山西省晋城市部分学校2024-2025学年高二下学期4月期中提升考 数学 含解析

山西省晋城市部分学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．已知复数，则的虚部为（

）A． B．2 C． D．3．已知，，则与同方向的单位向量为（

）A． B． C． D．4．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（

）A． B． C．12 D．5．若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（

）A． B．C． D．7．在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（

）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，都有，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥B．棱柱至少有五个面C．棱台的侧棱延长后必交于一点D．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台10．已知复数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．是关于的方程的一个根11．如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（

）

A．若，则B．若，则为定值C．若点在线段上，则为定值D．若，则的最大值为三、填空题12．某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为．13．已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是．14．已知的内角的对边分别为，且，则；若的外接圆的圆心是，则的最大值为．四、解答题15．已知向量．(1)设，求的值；(2)若，求的值．16．已知函数．(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)若且，求的值．17．在中，内角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若点是线段上的一点，且，求的值．18．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．(1)求证：四点共面；(2)求证：平面；(3)已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值．19．在中，内角的对边分别为，若，，且．(1)求角的大小；(2)若，点是的中点，且，求的值；(3)已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值．题号12345678910答案BADCCDBCBCABD题号11答案BCD1．B根据题意，求得，结合集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】由集合，又由集合，所以.故选：B.2．A先利用复数的除法运算和加法运算化简，再根据虚部的定义即可得出.【详解】，则的虚部为.故选：A3．D求出向量的坐标，即可得出与同方向的单位向量为.【详解】由题意可得，则，所以与同方向的单位向量为.故选：D.4．C由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解.【详解】由题意知，，将直观图还原为原图，如图，则，所以，所以原四边形的周长为12.故选：C5．C根据数量积的运算律求出，再由投影向量的定义计算可得.【详解】因为，且，所以，解得，所以向量在向量上的投影向量.故选：C6．D根据三角函数的变换规则计算可得.【详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，将的图象向右平移个单位长度得到.故选：D7．B用、作为基底表示出、，再由数量积的运算律及定义计算可得.【详解】因为且点是的中点，所以，又，所以.故选：B8．C首先可得关于对称且在上单调递增，则关于的不等式等价于，再分、两种情况讨论，结合指数函数的性质解得即可；【详解】因为为偶函数，所以关于对称，又对任意的，都有，所以在上单调递增，则在上单调递减，则关于的不等式等价于，即，当时，不等式可化为，即，因为，所以不等式无解；当时，不等式可化为，即，即，所以，解得；综上可得关于的不等式的解集为；故选：C9．BC根据空间几何体的结构特征，结合选项依次判断即可.【详解】A：若其余各面三角形没有公共顶点（如下图），则几何体不是棱锥，故A错误；B：面最少的就是三棱柱，共有五个面，故B正确；C：由棱台的结构特征知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故C正确；D：在直角梯形中，如下图所示：以直角梯形的直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，若以直角梯形的腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体不是圆台，故D错误.故选：BC10．ABD化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的模的定义可判断AB；利用复数的乘法运算法则计算即可判断C；因是的根，并将因式分解即可判断D.【详解】由题意可得，，则，，故A正确；B正确；，则，故C错误；由C选项可知，是的根，又，则是的一个根，故D正确.故选：ABD11．BCD建立如图所示平面直角坐标系，利用坐标法判断A、B，由及向量共线的坐标表示判断C，根据向量模的坐标表示得到，设，，利用辅助角公式计算D.【详解】如图建立平面直角坐标系，则，，，，，所以，，因为所以，即；对于A：若，则，所以，，所以，故A错误；对于B：当时，，所以，又，所以，故B正确；对于C：因为，，又点在线段上，所以，所以，所以，故C正确；对于D：若，又，所以，即，设，，所以，其中为锐角且，所以当时取得最大值，且最大值为，故D正确.故选：BCD

12．/根据扇形的弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知扇形的弧长，设该圆锥的底面圆的半径为，则，即，得，即该圆锥的底面圆的直径为.故答案为：13．根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义建立不等式组，解之即可求解.【详解】，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，则，解得，即实数的取值范围为.故答案为：14．空1：由正弦定理边化角即可求解；空2：取的中点，连接，则，则，从而得到，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.【详解】由正弦定理得，则，，所以；取的中点，连接，则，所以，同理可得，所以，由余弦定理，即，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，即的最大值为.故答案为：；15．(1)(2)（1）根据题意，由，列出方程组，即可求得的值，得到答案；（2）根据题意，求得，，结合，列出方程，即可求解.【详解】（1）解：由，因为，可得，所以，解得.（2）解：由可得，，因为，可得，解得.16．(1)，单调递增区间为（）(2)（1）利用二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化简，最后由正弦函数的性质计算可得；（2）利用同角三角函数关系结合角的范围求得，然后由两角差的余弦公式代入求解即可.【详解】（1）因为，所以的最小正周期，令（），解得（），所以的单调递增区间为（）；（2）由（1）可得，所以，因为，所以，所以，所以.17．(1)(2)（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（2）设，则，，在中利用正弦定理得到关于的方程，利用和差角公式化简可得.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，即，又，所以，所以，又，所以；（2）设，又，所以，则，，

在中，由正弦定理，又，所以，即，所以，即，所以，即.18．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)（1）连接，即可证明，，从而得证；（2）连接、分别交、于点、，连接，即可证明，从而得到，即可得证；（3）根据面面平行的性质得到，即可得到，从而得解.【详解】（1）连接，因为点分别为棱的中点，所以，又在正方体中且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以四点共面；（2）连接、分别交、于点、，连接，在正方体中，且，所以，则，同理可得，所以，所以，又平面，平面，所以平面；（3）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以，因为，所以.19．(1)(2)或(3)或（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示及利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；（2）依题意可得，将两边平方结合数量积的运算律以及余弦定理得到方程组，即可求出、，从而得解；（3）由面积公式求出，再分点与点在直线的异侧与同侧两种情况讨论，设，利用正弦定理表示出线段的长度，再计算可得.【详解】（1）因为，