2024-2025学年河北省石家庄市高二上学期期末数学试题（有解析）

/2024-2025学年河北省石家庄市高二上学期期末数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若集合，则（

）A． B．C． D．2．设，则（

）A． B． C． D．3．已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（

）A．或1 B．1 C． D．64．已知等差数列满足，则的值为（

）A．8 B．6 C．4 D．25．已知单位向量与的夹角为，则（

）A． B．0 C． D．16．已知是第一象限角，满足，则（

）A． B． C． D．7．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（

）A． B．C． D．8．已知，则a，b，c大小关系为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．已知数列，是等比数列，那么下列一定是等比数列的是（

）A． B． C． D．10．已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（

）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则11．已知函数,下列结论中正确的是（

）A．函数的周期是B．函数的图象关于直线对称C．函数的最小值是D．函数的图象关于点对称12．已知过点作圆的两条切线，切点分别为，两点，下列说法正确的是（

）A．其中一条切线方程是B．切线长C．点到圆上一点的距离最小值为D．四边形的面积为2三、填空题（本大题共4小题）13．已知正数，满足，则的最小值为.14．假如，，且与相互独立，则．15．若一个正三棱锥底面边长为，高为，其内切球的表面积为.16．已知抛物线的焦点为F，已知第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且，则的面积是.四、解答题（本大题共6小题）17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若的面积为，求a.18．第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a，b的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的分位数（精确到）；(3)在第四、第五两组志愿者中，采用等比例分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.19．已知数列的前n项和满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和．20．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，，（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值.21．已知椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求．22．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若不等式，恒成立，求实数a的范围.

答案1．【正确答案】D【详解】因为，所以，故选：D2．【正确答案】B【详解】由题知，，所以，故选：B3．【正确答案】C【详解】根据题意可知，两直线斜率均存在，由两直线平行可得，即，解得或；经检验，当时，两直线重合，不合题意，舍去；所以可得.故选：C4．【正确答案】C【详解】在等差数列中，由得，所以.故选：C5．【正确答案】B【详解】因为单位向量与的夹角为，所以，，所以.故选：B6．【正确答案】B【详解】因为是第一象限，则为第一象限角或第二象限角，且，所以，由题意可得.故选：B.7．【正确答案】B【详解】因为，所以，又因为点在上，所以，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，故，则，所以，则，所以，所以，所以的方程为.故选：B.

8．【正确答案】D【详解】根据式子结构，构造函数，则，令，则，令，得，因此在单调递增，在单调递减，而，，，因为，所以，即.故选：D9．【正确答案】BD【详解】由题意，可设等比数列的公比为，则，等比数列的公比为，则，对于A，当时，显然不是等比数列，故A错误；对于B，，∴数列是一个以为首项，为公比的等比数列，故B正确；对于C，举出反例：当，时，数列不为等比数列，故C错误；对于D，，∴数列是一个以为首项，为公比的等比数列，故D正确；故选：BD.10．【正确答案】ABC【详解】由题意，A项,设所在平面,,只需即满足题设,故A错误；B项，设且且,此时，B错误；C项，当，，时，可能垂直于，C错误；D项，当，，，则，故D正确.故选：ABC.11．【正确答案】AC【详解】解:由题知,,故选项A正确;令,解得:,令,令,故选项B错误;因为,所以,故选项C正确;因为对称中心纵坐标为1,故选项D错误.故选:AC12．【正确答案】ABCD【详解】由题意，切线斜率存在，设切线方程为：，则圆心到切线距离，解得：或，所以切线方程为：或，选项A正确；由切线长定理：，选项B正确；点P到圆上一点的距离最小值为，C选项错；由知四边形的面积为2，选项D正确．故选：ABCD13．【正确答案】【详解】正数，满足，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为.14．【正确答案】【详解】因与相互独立，且，，则，所以.故15．【正确答案】【详解】如图正三棱锥，设顶点在底面上的投影为，连接，则，由底面为等边三角形，且边长为，取边中点，连接，，在上且，所以：，则，因为平面，所以在中，，又因为正三棱锥的三个侧面都是全等的等腰三角形且面积为，底面的面积为，设内切球的半径为，且设球心为，由等体积法可知即，解得：，所以内切球的表面积为.故答案为.16．【正确答案】【详解】抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知：，过A做，由，，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，∴直线AB的斜率为，直线AB的方程为，联立直线AB与抛物线的方程可得：，整理得：，由韦达定理可知：，则，而原点到直线AB的距离为，则三角形AOB的面积，故．

17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，又，所以，所以，则，又，所以.（2）由（1）及已知有，则，则由余弦定理得，所以.18．【正确答案】(1)，(2)(3)【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为，所以，解得，所以前两组的频率之和为，即，所以.（2）前两个分组频率之和为，前三个分组频率之和为，所以分位数在65和75之间,即为，所以这100名候选者面试成绩的分位数约为；（3）第四、第五两组志愿者分别有20人、5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a,b,c,d，第五组志愿者人数为1,设为e，这5人中选出2人，所有情况有，，，，，，，，，共有10种情况，记事件A：选出的两人来自不同组，则A中有，，，共4种情况,故.19．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）当，，故，因为，当时，,两式相减得：，即，故数列为等比数列，公比，所以．（2），故，故，令①，②，①-②得即，故．20．【正确答案】(1)见解析；（2）.【详解】（1）由，，，得，∴为直角三角形，且同理为直角三角形，且．又四边形是正方形，∴．又∴.在梯形中，过点作作于，故四边形是正方形，∴.在中，，∴，，∴，∴，即.∵，,，∴平面,又平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）由（1）可得，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.令，则，∵，∴∴点.∵平面，∴是平面的一个法向量.设平面的法向量为.则，即，可得.令，得．∴．由图形知二面角为锐角，∴二面角的平面角的余弦值为．21．【正确答案】（1）；（2）【详解】（1）由题意可得：，解得：，椭圆C的标准方程为：；（2）