课时练习)如图，AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°,CE【答案】3.5FBCA即11+DE=18-DE,故答案为：3.5.【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了全等三角形的判定与性质.△ACD的面积之比是【答案】3:2【答案】3:2【分析】过点D作DE⊥AB于点E,由角平分线的性质得到DE=CD,再根据三角形面积公式解答即可.【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E,AE【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.角平分线的性质定理，可得EF=EG,再由角平分线的性质定理逆定理可得AE平分∠FAB.从而得到∠EAB=80°,再求出∠ABE=55°,即可求解.【详解】解：如图，过点E作EH⊥CB,交CB延长线于H,作EF⊥AC,交CA延长线于F,作EG⊥ABEGCBHD【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及其逆定理，熟练掌握角平分线的性质定理及其逆定理是解题的关键.8.(2022·河南省实验中学八年级期末)已知：如图1,在RtABC中，∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE【思考说理】(1)求证：FE=FD.现(1)中结论(即FE=FD)仍成立.你认为小强的发现正确吗?如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明.BBMEFADNCAA【答案】(1)证明见详解；(2)正确，证明见详解；【答案】(1)证明见详解；(2)正确，证明见详解；【分析】(1)由角平分线的性质、三角形内角和定理证Rt△FDN≌Rt△∠FEM(AAS)即可【详解】证明：(1)∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,∴FM=FN,(2)如图，在AB上截取CP=CD,【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质，角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.(1)求证：(1)求证：DO平分∠ADC.(2)若点A的坐标是(-3,0),求点B的坐标.【分析】(1)由AD//BC可得∠ADC+∠BCD=180°,由∠COD=90°可得∠ODC+∠OCD=90°,再结合CO(2)作OF⊥CD于F,利用角平分线的性质可得OB=OF=OA,由此可得B的坐标.(1)证明：∵DA⊥x轴，CB⊥x轴，∴DA//CB,∴∠ADC+∠BCD=180°,∵CO平分∠BCD,DEFC□【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质定理，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解决本题的关键.已知角的角平分线.作法如下：如图①,∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺0刻度的顶点P的射线OP就是∠AOB的角平分线.(1)联系三角形全等的条件，通过证明△OMP≌△ONP,可知∠AOP=∠BOP,即OP平分∠AOB.则这两个三角形全等的依据是(2)在活动的过程，同学们发现用两个全等的三角形纸片也可以作一个已知角的角平分线.如图②所示，△CDE≌△STR,将全等三角形的一组对应边DE、TR分别放在∠AOB的两边OA、OB上，同时使这组对应边所对的顶点C、S分别落在OB、OA上，此时CE和SR的交点设为点Q,则射线OQ即为∠AOB的角平分线.你认为他们的作法正确吗?并说明理由.图①图②【答案】(1)【答案】(1)SSS;(2)正确，理由见解析.【分析】(1)根据已知条件证得△MOP≌△NOP,并由此可得出判定依据；(2)依据全等三角形的性质以及角平分线的定义，即可得到交点Q在∠AOB的平分线上.【详解】解：(1)∵OM=ON,PM=PN,OP=OP,(1)证明：∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,EBD(2)证明：由(1)可知AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD,题组C培优拔尖练1.(2022·全国·八年级课时练习)如图，从▲ABC内一点0出发，把△ABC剪成三个三角形(如图1),边AB,BC,AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上(如图2),直线MN//AC,则点0是△ABC的()图1A.三条角平分线的交点B.三条高的交点C.三条中线的交点D.三边中垂线的交点【分析】根据平行线的性质可得点O到三边的距离相等，点O是三角形三条角平分线的交点即可.根据平行线性质知点O到BC距离，点O到AC距离，点O到BA距离相等，∴点O到三边的距离相等∴点O是三角形三条角平分线的交点，故选择A.【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键.2.(2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习)如图，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF,则下列结论：①DE=DF;②AD平分∠BAC;③AE=AD;④AC-AB=2BE中，正确的是()A.①②③B.①②③④C.①②④D.②【分析】利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF;根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC;利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF,即得出AB+BE=AC-FC,从而即可得到AC-AB=2BE;由垂线段最短【详解】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF,故①正确；又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD平分∠BAC,故②正确；在Rt△ADE和Rt△ADF中∴AC-AB=BE+FC=2BE,即AC-AB=2BE,故④正确；由垂线段最短可得AE<AD,故③错误，综上所述，正确的是①②④.故选C.【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定与角平分线的证明，熟练掌握相关概念是解题关键.3.(2022·山东济南·七年级期末)已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点，BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③EEA.①②④B.①②④⑤C.①②⑤∠DAE=∠DCE,即AD=AE=EC,可得③错误、④正确，过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF (HL),可得BG=BF,再证明Rt△CEG≌Rt△AEF(HL),可得AF=CG=2,从而可得答案.∴∠DCE=∠DAE,∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC,朱ED∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB,∴EF=EG(角平分线上的点到角的两边的距离相等),∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，∴DE=BE-BD=BA-BC=BF+AF-(BG-CG)=BF+2-BF+2=4,故⑤正确。综上所述，正确的结论是①②④⑤.故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，角平分线的性质定理的应用，等腰三角形的判定与性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL等.4.(2022·黑龙江牡丹江·八年级期末)如图所示，点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF,BC⊥AD于点D,则下列结论中①DE=DF;②AE=AF;③∠ABD=∠ACD;④∠EDB=∠FDC,其中正确的序号是_·【答案】①②③④【答案】①②③④【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF,全等三角形对应角相等可得∠ADE=∠ADF,根据垂直的定【详解】解∵点D在∠BAC的角平线上，DE⊥AB,DF⊥AC,∴Rt△ADE=Rt△ADF(HL),【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的性质，解题时注意结合图形分析已知条件题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向.的平分线相交于点0,过0点作EF//BC交AB于点E,交AC于点F,过点0作OD⊥AC于D,下列四个结论：①EF=BE+CF;②中正确的结论有(填写序号).【答案】①③④【答案】①③④【分析】由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可.【详解】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点0,在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点0,∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF过点O作OM⊥AB于M,作ON⊥BC于N,连接OA,MMD0BNC∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确.故答案为：①③④.6.(2022·全国·八年级专题练习)如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE与CD,延长AE交CD于【答案】(1)见解析(2)60°(3)见解析【答案】(1)见解析(2)60°(3)见解析DHCEAB(2)解：如图1,由(1)得△ABE≌△DBC,∴∠BAE=∠BDC,(3)证明：如图2,作BF⊥HA于点F,BG⊥HC交HC的延长线于点G,DF.EHCGBAB【点睛】此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上等知识，证明三角形全等是解题的关键.7.(2022·湖北武汉·八年级期末)(1)模型：如图1,在△A(3)类比应用：如图3,AB平分∠DAE,AE=AD,∠D+∠E=180°,求证：BE:CD=AB:AC.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析；【分析】(1)由题意得DE=DF,,即可得出SADB:SADC=AB:AC;(2)在AB上取点E,使得AE=AC,根据题意可证△ACD≌△AED,从而可求出即可求解；(3)延长BE至M,使E