江苏省宿迁市泗阳县2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 含解析

江苏省泗阳县2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列命题正确的是（

）A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量2．在△ABC中，若，则A． B． C． D．或3．已知，，若，，则的值为（

）A． B． C． D．4．被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（

）A． B． C． D．5．四边形是正方形，是的中点，是边上的一点，且，连接与交于点，则（

）A． B． C． D．6．在中，是边上的点，，，，，则的长为（

）A．5 B．7 C．9 D．117．图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（

）A．23 B．29 C．21 D．248．在中，角的对边分别为且，若，则的周长的最大值为（

）A． B． C．6 D．8二、多选题9．以下正确的有（

）A．B．C．函数的最大值为2D．10．的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的有（

）A．若，则B．，则为等腰三角形C．，，，则有两解D．若，则可以是钝角三角形11．下列说法正确的有（

）A．若，则或B．已知不共线，若向量与向量共线，则实数C．设，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为三、填空题12．已知，则13．为所在平面内的点，，若，则.14．在中，，若，则实数的值为.四、解答题15．已知向量.(1)若，求实数的值；(2)若，且为非零实数，求的值.16．已知，，，.(1)求的值；(2)求的值.17．设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，的面积为1，且.(1)求；(2)求的值.18．某校为拓展学生社会实践活动，拟建造一个四边形的实践基地，如图，在四边形区域中，将区域设立成烧烤区，区域设立成花卉观赏区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，.烧烤区是一个占地面积为40000平方米的实践性区域.(1)需要修建多长的隔离防护栏？(2)若要使花卉观赏区的面积最大，应如何设计观赏步道？19．设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，.(1)若，求面积的最大值；(2)若的面积为，且，求的值；(3)若，求的取值范围.题号12345678910答案CABCBBACBCDAC题号11答案BCD1．C根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误．对于C：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故C正确；对于D：模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量，故D错误.故选：C．2．A【详解】由正弦定理有，所以，，又因为,故，选A.3．B由结合题意，正弦差角公式可得答案.【详解】.因，，则，又，则，又.则.故选：B4．C在中求得，然后在中，利用正弦定理求得即可求解.【详解】在中，，所以，在中，，则，由正弦定理得，即，解得，在中，.故选：C.5．B建立平面直角坐标系，设正方形的边长为3，写出点的坐标，利用向量夹角余弦公式进行求解.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平间直角坐标系，设正方形的边长为3，则，故，所以.故选：B6．B在中，由正弦定理求得，再在中，由余弦定理，即可求得的长.【详解】如图所示，在中，由正弦定理得，即，因为，可得，且，在中，由余弦定理得：，所以.故选：B.7．A利用可求解.【详解】因为正方形的中心与圆的圆心重合，所以是的中点，又正方形的边长为2，所以，所以，所以.故选：A.8．C根据题意，求得，得到周长为，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由且，可得，又由，即，所以的周长为，当时，即时，周长取得最大值，最大值为.故选：C.9．BCD利用三角恒等变换公式逐项计算可得结论.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故函数的最大值为2，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.10．AC【详解】对于A，因为，所以由正弦定理可得，又大边对大角，则，故A正确；对于B，由，得，所以由余弦定理得，所以，得，所以，所以，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，过作于点，则，因为，所以有两解，故C正确；对于D，因为，，所以，因为，且不可能有两个钝角，所以，所以三个内角均为锐角，故D错误.故选：AC11．BCD【详解】对于A，，则只能得到两向量模相等，不能得到向量共线，故A错误；对于B，因向量与向量共线，则，故B正确；对于C，因与的夹角为锐角，则且不平行于，则，故C正确；对于D，在方向上的投影向量为，因，，则，故D正确.故选：BCD12．原式两边平方后，即可计算的值.【详解】因为，两边平方后，，所以.故答案为：13．/根据，化简得到，结合，求得的值，即可求解.【详解】由，可得，因为，所以，可得.故答案：.14．先利用正弦定理化简得，再根据余弦定理得出为钝角，最后利用正弦定理和余弦定理化简即可.【详解】利用正弦定理则可化简为，则，因，则，则，因，则利用正弦定理和余弦定理有.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）解：因为，可得，因为，所以，解得.（2）解：因为，可得，又因为，所以，可得，因为为非零实数，所以.16．(1)(2)【详解】（1）因为，，所以又因为，所以，

所以.（2）因为，，所以，所以又因为，所以，，

因为所以

因为，所以17．(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，所以，所以，因为，；（2）因为，，，.18．(1)米(2)应使观赏步道米（1）由三角形面积公式可求得，进而可求得；（2）法一：由正弦定理可得，，进而可得，可求解.法二，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，进而可求解.【详解】（1）因为，，三角形面积为，所以，，而，，，所以需要修建多长的隔离防护栏米.（2）解法一：由（1）知，设，，在中，由正弦定理得：，所以，，花卉观赏区的面积为：

因，则，则当，即时，取值最大，最大值，此时

故为了使花卉观赏区域的面积最大，应使观赏步道米.

解法二：令，，由余弦定理得：，，，当且仅当时取等号，则最大值，故为了使花卉观赏区域的面积最大，应使观赏步道米.19．(1)(2)(3)【详解】