空间向量研究距离问题

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题学习目标1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题.(重点)2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.导语立交桥是伴随着高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？一、点到直线的距离问题1已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.请找出向量AP在直线l上的投影向量AQ，其模为多少？如何利用这些条件求点P到直线l的距离？提示如图，设AP=a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u.|AQ|=|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ=|AP|2知识梳理点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP=a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ=|AP|2典例在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离.解方法一连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，∴AO1=(-2，0，2)，AC=(-2，3，∴AO1·AC=(-2，0，2)·(-2，3，0)取a=AO1=(-2，0，2u=AC|AC|=−213，3∴O1到直线AC的距离d=a2−(a延伸探究1在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，M(1，0，2)，N0，∴AC=(-2，3，0)，MN=−1，3∴MN∥AC，又MN与AC∴MN∥AC，故点M到直线AC的距离即所求距离.直线AC的单位方向向量u=AC|AC|=−213，313，0∴点M到直线AC的距离d=MA2−(MA·u)2=5−413反思感悟(1)用向量法求点到直线的距离的一般步骤①求直线的单位方向向量u.②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a.③利用公式d=a2(2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解.二、点、直线、平面到平面的距离问题2已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何利用向量AP与n求点P到平面α的距离？提示过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，向量AP在向量n上的投影向量为QP，借助数量积运算可知|QP|=|AP·n||n|，向量QP的长度与P到平面α知识梳理点到平面的距离已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=|AP注意点：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.延伸探究2(课本例6)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离.解以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E1，12所以AB=(0，1，0)，AC1=(-1，1，-1)，AEEC1=−1，12，0(1)取a=AB=(0，1，0)，u=AC1|AC1|=33(-1，1，-1)，则a2所以，点B到直线AC1的距离为a2−(a·u(2)因为FC=EC1=−1，12，0，所以FC∥EC1，所以所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.设平面AEC1的法向量为n=(x，y，z)，则n·AE=0,取z=1，则x=1，y=2.所以，n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量.又因为AF=0，12，0，所以点F|AF·n||即直线FC到平面AEC1的距离为66延伸探究2在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，0，2)，E2，32，0，F(1，3∴EF=−1，32设平面O1EF的法向量为n=(x，y，z)，则n·EF取y=2，则x=3，z=92，∴n又OO1=(0，0，2∴点O到平面O1EF的距离为|OO1·n反思感悟(1)用向量法求点面距离的步骤①建系：建立恰当的空间直角坐标系.②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.③求向量：求出相关向量的坐标(AP，α内两不共线向量，平面α的法向量n)④求距离d=|AP(2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l到平面α的距离.(3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离.1.知识清单：(1)点到直线的距离.(2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化.2.方法归纳：数形结合、转化法.3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础.1.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为()A.223 B.1 C.2 D.2答案A解析∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，AB=(1，0，0)，BC=(-1，2，-2)∴点A到直线BC的距离为d=|AB|2−AB2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是()A.66 B.63 C.36答案D解析以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1，1，1)，则点P到平面ABC的距离为d=|PA·n3.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为()A.36 B.33 C.233答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，所以DA1=(1，0，-1)，DC1=(0，1，-1)，AD=(-1，0设平面A1C1D的一个法向量为m=(x，y，1)，则m⊥DA1,m故m=(1，1，1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d=|AD·m||4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1到平面ACD1的距离为.答案3解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标