2023北京重点校高一（上）期末数学汇编：向量的数量积

第1页/共1页2023北京重点校高一（上）期末汇编向量的数量积一、单选题1．（2023秋·北京西城·高一统考期末）正方形的边长为1，则（

）A．1 B．3 C． D．2．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（

）A．​ B．1 C．​ D．23．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知，，则（

）A．1 B． C．2 D．或2二、填空题4．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________.5．（2023秋·北京房山·高一统考期末）已知向量，非零向量满足，请写出的一个坐标________．三、解答题6．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）在中，为边上的点，且满足.(1)若为边长为2的等边三角形，，求；(2)若，求；(3)若，求的最大值；(4)若将“为边上的点”改为“在的内部（包含边界）”，其它条件同（1），则是否为定值？若是，则写出该定值；若不是，则写出取值范围.（不需要说明理由）

参考答案1．D【分析】利用向量数量积的运算性质，结合正方形中垂直关系及边长即可求解.【详解】在正方形中，如图所示,，故选：D.2．A【分析】首先通过条件求得，然后根据数量积的运算公式求出，进而求解在方向上投影.【详解】平面向量是非零向量，，，则.设与夹角为，则，在方向上投影为.故选：A3．C【分析】根据数量积的运算律，即可求出.【详解】因为，所以，.故选：C.4．【分析】由图知，应用向量数量积的运算律求得，即可得结果.【详解】由图知：，则，又，则.故答案为：5．(答案不唯一)【分析】设出向量的坐标，根据题意可得，进而即得.【详解】设向量，，由，可得，，又，所以，令，可得，所以向量的坐标可为.故答案为：.6．(1)(2)(3)(4)不是定值，理由见解析【分析】（1）分别是的中点，的夹角为，，，计算即可；（2）若，则距离是近的三等分点，是距离近的三等分点，则由可得，从而求出；（3），，，且，由，，令，由函数的单调性定义可得在上单调递增，可求出的最大值；（4）以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，，设，，可得点在以为圆心，半径为1的三角形内部的圆弧上，包括与三角形的边上的两个交点，点在三角形内部线段的垂直平分线上，包括点和的中点，取点、点特殊位置可得答案.【详解】（1）若为边长为2的等边三角形，，则分别是的中点，的夹角为，，，所以；（2）若，则距离是近的三等分点，是距离近的三等分点，则，所以，；（3）因为，所以，，，因为，所以，且，所以，，，令，设，所以，因为，所以，所以，在上单调递增，所以，当即时有最大值为；（4）以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示平面直角坐标系，则，设，，因为，所以，，化简得，，所以点在以为圆心，半径为1的三角形内部的圆弧上，包括与三角形的边上的两个交点，并且都为所在边的中点，点在三角形内部线段的垂直平分线上，包括