高考数学（理科）人教版1轮复习练习第五章平面向量第3讲分层演练直击高考

一、选择题1．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，则实数m＝()A．2eq\r(3)B.eqB.eq\r(3)C．0 D．－eq\r(3)解析：选B.因为a·b＝(1，eq\r(3))·(3，m)＝3＋eq\r(3)m，又a·b＝eq\r(12＋（\r(3)）2)×eq\r(32＋m2)×coseq\f(π,6)，所以3＋eq\r(3)m＝eq\r(12＋（\r(3)）2)×eq\r(32＋m2)×coseq\f(π,6)，所以m＝eq\r(3).2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|＝()A．3 B．2C．eq\r(13) D.eq\r(7)解析：选D.(a－3b)2＝|a|2－6a·b＋9|b|2＝1－6cos60°＋9＝7，所以|a－3b|＝eq\r(7)，故选D.3．设单位向量e1，e2的夹角为eq\f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为()A．－eq\f(3\r(3),2) B．－eq\r(3)C．eq\r(3) D.eq\f(3\r(3),2)解析：选A.依题意得e1·e2＝1×1×coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，|a|＝eq\r(（e1＋2e2）2)＝eq\r(eeq\o\al(2,1)＋4eeq\o\al(2,2)＋4e1·e2)＝eq\r(3)，a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2eeq\o\al(2,1)－6eeq\o\al(2,2)＋e1·e2＝－eq\f(9,2)，因此b在a方向上的投影为eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－\f(9,2),\r(3))＝－eq\f(3\r(3),2)，故选A.4．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝eq\r(3)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，点F在边CD上．若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝3，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值为()A．0 B.eq\f(8\r(3),3)C．－4 D．4解析：选C.eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))⇒|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\f(2\r(3),3).设eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AF,\s\up6(→))的夹角为α，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝3⇒|eq\o(AF,\s\up6(→))|cosα＝1⇒|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0，3)，F(eq\r(3)，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，3)).因此eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－2)，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2\r(3),3)×eq\r(3)－2×3＝2－6＝－4，故选C.5．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，λ∈R，若eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，则λ＝()A．eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．2 D．3解析：选A.因为eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos60°＝2，所以[(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))]·(λeq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)，即λ|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋(λ2－λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋(1－λ)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\f(3,2)，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝eq\f(3,2)，解得λ＝eq\f(1,2).6.如图，AB是半圆O的直径，P是eq\o(AB,\s\up8(︵))上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))等于()A．13 B．7C．5 D．3解析：选C.连接AP，BP，则eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→)))·(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝－eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝1×6－1＝5.二、填空题7．若单位向量e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝eq\f(\r(3),2)，则λ＝________．解析：由题意可得e1·e2＝eq\f(1,2)，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×eq\f(1,2)＋λ2＝eq\f(3,4)，化简得λ2＋λ＋eq\f(1,4)＝0，解得λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)8．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为________．解析：因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，所以由(m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0，即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，则m＝(－2，1)，n＝(－1，2)，所以cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)9．已知eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为90°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(λ,μ)的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，－2)．设M(x，y)，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x，y)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(\f(1,2)y,x)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)10．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最大值为________．解析：由平面向量的数量积的几何意义知，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))等于|eq\o(AM,\s\up6(→))|与eq\o(AN,\s\up6(→))在eq\o(AM,\s\up6(→))方向上的投影之积，所以(eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→)))max＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝9.答案：9三、解答题11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面积．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(2,3)π.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13).(3)因为eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角θ＝eq\f(2,3)π，所以∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，所以S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).12．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长．(2)设实数t满足(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求t的值．解：(1)由题设知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，5)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1)