国家队学校期末考试数学试卷答案详解

国家队学校期末考试数学试卷答案详解一、选择题(每题3分，共15题，合计45分)解析：根据极限定义，$\lim_{x\to2}\frac{f(x)-3}{x-2}=5$等价于$f(x)-3=5(x-2)+o(x-2)$3$,故$f(2)=3$。解析：顶点公式$x=-\frac{b}{2a}$,$a=1,b=-4$,$x=2$;4.在$\triangleABC$中，若解析：$\cosA=\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$B$A+B+C=180^\circ$,故$C=6故为3(可能是笔误)。解析：$|x-1|<2$等价于$-2<x-1<2$,解得$-1<x<3$。-A.$\{x|1<x\leq2\解析：$A=[-1,2]$,$B=(1,+\infty)$,交集为$[1,2]$。8.函数$y=2^x$在区间$(-1,1)$上的值域是：-C.$(\frac{1}{2},+\解析：$2^{-1}=\frac{1}{2}$,$2^1=2$,故值域为9.若$\sin\theta=\frac{3}{5}$,且$\theta$为锐角，则解析：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$,$\cos^2\theta=1-(\frac{3}{5})^2=\frac{16}{25}$,$\cos\theta\frac{4}{5}$(锐角取正值)。\pm1$;$f''(x)=6x$,$f''(1)=6>0$,$f''(-1)=-6<0置矩阵是：-B.$\begin{pmatrix}2&4\\1&3-C.$\begin{pmatrix}3&1\\4&2解析：转置即行列互换，$\begin{pmatrix}1&2\\3&4解析：配方$(x-2)^2+(y+3)^2=16$,圆心$(2,-3)$。解析：$P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)$,$0.9=0.6+0.7-P(A\cap2$,则$a$等于解析：分子分母同除$x^2$,$\lim_{x\to\infty}\frac{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=a=2$。解析：余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=3^2+4^2-20.若$z=2-3i$,则$|z|^2$等于0答案：$(4,+\infty)$22.已知$A=\{x|x^2-3x+2\geq0\$,则$A$等于 ◎答案：$[-\infty,1]\cup解析：周期$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{24.若$\int_0^2f(x)dx=5$,则$\int_0^2f(2x)dx$等于 o25.矩阵$\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&3\\2&1&解析：该矩阵为满秩矩阵，行数3,故秩为3。26.(10分)求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的极值点。5.极值点：$x=0$(极大值),$x=2$(极小值)27.(10分)计算不定积分$\int\frac{1}{x^2+2x+2}dx$。3.积分：$\int\frac{1}{(x+1)^2+1}dx=\int\frac{1}{u^228.(10分)解方程组：2.代入：$2(y+1)+3y=8$,$2y+2+3y=8$,$5y=6$,29.(15分)证明：数列$\{a_n\}$中，若$a_1=1$,$a_{n+1}=1.构造函数：设$f(x)=\frac{1}{2}x+1$,则$a_{n+1}=2.判断单调性：$f'(x)=\frac{1}{2}$,$f'(x)>0$,故4.极限存在性：需证明$a_n$有界且单调，$a_1=1$,$a_2=\frac{3}{2}$,假设$a_n\leq1\leq2$,由数学归纳法可知$a_n$有界；又$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}a_n+1-a_n=1-\frac{1}{2}a_n\leq0$(当$a_n\geq2$时),故$a_n$单调递减(修正：需更严格证明)30.(10分)已知圆$x^2+y^2=4$与直线$y=kx$相交于$A$、1.联立方程：$\begin{cases}x^2+y^2=4\\y=kx\end{cases}$,代入得$x^2+(kx)^2=4$,$(1+k^2)x^2