高考数学一轮复习 第三章　§3.6　利用导数证明不等式 讲义（学生版）

§3.6利用导数证明不等式课标要求导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果．题型一将不等式转化为函数的最值问题例1(12分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；[切入点：求导，讨论a的正负](2)证明：当a>0时，f(x)>2lna＋eq\f(3,2).[方法一关键点：作差法比较f(x)min与2lna＋eq\f(3,2)的大小][方法二关键点：利用不等式ex≥x＋1把函数f(x)中的指数换成一次函数][思路分析](1)求f′(x)→分a>0，a≤0判断f′(x)的符号→f(x)的单调性(2)方法一：求f(x)min→构造函数g(a)＝f(x)min－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2lna＋\f(3,2)))→求g(a)最小值方法二：证明不等式ex≥x＋1→aex＝ex＋lna≥x＋lna＋1→f(x)≥a2＋lna＋1→构造函数g(a)＝a2＋lna＋1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2lna＋\f(3,2)))→求g(a)最小值思维升华待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．(1)解因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1，(1分)当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′x＝aex－1<0恒成立，①处判断f′(x)的符号所以f(x)是减函数；(2分)当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－lna，eq\x(\a\al\vs4\co1(当x<－lna时，f′x<0，,则fx在－∞，－lna上单调递减；,当x>－lna时，f′x>0，,则fx在－lna，＋∞上单调递增.))(4分)②处判断f′(x)的符号综上，当a≤0时，f(x)是减函数；当a>0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．(5分)(2)证明方法一由(1)得，当a>0时，eq\x(\a\al\vs4\co1(fxmin＝f－lna＝ae－lna＋a＋lna,＝1＋a2＋lna，))(7分)③处利用单调性求f(x)min要证f(x)>2lna＋eq\f(3,2)，即证1＋a2＋lna>2lna＋eq\f(3,2)，即证a2－eq\f(1,2)－lna>0恒成立，(8分)eq\x(\a\al\vs4\co1(令g(a)＝a2－\f(1,2)－lna(a>0)，))(9分)④处构造函数ga＝fxmin－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2lna＋\f(3,2)))则g′(a)＝2a－eq\f(1,a)＝eq\f(2a2－1,a)，令g′(a)<0，则0<a<eq\f(\r(2),2)；令g′(a)>0，则a>eq\f(\r(2),2)，所以g(a)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))上单调递增，(11分)eq\x(\a\al\vs4\co1(所以g(a)min＝g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\f(1,2)－ln

\f(\r(2),2)＝ln

\r(2)>0，))⑤处求gamin并判断其符号则g(a)>0恒成立，所以当a>0时，f(x)>2lna＋eq\f(3,2)恒成立，证毕．(12分)方法二eq\x(令hx＝ex－x－1，)⑥处构造函数证明ex≥x＋1则h′(x)＝ex－1，由于y＝ex是增函数，所以h′(x)＝ex－1是增函数，又h′(0)＝e0－1＝0，所以当x<0时，h′(x)<0；当x>0时，h′(x)>0，所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，则ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立，(6分)eq\x(\a\al\vs4\co1(因为fx＝aex＋a－x＝aex＋a2－x,＝ex＋lna＋a2－x≥x＋lna＋1＋a2－x，))⑦处通过不等式ex≥x＋1放缩函数fx当且仅当x＋lna＝0，即x＝－lna时，等号成立，所以要证f(x)>2lna＋eq\f(3,2)，即证x＋lna＋1＋a2－x>2lna＋eq\f(3,2)，即证a2－eq\f(1,2)－lna>0，(8分)eq\x(\a\al\vs4\co1(令g(a)＝a2－\f(1,2)－lna(a>0)，))(9分)⑧处构造函数ga则g′(a)＝2a－eq\f(1,a)＝eq\f(2a2－1,a)，令g′(a)<0，则0<a<eq\f(\r(2),2)；令g′(a)>0，则a>eq\f(\r(2),2)，所以g(a)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))上单调递增，(11分)所以g(a)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－eq\f(1,2)－lneq\f(\r(2),2)＝lneq\r(2)>0，⑨处求gamin并判断其符号则g(a)>0恒成立，所以当a>0时，f(x)>2lna＋eq\f(3,2)恒成立，证毕．(12分)跟踪训练1(2023·咸阳模拟)已知函数f(x)＝eq\f(sinx,ex)(x∈R)．(1)求f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求证：当x∈[0，π]时，f(x)≤x.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二将不等式转化为两个函数的最值进行比较例2已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含lnx与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．跟踪训练2(2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝ex＋x2－x－1.(1)求f(x)的最小值；(2)证明：ex＋xlnx＋x2－2x>0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三双变量不等式的证明例3已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟踪训练3已知函数f(x)＝ax＋1(x>0)，g(x)＝lnx－eq\f(a－1,x)＋2a.(1)若a＝eq\f(1,2)，比较函数f(x)与g(x)的大小；(2)若m>n>0，求证：eq\f(m－n,lnm－lnn)>eq\r(mn)._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________