南京汉开书院学校中考数学期末二次函数和几何综合汇编

南京汉开书院学校中考数学期末二次函数和几何综合汇编一、二次函数压轴题1．定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线．概念理解：（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线；问题探究：（2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），E（1，0）且EF＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；应用拓展：（3）将抛物线y1＝﹣x2+2x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2．抛物线y2的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标．2．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=﹣x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：①线段EF长度是否有最小值．②△BEF能否成为直角三角形．小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？4．综合与探究如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．（1）求抛物线的函数表达式：（2）若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；（3）在直线上有一点，连接，，则的最小值为______；（4）在（2）的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．综合与探究如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，点C关于x轴的对称点是点．（1）求点的坐标和直线BC的表达式；（2）如图2，点M在抛物线的对称轴上，N为平面内一点，依次连接BM，，，NB，当四边形是菱形时，求点M坐标；（3）如图3，点P是抛物线第一象限内一动点，过P作x轴的平行线分别交直线BC和y轴于点Q和点E，连接交直线BC于点D，连接，PB，设点P的横坐标为m，△的面积为，△PBD的面积为，求的最大值．6．如图，边长为5的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上第一象限内一点，过点作于点，点的坐标为．连接．（1）求抛物线的解析式；（2）求的值；（3）①在点运动过程中，当时，点的坐标为________；②连接，在①的条件下，把沿轴平移（限定点在射线上），并使抛物线与的边始终有两个交点，探究点纵坐标的取值范围是多少？7．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y＝x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，（1）该函数的解析式为，补全下表：x⋯﹣4﹣3﹣2﹣1123⋯y⋯2﹣1﹣2212⋯（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质：．（3）结合你所画的图象与函数y＝x的图象，直接写出x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|≤x的解集．8．某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数的有关图象和性质”．探究过程如下：（1）列表：问______．x…012…y…620002m…（2）请在平面直角坐标系中画出图象．（3）若方程（p为常数）有三个实数根，则______．（4）试写出方程（p为常数）有两个实数根时，p的取值范围是______．9．在平面直角坐标系中（如图）．已知点，点，点．如果抛物线恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线经过点A、B、C之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a与b的值：（3）将抛物线先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x轴平行的方向向右平移个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点．设这个新抛物线的顶点是D．试探究的形状．10．如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作，垂足为点N．设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二、中考几何压轴题11．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．12．石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．（观察）①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度．②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度．（发现）设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）①a＝；②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象．（拓展）设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是．（直接写出结果）13．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．14．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．填空：①则的值为______；②∠EAD的度数为_______．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．15．问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，∠BCD的度数是；线段BD，AC之间的数量关系是．类比探究：（2）在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α=2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？；拓展延伸：（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BDC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC＝90°，请直接写出线段AP的长度．16．问题发现：（1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则＝___________．问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值．问题拓展：（3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．17．综合与实践：利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称，旋转等变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．动手操作：如图①，矩形纸片ABCD的边AB＝2，将矩形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，折痕为EF，然后展开，EF与AC交于点H；如图②，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在对角线AC上，且点B与点H重合，展开图形，折痕为AG，连接GH；若在图①中连接BH，得到如图③，点M是线段BH上的动点，点N是线段AH上的动点，连接AM，MN，且∠AMN＝∠ABH；若在图②中连接BH，交折痕AG于点Q，隐去其它线段，得到如图④．解决问题：（1）在图②中，∠ACB＝，BC＝，＝，与△ABG相似的三角形有个；（2）在图②中，AH2＝AE·（从图②中选择一条线段填在空白处），并证明你的结论；（3）在图③中，△ABH为三角形，设BM为x，则NH＝（用含x的式子表示）；拓展延伸：（4）在图④中，将△ABQ绕点B按顺时针方向旋转α（0°≤α≤180°），得到△A′BQ′，连接DQ′，则DQ′的最小值为，当tan∠CBQ′＝时，△DBQ′的面积最大值为．18．（1）问题提出：如图①，在矩形中，，点为边上一点，连接，过点作对角线的垂线，垂足为，点为的中点，连接，，．可知的形状为______；（2）深人探究：如图②，将在平面内绕点顺时针旋转，请判断的形状是否变化，并说明理由；（提示：延长到，使；延长到，使，连接，，，构造全等三角形进行证明）（3）拓展延伸：如果，，在旋转过程中，当点，，在同一条直线上时，请直接写出的长．19．如图：两个菱形与菱形的边在同一条直线上，边长分别为a和b，点C在上，点M为的中点．（1）观察猜想：如图①，线段与线段的数量关系是______________．（2）拓展探究：如图②，，将图①中的菱形绕点B顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接，①猜想线段与线段的数量关系，并说明理由．②求出线段与所成的最小夹角．（3）解决问题：如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且，请直接写出线段与线段的数量关系．20．（发现问题）（1）如图，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是．（2）将图中的绕点旋转到图的位置，直线和直线交于点①判断线段和的数量关系，并证明你的结论．②图中的度数是．（3）（探究拓展）如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、之间的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、二次函数压轴题1．A解析：（1）详见解析；（2）y＝或y＝；（3）当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（4039，3）．【分析】（1）由Rt△ABC中AD是斜边BC的中线可得AD＝CD，由抛物线对称性可得AD＝AC，即证得△ACD是等边三角形．（2）设抛物线顶点为G，根据正抛物线定义得△EFG是等边三角形，又易求E、F坐标，即能求G点坐标．由于不确定点G纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式．（3）根据题意求出抛物线y2的解析式，并按题意求出P、M、N的坐标，得到等边△PMN，所以当△PMN翻滚时，每3次为一个周期，点P回到x轴上方，且横坐标每多一个周期即加6，其规律为当翻滚次数n能被3整除时，横坐标为：+n×2＝（2n+1）．2019能被3整除，代入即能求此时点P坐标．【详解】解：（1）证明：∠BAC＝90°，点D是BC的中点∴AD＝BD＝CD＝BC∵抛物线以A为顶点与x轴交于D、C两点∴AD＝AC∴AD＝AC＝CD∴△ACD是等边三角形∴以A为顶点与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线．（2）∵E（1，0）且EF＝2，点F在x轴上且E在F的左边∴F（3，0）∵一条经过x轴的两点E、F的抛物线为正抛物线，设顶点为G∴△EFG是等边三角形∴xG＝①当G（2，）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+把点E（1，0）代入得：a+＝0∴a＝﹣∴y＝﹣（x﹣2）2+②当G（2，﹣）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣把点E（1，0）代入得：a﹣＝0∴a＝∴y＝（x﹣2）2﹣综上所述，这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+或y＝（x﹣2）2﹣（3）∵抛物线y1＝﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣）2+12∴y1向下平移9个单位后得抛物线y2＝﹣（x﹣）2+3∴P（，3），M（0，0），N（2，0）∴PM＝MN＝PN＝2∴△PMN是等边三角形∴第一次翻滚顶点P的坐标变为P1（4，0），第二次翻滚得P2与P1相同，第三次翻滚得P3（7，3）即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3，横坐标为：+n×2＝（2n+1）∵2019÷3＝673∴（2×2019+1）×＝4039∴当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（4039，3）．【点睛】本题考查了新定义的理解、性质运用，二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质．第（3）题的解题关键是发现等边△PMN每3次翻滚看作一个周期，点P对应点坐标的特征，是规律探索的典型题．2．F解析：（1）连线见解析，二次函数；（2）；（3）m=0或m=【分析】（1）根据描点法画图即可；（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全等三角形的性质得出FG=DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．【详解】解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK=∠DHK=90°，记FD交y轴于点K，∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF=KD，∵∠FKG=∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），∴FG=DH，∵直线AC的解析式为y=﹣x+4，∴x=0时，y=4，∴A（0，4），又∵B（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+4，过点F作FR⊥x轴于点R，∵D点的横坐标为m，∴F（﹣m，﹣2m+4），∴ER=2m，FR=﹣2m+4，∵EF2=FR2+ER2，∴l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，令﹣+4=0，得x=，∴0≤m≤．∴当m=1时，l的最小值为8，∴EF的最小值为2．（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．②∠BEF=90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m=0．③如图3，∠BFE=90°时，有BF2+EF2=BE2．由（2）得EF2=8m2﹣16m+16，又∵BR=﹣m+2，FR=﹣2m+4，∴BF2=BR2+FR2=（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2=5m2﹣20m+20，又∵BE2=（m+2）2，∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2=（m+2）2，化简得，3m2﹣10m+8=0，解得m1=，m2=2（不合题意，舍去），∴m=．综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m=0或m=．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．准确分析给出的条件，结合一次函数的图象进行求解，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．．3．A解析：（1）（2）存在，点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）PN＝﹣（m﹣2）2+，当m＝2时，PN的最大值为．【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况，利用方程或方程组求解即可得到答案；（3）利用等腰直角三角形的性质得到：PN=PQsin∠PQN=即可求解．【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，设即：﹣12a＝4，解得：则抛物线的表达式为（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝，∠OBC＝∠OCB＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝则QM＝MB＝，故点Q（，）；③当CQ＝AQ时，则在的垂直平分线上，设直线AC的中点为K（，2），过点与CA垂直直线的表达式中的k值为，直线的表达式为：②，联立①②并解得：（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点，则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQsin∠PQN＝∵∴PN有最大值，当m＝2时，PN的最大值为：．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和等腰三角形的存在性问题，线段长度的最值问题，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．4．A解析：（1）；（2）；（3）；（4）存在，点的坐标为：或或【分析】（1）把A、B两点坐标代入可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得答案；（2）过作轴于，交于，根据抛物线解析式可得点C坐标，利用待定系数法可得直线BC的解析式，设，根据BC解析式可表示出点H坐标，即可表示出DH的长，根据△BCD的面积列方程可求出x的值，即可得点D坐标，利用三角形面积公式即可得答案；（3）根据二次函数的对称性可得点A与点B关于直线l对称，可得BC为AP+CP的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；（4）根据平行四边形的性质得到MB//ND，MB=ND，分MB为边和MB为对角线两种情况，结合点D坐标即可得点N的坐标．【详解】（1）∵抛物线与轴相交于，两点，，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：．（2）如图，过作轴于，交于，当时，，∴，设的解析式为，则，解得，∴的解析式为：，设，则，∴，∵的面积是，∴，∴，解得：或3，∵点在直线右侧的抛物线上，∴，∴的面积；（3）∵抛物线与轴相交于，两点，∴点A与点B关于直线l对称，∴BC为AP+CP的最小值，∵B（4，0），C（0，-6），∴AP+CP的最小值=BC==．故答案为：（4）①当MB为对角线时，MN//BD，MN=BD，过点N作NE⊥x轴于E，过当D作DF⊥x轴于F，∵点D（3，），∴DF=，在△MNE和△BDF中，，∴△MNE≌△BDF，∴DF=NE=，∵点D在x轴下方，MB为对角线，∴点N在x轴上方，∴点N纵坐标为，把y=代入抛物线解析式得：，解得：，，∴（，），（，）如图，当BM为边时，MB//ND，MB=ND，∵点D（3，），∴点N纵坐标为，∴，解得：，（与点D重合，舍去），∴（，），综上所述：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：或或．【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题．5．A解析：（1），y＝－x＋4；（2）M（1，－1）；（3）的最大值是4．【分析】（1）先求得点A，B，C的坐标，即可求得的坐标，再用待定系数法求得直线BC的表达式；（2）过M作MH⊥y轴于点H，连接OM．证明△OMB≌△O，即可得∠MOB=．再求得∠MOB==45°；由此求得．再求得抛物线的对称轴，即可求得点M的坐标；（3）过B作BI⊥PQ于I．易求，再求得PQ的最大值，即可求得的最大值．【详解】（1）∵抛物线与x轴相交于点A，B，当y＝0时，，解，得；∴B（4，0）∵抛物线与x轴相交于点C，∴当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），．设BC的表达式为y＝kx＋b，将B，C两点坐标分别代入得，解，得．直线BC的表达式为y＝－x＋4；（2）过M作MH⊥y轴于点H，连接OM．∵四边形是菱形，∴BM=，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∵OM=OM，∴△OMB≌△O，∴∠MOB=．∵∠BO＝90°，∴∠MOB==45°；∵MH⊥y，．∵抛物线的对称轴为直线，．∴M（1，－1）．（3）过B作BI⊥PQ于I．∵PQ//x轴，∴∠IEO＝90°，∴四边形EOBI是矩形．．，∵点P在抛物线上，且点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为．∵PQ//x轴，∴点Q的纵坐标为，将其代入y＝－x＋4，∴点Q的横坐标为．∵点P是抛物线第一象限内，∴点P在点Q右侧，．，∴当m＝2时，PQ的最大值是2，∴的最大值是4．【点睛】本题是二次函数的综合题，解决第（3）题时构建二次函数模型是解决问题的关键．6．F解析：（1）；（2）；（3）①；②【分析】（1）由题可设抛物线解析式为，将N点坐标代入，求出a即可求出抛物线的函数表达式．（2）过点作轴于，由题可设，故可求出PF的长．在中，利用勾股定理可求出PE的长，即发现，故．（3）①由题意易求，即．结合（2）即可列出关于m的方程，解出m即可求出此时P点坐标．②根据题意可知将沿y轴平移，使抛物线与△PEF的边始终有两个交点的极限条件为：向上平移，一直到点与点重合前和向下平移，一直到点与点重合前．根据平移规律结合①即可得出答案．【详解】解：（1）由题可设抛物线解析式为，把代入，，解得，∴抛物线的函数表达式为．（2）如图，过点作轴于，由题可设，∴∵在中，，即，∴，∴，即．（3）①由题意可知，∵，∴，∴．由（2）可知，．∴，解得：（舍）．故，即．②根据题意可知将沿y轴平移，使抛物线与△PEF的边始终有两个交点的条件为：向上平移，一直到点与点重合前和向下平移，一直到点与点重合前．Ⅰ当沿y轴向上平移，且点与点重合时，如图，.∵,∴此时P点向上平移1个单位得到，即．∵点与点重合时，抛物线与△PEF的边有两个交点，即当时抛物线与△PEF的边有两个交点，∴．Ⅱ当沿y轴向下平移，且点与点P重合时，如图，.∵，∴此时P点向下平移4个单位得到，即．∵点与点P重合时，抛物线与△PEF的边只有一个交点，即当时抛物线与△PEF的边只有一个交点，∴．综上可知．【点睛】本题考查二次函数综合，勾股定理，两点的距离公式以及含角的直角三角形的性质．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．7．(1)y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，补全表格见解析，(2)函数图像见解析，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2；(3)≤x≤或≤x≤．【分析】（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．【详解】解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，∴，∴，∴y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，故答案为：y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|；当x=-4时，y=7；当x=0时，y=-1；补全表格如图，x⋯﹣4﹣3﹣2﹣10123⋯y⋯72﹣1﹣2-1212⋯（2）函数图像如图所示，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2；（3）当x≥1时，x2﹣x+2﹣3x+3=x，解得，，，观察图象可知不等式的解集为：≤x≤；当x＜1时，x2﹣x+2+3x﹣3=x，解得，，，观察图象可知不等式的解集为：≤x≤；∴不等式x2+bx+2﹣c|x﹣1|≤x的解集为≤x≤或≤x≤．【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键．8．（1）；（2）见解析；（3）；（4）或．【分析】（1）把x=代入解析式，计算即可；（2）按照画图像的基本步骤画图即可；（3）一个方程有两个不同实数根，另一个方程有两个相等的实数根和两个方程都有两个不同的实数根，但是有一个公共根；（4）结合函数的图像，分直线经过顶点和在x轴上方两种情形解答即可．【详解】（1）当x=时，==，∴；（2）画图像如下；（3）当x≥0时，函数为；当x＜0时，函数为；∵方程（p为常数）有三个实数根，∴两个方程有一个公共根，设这个根为a，则，解得a=0，当a=0时，p=0，故答案为：p=0；（4）∵方程（p为常数）有两个实数根，∴p＞0；或△=0即1+4p=0，解得．综上所述，p的取值范围是或．【点睛】本题考查了二次函数图像，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系，灵活运用分类思想，数形结合思想是解题的关键．9．A解析：（1）点A、B在抛物线上，理由见解析；（2），；（3）等腰直角三角形【分析】（1）轴，故B、C中只有一个点在抛物线上，算出AC的解析式，交y轴于点，抛物线与y轴也交于点，故C不符要求，由此解答即可；（2）把A、B点的坐标代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入得出D点的坐标，再判断三角形的形状．【详解】（1）∵轴，故B、C中只有一个点在抛物线上，∵，交y轴于点．且抛物线与y轴也交于点，故C不符要求．∴点A、B在抛物线上（2）代入A、B到．，∴（3）∴代入到，（舍），，∴∴，，∴，，∴．∴是等腰直角三角形【点睛】本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．10．A解析：（1）；（2），当时，PN有最大值，最大值为．（3）满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，．【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分别求解即可．【详解】解：（1）将，代入，得，解之，得．所以，抛物线的表达式为．（2）由，得．将点、代入，得，解之，得．所以，直线BC的表达式为：．由，得，．∴∵，∴．∴．∴．．∵∴当时，PN有最大值，最大值为．（3）存在，理由如下：由点，，知．①当时，过Q作轴于点E，易得，由，得，（舍）此时，点；②当时，则．在中，由勾股定理，得．解之，得或（舍）此时，点；③当时，由，得（舍）．综上知所述，可知满足条件的点Q有两个，坐标分别为：，．【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．二、中考几何压轴题11．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得解析：（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论；（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论．【详解】解：（1）点，是，的中点，，，点，是，的中点，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）是等腰直角三角形．由旋转知，，，，，，，利用三角形的中位线得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大时，的面积最大，且在顶点上面，最大，连接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大时，面积最大，点在的延长线上，，，．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．12．【观察】①90；②105；【发现】①50；②y＝，补全图象见解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【观察】①先据题意求出两个机器人速度的关系，再确定第二次迎面相遇的位置，然后设此时相解析：【观察】①90；②105；【发现】①50；②y＝，补全图象见解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【观察】①先据题意求出两个机器人速度的关系，再确定第二次迎面相遇的位置，然后设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可求出结果；②仿照①的解题思路和方法解答即可；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，根据题意可列方程150﹣x＝2x，解出的x的值即为a的值；②分0＜x≤50与50＜x＜75两种情况，分别求出正比例函数与一次函数的关系式，进一步即可补全函数图象；【拓展】分三种情况画出图形，然后根据题意得出相应的分式方程，解方程即可得出y与x的关系，进而可得关于x的不等式，解不等式即可得到结论．【详解】解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v＝4v，∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为，而，∴机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），解得：m＝90，故答案为：90；②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣35＝115个单位长度，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为，机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，∴机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意得，35+150+150﹣m＝（m﹣35），解得：m＝105，故答案为：105；【发现】①当第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意知，150﹣x＝2x，∴x＝50，即：a＝50，故答案为：50；②当0＜x≤50时，点P（50，150）在线段OP上，∴线段OP的表达式为y＝3x，当v＜时，即当50＜x＜75，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B返回向点A时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），整理，得y＝﹣3x+300，∴y与x的函数关系式是y＝，补全图象如图2所示：【拓展】①如图，由题意知，，∴y＝5x，∵0＜y≤60，∴0＜x≤12；②如图，∴，∴y＝﹣5x+300，∵0≤y≤60，∴48≤x≤60，③如图，由题意得，＝，∴y＝5x﹣300，∵0≤y≤60，∴60≤x≤72，∵0＜x＜75，∴48≤x≤72，综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72，故答案为：0＜x≤12或48≤x≤72．【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、两点间的距离、一元一次方程和一元一次不等式的应用，难度较大，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．13．（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（解析：（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论；（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．【详解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，∴∠BEC=∠EAD，∴Rt△AED∽Rt△EBC，∴；（2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M，同（1）的理由可知：，∵，，∴，∴CB=GM，在△BCH和△GMH中，，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH=GH；（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴，∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD，∵∠BMG+∠BME=180°，∴∠N=∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴，又∵，∴，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG=CG．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．14．（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）线段AD的长为（2+6）．【分析】（1）由题意可得Rt△ABC和Rt△DBE均为等腰直角三角形，通过证明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=解析：（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）线段AD的长为（2+6）．【分析】（1）由题意可得Rt△ABC和Rt△DBE均为等腰直角三角形，通过证明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=∠BCE=45°，从而可得到结论；（2）通过证明△ABD∽△BCE，可得的值，∠BAD=∠ACB=60°，即可求∠EAD的度数；（3）由直角三角形的性质可证AM=BM=DE，即可求DE=4，由勾股定理可求CE的长，从而可求出AD的长．【详解】（1）∵∠ABC=∠DBE=90°,∠ACB=∠BED=45°，∴∠CBE=∠ABD,∠CAB=45°∴AB=BC，BE=DE，∴△BCE≌△BAD∴AD=CE，∠BAD=∠BCE=45°∴=1，∠EAD=∠CAB+∠BAD=90°故答案为：1，（2），∠EAD=90°理由如下：∵∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°∴∠ABD=∠EBC，∠BAC=∠BDE=30°∴在Rt△ABC中，tan∠ACB==tan60°=在Rt△DBE中，tan∠BED==tan60°=∴=又∵∠ABD=∠EBC∴△ABD∽△BCE∴==，∠BAD=∠ACB=60°∵∠BAC=30°∴∠EAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°，（3）如图，由（2）知：==，∠EAD=90°∴AD=CE，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，∴AC=8，AB=4，∵∠EAD=∠EBD=90°，且点M是DE的中点，∴AM=BM=DE，∵△ABM为直角三角形，∴AM2+BM2=AB2=（4）2=48，∴AM=BM=2，∴DE=4，设EC=x，则AD=x，AE=8-xRt△ADE中，AE2+AD2=DE2∴(8-x)2+(x)2=(4)2，解之得：x=2+2（负值舍去），∴EC=2+2，∴AD=CE=2+6，∴线段AD的长为（2+6），【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识.15．（1）120°，BD=AC；（2）不成立，理由详见解析；（3）或．【分析】（1）过点D作DE⊥BC，通过线段之间的转换得到AC与DE之间的关系，在直角三角形BDE中通过BD与DE的关系，得到BD解析：（1）120°，BD=AC；（2）不成立，理由详见解析；（3）或．【分析】（1）过点D作DE⊥BC，通过线段之间的转换得到AC与DE之间的关系，在直角三角形BDE中通过BD与DE的关系，得到BD,AC之间的关系.（2）类比（1）的解法，找线段之间的关系.(3)分情况进行讨论，画出符合题意得图形进行求解.【详解】解：（1）如图3，过点D作DE⊥BC，垂足为E，设BC=m．在Rt△ABC中，∠BAC=30°，由BC=AB·tan30°，BC=AC·sin30°，得AC=2m，BC=m，∵AC=AD，∠CAD=2×30°=60°，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2m，∴∠BCD=60°×2=120°，在Rt△DEC中，∠DCE=180°-120°=60°，DC=2m，∴CE=CD·cos60°=m，DE=CE·tan60°=m，∴在Rt△BED中，BD==，∴==，故BD=AC．故答案为：120°；BD=AC．（2）不成立，理由如下：设BC=n，在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，∴BC=AB=m，AC=BC=n，∵AC=AD，∠CAD=90°，∴△CAD为等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，CD=AC=2n，∴∠BCD=2×45°=90°，在Rt△BCD中，BD==，∴==，，故BD=AC．答案为：90°；BD=AC．故结论不成立．（3）AP的长为或．；解答如下：∵PB=PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上，∵∠BAC=∠BCP=90°，故A、B、C、P四点共圆，以线段BC的中点为圆心构造⊙O，如图4，图5，分类讨论如下：①当点P在直线BC上方时，如图4，作PM⊥AC，垂足为M，设PM=x．∵PB=PC，∠BPC=90°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴∠PBC=45°，∵∠PAC=∠PBC=45°，∴△AMP为等腰直角三角形，∴AM=PM=x，AP=PM=x，在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，∴BC==，∴PC=BC·sin45°=，在Rt△PMC中，∵∠PMC=90°，PM=x，PC=，CM=4-x，∴，解得：，（舍），∴AP==；②当点P在直线BC的下方时，如图5，作PN⊥AB的延长线，垂足为N，设PN=y．同上可得PB=，△PAN为等腰三角形，∴AN=PN=y，∴BN=y-2，在Rt△PNB中，∵∠PNB=90°，PN=y，BN=y-2，PB=，∴，解得：，（舍），∴AP==．故AP的长度为：或．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握类比思想解题是解决本题的关键．16．（1）；（2）AP的最小值为；（3）存在，BD的最大值为6+6【分析】（1）连接AC、AF、DG、CF，证△ADG∽△ACF，根据线段比例关系可求；（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以解析：（1）；（2）AP的最小值为；（3）存在，BD的最大值为6+6【分析】（1）连接AC、AF、DG、CF，证△ADG∽△ACF，根据线段比例关系可求；（2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，根据给出数据求值即可；（3）以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，根据△DAB∽△CAE，得出BD=CE，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，根据C点的轨迹求出CE最大值，即求出BD最大值．【详解】解：（1）如图①，连接AC、AF、DG、CF，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，∴AC=AB，AF=AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，∴，又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC，∴∠DAG=∠CAF，∴△DGA∽△CFA，∴，故答案为；（2）如图②，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则∠BPC作为圆周角刚好是135°，∴P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，作OE垂直AB延长线于点E，∵△BOC为等腰直角三角形，BC=4，∴OB=OC=BC=×4=2，∠OBC=45°，∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，又∵OE⊥AE，∴△BEO为等腰直角三角形，∴BE=OE=OB=×2=2，又∵AB=3，∴AE=AB+BE=3+2=5，∴，∵OP=OB=2，∴AP=AO-OP=-2，即AP的最小值为-2；（3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，则∠EAB=45°，，∵AC=AD，∠ACD=90°，∴DAC=45°，，∴，∠DAB=∠CAE=45°，∴△DAB∽△CAE，∴，∴BD=CE，∴当CE最大时，BD取最大值，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，∵∠AOB=90°，∠ACB=45°，∴点C在优弧AB上，由图知当C在OE延长线C'位置时C'E有最大值，此时C'E=OE+OC'，∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴四边形AOBE为正方形，∴OE=AB=6，OC'=OA=AB=3，∴CE的最大值为6+3，∵BD=CE，∴BD的最大值为×（6+3）=6+6．【点睛】本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圆周角，圆心角等知识点，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题的关键．17．（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等边，；（4）3，，6【分析】（1）由点H为AC中点，可得AC=2AH，由折叠，点B与点H重合，与四边形ABCD为矩形，可证GH为AC的垂直平分线，可解析：（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等边，；（4）3，，6【分析】（1）由点H为AC中点，可得AC=2AH，由折叠，点B与点H重合，与四边形ABCD为矩形，可证GH为AC的垂直平分线，可得AG=CG，∠GCH=∠GAH，可求∠ACB=30°，利用三角函数可求BC=，AG=4，BF=FC=，可求，与△ABG相似的三角形由7个；（2）由EF为折痕，可证△AEH∽△AHG，可得即可；（3）由四边形ABCD为矩形，点H为对角线AC中点，可证△ABH为等边三角形，再证△ABM∽△MHN，可得即可；（4）连结BD，当点Q′在BD上时，Q′D最小，先求BC=，AQ′=，可求Q′D最小=，当BQ′⊥BD时，△BDQ′面积最大∠CBQ′=60°，S△BDQ′最大=．【详解】解（1）∵点H为AC中点，∴AC=2AH，∵折叠，点B与点H重合，∴AB=AH=2，BG=HG，∠BAG=∠HAG=，∠B=∠AHG，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，∴∠AHG=∠B=90°，∴GH为AC的垂直平分线，∴AG=CG，∠GCH=∠GAH，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH，∵∠BAH+∠BCH=180°-∠B=90°，∴3∠ACB=90°∴∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH=30°，∴tan30°=，AB=2，∴BC=，∵tan∠BAG=tan30°=，∴BG=，∴AG=2BG=4，BF=FC=，∴GF=BF-BG=3-2=1，∴，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GHF=∠HCF=∠GCH=∠EAH=∠DAC=∠BCA=30°，∵∠B=∠AHG=∠HFG=∠HFC=∠AEH=∠D=∠GHC=∠CBA=90°，∴△ABG∽△AHG∽△HFG∽△CFH∽△CHG∽△AEH∽△ADC∽△CBA，∴与△ABG相似的三角形由7个，故答案为：30°；6；4；7；（2）∵EF为折痕，∴EH⊥AD，∵∠EAH=∠HAG=30°∠AHG=∠AEH=90°∴△AEH∽△AHG，∴，∴故答案为AG；（3）∵四边形ABCD为矩形，点H为对角线AC中点，∴AH=CH=BH，由图2知AB=AH，∴AH=BH=AB，∴△ABH为等边三角形，∴∠ABH=∠AHB=60°，∵∠AMN＝∠ABH；∴∠AMN＝∠ABH=∠AHB=60°，∴∠BAM+∠AMB=180°-∠ABH=120°，∠AMB+∠NMH=180°-∠AMN=120°，即∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠NMH，∴∠BAM=∠NMH，∴△ABM∽△MHN，∴，∵AB=，MH=，∴，∴，故答案为：等边；，（4）连结BD，当点Q′在BD上时，Q′D最小∵AB=2，AD=BC=6，∴BC=∵AQ′=Q′H=∴Q′D最小=当BQ′⊥BD时，△BDQ′面积最大∵tan∠DAC=，∴∠DAC=30°，∴∠CBQ′=90°-∠DBC=90°-30°=60°∴tan∠CBQ'=S△BDQ′最大=；故答案为；；6．【点睛】本题考查折叠性质，矩形性质，线段垂直平分线，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质，两图形的最小距离，最大面积，掌握查折叠性质，矩形性质，线段垂直平分线，锐角三角函数，