上海市嘉定区嘉一实验高级中学2025^2026学年高二上学期摸底诊断数学试题有解析

/2025学年第一学期摸底诊断高二数学试卷一、填空题(本大题满分54分,1-6题每题4分,7-12题每题5分)1.复数的虚部是_____.2.函数在上的值域为_____.3.圆柱的底面半径为高为则其体积为_____.4.已知，则_____.5.已知正四面体棱长为则与平面所成角的余弦值为__________.6.中,为边中点,，则_____(用表示)7.已知恒成立,则范围为__________.8已知圆锥的底面半径为，母线长为过该圆锥的顶点作圆锥的截面,则截面面积的最大值为_____.9.的值域为，则实数取值范围是_____.10.已知二面角为,是半平面内一点,点到平面的距离是,则点在平面内的投影到的距离是_____.11.如图所示,在棱长为2的正方体中,为棱的中点,点分别为面和线段上的动点,则周长的最小值为_____.12.如图，已知矩形的边，点分别在上，且，则的最小值为_____.二、选择题(本大题满分18分13、14题各4分,15、16题各5分)13.已知关于的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是,下列结论中恒成立的是().A.和互为共轭复数B.C.D14.在中,内角的对边分别为,下列说法中正确的是()A.若,则为等腰三角形B.若,则解的个数为2C.若为锐角三角形,则.D.若,则15.如图,正方体中,分别为棱的中点,连接,对空间任意两点,若线段与线段都不相交,则称两点可视,下列选项中与点可视的为()A.点B.点C.点D.点16.在平面直角坐标系中,已知任意角以坐标原点为顶点,轴的非负半轴为始边,若终边经过点,且,定义,称“正余弦函数”,对于“正余弦函数”,有同学得到以下性质:①该函数的值域为；②该函数为奇函数；③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数,且最小正周期为.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4三、解答题(本大题满分78分)17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分.已知向量.(1)若与的夹角为,求实数的值:(2)若,求向量在向量上的投影向量.(结果写成坐标形式)18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题7分,第2小题7分.如图,在正四棱柱中,.(1)求与底面所成角；(2)求点到平面的距离.19.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题3分,第2小题5分,第3小题8分.已知数(1)写出的单调增区间.(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围；(3)将的图象先向左平移个单位,再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解,求实数的取值范围.20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题6分,第2小题4分,第3小题6分.如图,已知等腰梯形中,,,是的中点,,将沿着翻折成,使平面.(1)求证:平面平面；(2)求二面角的大小；(3)在线段上是否存在点,使得平面,若存在,求的长；若不存在,说明理由.21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.设为给定的实常数,若函数在其定义域内存在实数,使得成立,则称函数为“函数”.(1)若函数为“函数”,求实数的值；(2)若函数为“函数”,求实数的取值范围；(3)已知为“函数”,设.若对任意的,当时,都有成立,求实数的最大值.2025学年第一学期摸底诊断高二数学试卷一、填空题(本大题满分54分,1-6题每题4分,7-12题每题5分)1.复数的虚部是_____.解析：所以虚部为2.函数在上的值域为_____.解析：函数在单调递增，在单调递减，所以在上的值域为3.圆柱的底面半径为高为则其体积为_____.解析：4.已知，则_____.解析：5.已知正四面体棱长为则与平面所成角的余弦值为__________.解析：如图6.中,为边中点,，则_____(用表示)解析：7.已知恒成立,则范围为__________.解析：8已知圆锥的底面半径为，母线长为过该圆锥的顶点作圆锥的截面,则截面面积的最大值为_____.解析：9.的值域为，则实数取值范围是_____.解析：因为的值域为所以10.已知二面角为,是半平面内一点,点到平面的距离是,则点在平面内的投影到的距离是_____.解析：如图：由题知：所以11.如图所示,在棱长为2的正方体中,为棱的中点,点分别为面和线段上的动点,则周长的最小值为_____.解析：如图所示：所以当三点共线时，周长最小；此时为所求最小值；12.如图，已知矩形的边，点分别在上，且，则的最小值为_____.解析：设，当且仅当时取等；二、选择题(本大题满分18分13、14题各4分,15、16题各5分)13.已知关于的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是,下列结论中恒成立的是().A.和互为共轭复数B.C.D解析：选C.14.在中,内角的对边分别为,下列说法中正确的是()A.若,则为等腰三角形B.若,则解的个数为2C.若为锐角三角形,则.D.若,则解析：选D15.如图,正方体中,分别为棱的中点,连接,对空间任意两点,若线段与线段都不相交,则称两点可视,下列选项中与点可视的为()A.点B.点C.点D.点解析：B.16.在平面直角坐标系中,已知任意角以坐标原点为顶点,轴的非负半轴为始边,若终边经过点,且,定义,称“正余弦函数”,对于“正余弦函数”,有同学得到以下性质:①该函数的值域为；②该函数为奇函数；③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数,且最小正周期为.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：该函数的值域为，正确；该函数非奇非偶函数，所以为奇函数，错误；③该函数在时值为，非最大值最小值，错误；④该函数为周期函数,且最小正周期为，正确；故选B.三、解答题(本大题满分78分)17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分.已知向量.(1)若与的夹角为,求实数的值:(2)若,求向量在向量上的投影向量.(结果写成坐标形式)解析：(1)因为,则,若与的夹角为,则且,可得,解得或,所以实数的值为或.(2)若,则,解得,可得,所以向量在向量上的投影向量为.18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题7分,第2小题7分.如图,在正四棱柱中,.(1)求与底面所成角；(2)求点到平面的距离.解析：(1)平面,为与底面所成角,,故与底面所成角为(2)由,可得,,所以,设到平面的距离为,则19.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题3分,第2小题5分,第3小题8分.已知数(1)写出的单调增区间.(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围；(3)将的图象先向左平移个单位,再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解,求实数的取值范围.解析：(1)令所以的单调增区间(2)解:因为,则,所以,,所以,,因为不等式对任意恒成立,所以,对任意恒成立,则,解得.因此,实数的取值范围是(3)将的图象向左平移个单位,可得到函数再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),可得到函数的图象,当时,,因为关于的方程在上有且只有一个实数解,所以,直线与函数在上的图象只有一个公共点,如下图所示:由图可知,当时,直线与函数在上的图象只有一个公共点.因此,实数的取值范围是.20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题6分,第2小题4分,第3小题6分.如图,已知等腰梯形中,,,是的中点,,将沿着翻折成,使平面.(1)求证:平面平面；(2)求二面角的大小；(3)在线段上是否存在点,使得平面,若存在,求的长；若不存在,说明理由.解析：(1)在等腰梯形中,是的中点,所以可得四边形为菱形,可得,又,所以可得;因为平面;所以平面,又平面,所以平面平面；(2)由平面平面,可得；易知,所以;又因为平面;所以平面,又平面,所以又,因此可得即为二面角的平面角,在直角三角形中,,可得,即.(3)假设线段上是否存在点,使得平面,过点作交于,连接,如下图所示:所以,即可得四点共面,又因为平面,所以,所以四边形为平行四边形,故,可得点为的中点;故在线段上存在点,使得平面,且;易知为正三角形,且,所以可得,由勾股定理可得,所以,因此.21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.设为给定的实常数,若函数在其定义域内存在实数,使得成立,则称函数为“函数”.(1)若函数为“函数”,求实数的值；(2)若函数为“函数”,求实数的取值范围；(3)已知为“